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关于伪垂心的极值特征 总被引：2，自引：0，他引：2
关于伪垂心的极值特征夏中全（重庆市武隆县中学校４０８５００）设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，垂心为Ｈ，点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′，Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′，Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′．则由Ｃａｖｅ定理易知，三直线ＡＤ′，ＢＥ′，... 相似文献
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一个新发现的三角形特殊点 总被引：3，自引：0，他引：3
一个新发现的三角形特殊点方廷刚（四川攀枝花十九冶二中６１７０６２）设△ＡＢＣ的三高为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，垂心为Ｈ，点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ’，Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ＇，Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ＇，有引理三直线ＡＤ’，ＢＥ’，ＣＦ’共点．... 相似文献
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三角形某些“伴心“的性质 总被引：2，自引：2，他引：0
引理 设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上一点,且直线ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交直线ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于点Ｄ、Ｅ、Ｆ,Ｄ′、Ｅ′、Ｆ′分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ关于各自所在边的中点的对称点,则 ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′必交于一点Ｑ． 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,应用Ｃｅｖａ定理及其逆定理,即可证明． 这样,Ｐ和Ｑ就成为△ＡＢＣ的一对“伴心”．比如,若Ｐ为内心Ｉ,则Ｑ就是伴内心Ｉ′;若Ｐ是△ＡＢＣ的垂心Ｈ,则Ｑ就是伴垂心Ｈ′等等．若将Ｐ叫做“本心”,Ｑ就叫做伴心,相应的△ＤＥＦ叫本心三角形,△Ｄ′Ｅ′Ｆ′则叫做伴… 相似文献
4.
设△ＡＢＣ的三条内角平分线为ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ,内心点为Ｉ,点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′,Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′,Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′,则我们有 引理 三条直线ＡＤ′、ＣＦ′、ＢＥ′共点． 证明 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＤ′＝ＢＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＥ′＝ＣＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,ＡＦ＝ＢＦ′,由Ｃｅｖａ定理及ＡＤ、ＥＢ、ＤＦ共点知 由Ｃｅｖａ逆定理得ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点．记此点为Ｉ′,我们称之为△ＡＢＣ的伴内心． 性质 １ 设厂为么ＡＢＣ的伴内心,则 ＡＩ（ｂ ＋ ｃ）ＢＩ（ｃ＋ａ） ７７＝… 相似文献
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１１６ 设任意△ＨＢＣ中,Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的内点,△ＤＥＦ、△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＥＤ 的周长分别记为ｍ０、ｍ１、ｍ２。ｍ３, ＝ｍｉｎ｛Ａ、Ｂ、Ｃ｝,则 上述命题可向平面ｎ边形推广,另猜测,在任意△ＡＢＣ中,有 （吴善和．１９９９,４） １１７ 如果△ＡＢＣ内的三个圆都与三角形的内切圆相切,并且每个圆与△ＡＢＣ的两边相切,设ｒ、ｒａ．ｒｂ、ｒｃ分别为内切圆及其余三个圆的半径,则 （赵长健．１９９９,４） １１８ 在交叉四边形 ＡＢＣＤ中,ａ、ｂ、ｃ／及Ｓ分别表示其边长和面… 相似文献
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四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1 命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1 如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证 先证充分性 .分两种情况 : 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥\ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ… 相似文献
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三角形面积比的两个性质及应用３２５６００浙江省乐清市育英学校方亚斌４３６５００湖北省黄梅县职业高中方文如图１，设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ分别是ＡＢＣ的三条高线，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为垂足，Ｈ为垂心，因此可得如下两个关于面积比的定理．定理１，证明此处仅证前一式另外二... 相似文献
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文［１］中给出了一个定理：任意三角形至少存在一个内接正三角形．该定理及说明都具有一定的局限性,本文用构造性方法来证明一个更一般的定理． 定理 任意三角形都存在无数多个内接正三角形． 证法１ 如图１,在△ＡＢＣ中,不妨在ＡＣ上任取一点Ｄ,连结 ＢＤ;以 ＢＤ为一边在点Ａ的异侧作正△ＤＢＥ,连结ＡＥ交ＢＣ于 Ｆ点,过 Ｆ点作 ＢＥ的平行线交 ＡＢ于 Ｍ点,过Ｆ点作ＤＥ的平行线交ＡＣ于Ｎ点．连结 ＭＮ,由文［１］可知△ＦＭＮ即为△ＡＢＣ的一个内接正三角形．由于Ｄ点位置不同,那么其对应的正△ＦＭＮ就不同,由此可知△… 相似文献
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《数学通报》2002,(5)
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平 2 1 5 0 0 6)证明 设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△… 相似文献
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叠用Ｐｔｏｌｅｍｙ定理解圆内接多边形问题４４５０００湖北恩施市教研室熊光汉Ｐｔｏｌｅｍｙ不等式四边形ＡＢＣＤ为任意凸四边形测ＡＢ·ＣＤ＋ＡＤ·ＢＣ≥ＡＣ·ＢＤ．证明如图１，作对于任意三点Ａ、Ｅ、Ｃ，必有ＡＥ≥ＡＣ－ＥＣＡＥ·ＢＤ≥ＢＤ（ＡＣ－ＥＣ），... 相似文献
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陈恕行 《数学物理学报(B辑英文版)》1994,(2)
ＣＡＵＣＨＹＰＲＯＢＬＥＭＦＯＲＳＥＭＩＬＩＮＥＡＲＨＹＰＥＲＢＯＬＩＣＥＱＵＡＴＩＯＮＯＦＨＩＧＨＥＲＯＲＤＥＲＷＩＴＨＤＩＳＣＯＮＴＩＮＵＯＵＳＩＮＩＴＩＡＬ ＤＡＴＡＣｈｅｎＳｈｕｘｉｎｇ（陈恕行）（Ｉｎｓｔ．ｏｆＭａｔｈ．，ＦｕｄａｎＵｎｉｖ... 相似文献
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一道三角题的几何解释５３２１００广西扶绥二中黎民生，甘保华本文给出此题的一个构图独到的几何解释，下面用一种几何方法来证明．由于无论上ＡＢＣ是锐角、或直角、或钝角三角形，总有垂足，Ｈ＇为垂心，从而易证Ｆ＇、Ｂ＇、Ｃ＇、Ｅ＇四点共圆．我０］称西Ｄ’Ｅ’Ｆ... 相似文献
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ＯＮＥＸＣＨＡＮＧＥＡＬＧＯＲＩＴＨＭＦＯＲＮＯＮＬＩＮＥＡＲＢＥＳＴＣＨＥＢＹＳＨＥＶＡＰＰＲＯＸＩＭＡＴＩＯＮＷＩＴＨ ＬＧＨＣＯＮＤＩＴＩＯＮＸｉｏｎｇＧｕｉｊｉｎｇ（熊规景）；ＷｅｉＤａｎ（韦旦）（Ｉｎｓｔ．ｏｆＭａｔｈ．Ｓｃｉ．，Ｃｈｉｎ．... 相似文献
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20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6 已知 :ＡＤＣＥ为半圆 (如图 ) ,Ｂ为直径ＡＥ上一点 ,Ｆ在ＡＣ上 ,ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,ＢＥ=ＨＧ ,ＡＬ∥ＦＧ .求证 :ＫＢ ⊥ＡＣ证明 因为ＡＤＣＥ为半圆 ,所以∠ＡＤＥ=∠ＦＣＧ =90° .在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＦＣＧ中 ,因为ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,所以△ＡＤＥ≌△ＦＣＧ .所以ＡＥ =ＦＧ .又ＢＥ =ＨＧ ,所以ＡＢ =ＦＨ因为ＡＬ∥ＦＧ ,所以 ＡＫＦＨ =ＣＫＣＨ =ＫＬＨＧ.所以 ＡＫＫＬ =ＦＨＨＧ,所以 ＡＫＫＬ =ＡＢＢＥ,所以ＫＢ∥ＬＣ .又因为ＬＣ⊥ＡＣ ,所以… 相似文献
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四面体同垂心和高有关的两个性质６３２２６０四州江津江津中学冯华本文介绍四面体的两个有趣性质．定理１设Ｈ是四面体ＡＢＣＤ的垂心，Ｒ为四面体外接球的半径．则：定理的证明需要以下引理．引理１［１］具有垂心的四面体．外心，重心，垂心三点共线，且外心到重心的距... 相似文献
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浙教版义务教育初级中学课本《数学》第五册（１９９６年３月第二版）第１５６页有这样一道习题：ＤＢ图一ＦＡＣＥ如图一,ＡＣ⊥ＡＢ,ＢＤ⊥ＡＢ,Ａ、Ｂ为垂足,ＡＤ和ＢＣ相交于点Ｅ,ＥＦ⊥ＡＢ于Ｆ;又ＡＣ＝ｐ,ＢＤ＝ｑ,ＦＥ＝ｒ,ＡＦ＝ｍ,ＦＢ＝ｎ．（１）用ｍ、ｎ表示ｒｐ．（２）用ｍ、ｎ表示ｒｑ．（３）证明：１ｐ＋１ｑ＝１ｒ．利用（１）、（２）过渡,可迅速得到（３）的证明（证略）;值得一提的是条件“ＡＣ、ＥＦ、ＢＤ都垂直于ＡＢ”可弱化为“ＡＣ∥ＤＢ∥ＥＦ”,此时结论仍成立,于是有：ＥＤＢ图二ＦＡ如图二,… 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同… 相似文献