五角星中的Menelaus型定理

五角星即是由图1所示的凸五边形的对角线构成的图形。正五角星开始由毕达哥拉斯广泛进行了研究,他把正五角星比作当时社会的象征。正五角星中的最普遍存在的性质是它包含了黄金比率,这在某些书上已有较为简单的记载,本文讨论的是关于任意五角星的一些其他性质。     

Menelaus定理的推广及应用

Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理的推广及应用胡耀宗，孙斌（湖南益阳师专４１３０４９）众所周知，一直线截△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ或其延长线于Ｐ、Ｅ、Ｆ，则这就是著名的Ｍｅｎｅｌａｕｓ（梅涅劳斯）定理．这定理可以推广。命题一若一直线ｌ截首尾相接的平面折线ＡＢＣＤ...     

Menelaus定理的高维推广

众所周知的Menelaus定理说的是: 设有一直线交△ABC的三边(或其延长线)于D,E,F三点(如图),则有     

Ceva定理与Menelaus定理的逆定理的推广

Ceva定理:O为△ABC内一点,直线AO、BO、CO分别与BC、CA、AB交于D、E、F,则AFFB·BDDC·CEEA=1.注:AF FB是指有向线段AF的数量与有向线段FB的数量之比,下同.其逆定理是:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上一点,若AFFB·BDDC·CEEA=1,则直线AD、BE、CF三线共点.显然,若AFFB·BDDC·CEEA≠1,则直线AD、BE、CF三线     

四面体中的Menelaus定理

著称于世的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理是证明三点共线和一些复杂比关系等问题的有力武器．从公元一世纪发现至今,研究者诸多,例如其证法就达数十种之多,到本世纪七十年代初就有人把定理推广到凸ｎ边形的情况,使该定理的应用更加广泛．本文的目的是想把定理引伸到三维空间的...     

一个伴随等价定理的推广及其简证

记 Gr为任意图 G的 r个拷贝中的对应点 ( r个 )分别与星图 Sr+ 1 的 r个 1度点粘接后得到的图 ,又记 H r为该图 G的相应点与星图 Sr+ 1 的 r度点粘接后得到的图 .如果 G不含三角形 ,则图 ( r- 1) K1 ∪ Gr和图 ( r- 1) G∪ H r伴随等价 ,进而它们的补图色等价     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…     

一个定理的简证

本文给《初探》一文中的定理一个简洁的证明 .( 1)如图 4 ,任作正△ DEF ,因设 A <12 0°,知180° - A >60°,故可在正△ DEF内取一点 Z′,使∠ EZ′F =180°- A,∠ FZ′D =180°- B.分别作线段 DZ′、EZ′、FZ′的中垂线 ,两两相交于 A′、B′、C′,则A′、K、Z′、N共圆 ,故     

一个数论定理的简证

有一个在解题中应用频繁的命题：设a，b两自然数的最大公约数和最小公倍数分别是（a，b）和［a，b]，则［a，b]·（a，b）=ab.此命题在数论书上或略而不证，或证来太琐碎，思路不清晰，而不能令人满意，许多小学和中学的数学老师感到困惑．今给出两个简单的证法．引理1互素两数的最小公倍数等于它们的积．路证设，n，nEN，；n，n互素，我们来ie明［，n，’。」一n。n．事实上，如人是。n，；l的任一公倍数，则及一l，n一八；．那么din，但On，）一l，删mt．今t＝mP，则k—Pmn，．．m…k．又mn也是m，n的公倍数，故是最小公倍数．命回证法1…     

两个定理的简证

贵刊文 [1 ]给出以下两个定理 :定理 1　已知 x,y,a,b∈ R+ ,且 x + y =1 ,则 axn + byn 的最小值为 ( n+ 1a + n+ 1b ) n+ 1,此时　 x =n+ 1an+ 1a + n+ 1b,y =n+ 1bn+ 1a + n+ 1b.定理 2　已知 a1,a2 ,… ,an,x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,且 x1+ x2 +… + xn =c,则a1xm1+ a2xm2+… + anxmn≥( m+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an) m+ 1cm ( m≥ 2 ) ,当且仅当xi = cm+ 1aim+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an( i =1 ,2 ,… ,n)时等式成立 .文 [1 ]分别用两种不同的方法给出了以上两个定理的证明 ,但都较繁 (定理 2的证明中还使用了中学生所不熟悉的加权幂平均…     

I.J.Matrix定理两个推广的简证

文[1]阿太学归纳法证明了:设x_1,x_2,…,x_n是n个不为零的且互不相同的数,則     

赛题的简证、巧证及推广

（2008年全国高中联赛山东赛区预赛第17题）若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz＝1,求证：1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z〈2     

FKKM-型定理的推广及应用

本文得到ＦＫＫＭ－型定理的几个新的推广定理,并将所得结果应用于研究重合点问题．文中的结果统一和包含了一些作者的最新成果．     

一个定理的另证与推广

文[1]给出了如下定理:定理△ABC的内切圆与BC,CA,AB依次相切于点D,E,F,圆心为I,BC=a,CA=b,AB=c,则a ID b IE c IF=0.图1三角形下面给出它的一个简证及推广.要证明a ID b IE c IF=0.只需证明aID|ID| bIE|ID| cIF|ID|=0.易知,ID|ID|,IE|ID|,IF|ID|分别为与ID,IE,IF同向的单位向量     

一个数学问题的简证及推广

文[1]提出了数学问题1863: 设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值. 文[2]给出了一个需要较高技巧的证明.笔者将利用平均值不等式,给出一种十分简洁的证法. 证明:猜想x=y=1时,1/x3+2/y3取最小值3.     

一个数学问题的简证及推广

《数学通报》2 0 0 2年第 5期第 1 367题 :不垂直于x轴的直线与抛物线y2 =2px(p>0 )交于A、B两点 (A、B不在同一象限 ) ,抛物线的准线与x轴相交于点N .已知∠ANB被x轴平分 ,求证 :线段AB过抛物线的焦点 .原解是从方程的角度证明的 ,相对较繁 .从平面几何的角度入手 ,不仅可得到更简单的解答 ,而且还可将结论推广到所有圆锥曲线中 .图 1证明　设F为抛物线y2 =2px(p >0 )的焦点 ,连AF、BF ,且分别过点A、B作准线的垂线 ,垂足为A1 、B1 (如图 1 ) ,则由圆锥曲线的定义得 :AFAA1 =BFBB1…… ( )即　 AFBF =AA1 BB1……①记∠AN…     

一道预赛题的简证及推广

2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题为：设a,b,c为非负实数,满足bc＋ca＋ab=1．证明：b＋c^-1＋c＋a^-1＋a＋b^-1≥2^-5。     

数学问题2095的简证及推广

《数学通报》2012年第11期刊登的第2095号问题是:如图1,设⊙O的两条互相垂直的直径为AB、CD,E在BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求证:(EK/AK)2+(EL/CL)2=1.供题人给出的解法多次运用正弦定理,过程比较曲折,且不易推广.本文将给出此题的简证,并将其推广到椭圆与双曲线的情形.     

一道联赛试题的简证及推广

题目(2010年全国初中数学联赛)如图1,在矩形ABCD中,E、F是DC的点,满足DE=EF=FC,又G、H是BC边上的点,满足BG=GH=HC,AE与DG相交于点K,AF与DH相交于点N,求证:KN∥CD.