一道2000年CMO试题的背景及别解

2000年中国数学奥林匹克第一题是[1]:设a、b、c为△ABC的三条边,a≤b≤c,R和r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径.令f=a b-2R-2r,试用角C的大小来判定f的符号.据笔者掌握的资料,此题可能是以《美国数学月刊》1999年2月号问题10713为背景编制的[2]:设a、b、c、R、r分别为满足A     

课外练习

高一年级1.求面积为S的菱形绕其一边旋转一周,所得旋转体 的表面积. (山东滨州市第六中学(256651)李新民)2.对于任意定义在R上的函数f(x),若实数x0。满足 f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点,若二次函数f(x)=x2 ax 1没有不动点,求实数 a 的取值范围. (北京通州区潞河中学(10114)陈明)3.在△ABC中,已知三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且 c-a等于AC边上的高为h,求sin(C-A)/2 cos(C A)/2的值.     

用向量坐标给出的三角形面积公式

利用高中数学新教材中的平面向量知识,我们可以用向量坐标给出一个求三角形面积的新公式. 在△ABC中,设CA=(a1,b1),CB=(a2,b2),则△ABC面积为S△=1/2|a1b2-a2b1|.     

范围到哪里去找?

题目 已知△ABC的周长为6,|BC|, |CA|,|AB|成等比数列. 求(1)△ABC面积的最大值. (2)BA·BC的取值范围. 这道题的第一问并不难,只要恰当地运用 公式,便可迎刃而解.为方便解题,不妨设 |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c. 分析 根据已知条件有方程组     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

数量积最值竞赛题的探究

<正>在2018年全国高中数学联赛江苏初赛中出了这样一道试题:在△ABC中,AB=5,AC=4,且AB(向量)·AC(向量)=12,设P为平面ABC上的一点,则PA(向量)·(PB(向量)+PC(向量))的最小值是____.试题考查了余弦定理、平面向量数量积公式、向量的线性运算等知识,考查了数形结合、坐标法等数学思想方法.试题平中见奇,解法多     

一个涉及Fermat点的不等式的推广

设△ ABC的三边和面积分别为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,AF、BF、CF的延长线分别交对边于 A′、B′、C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.文 [1]建立了如下不等式 :f2a f2b f2c≥ 3 3△ (1)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .本文将把 (1)式推广为 :若 t≥ 2或 t<0 ,则　 fta ftb ftc≥ 3(3△ ) t2 (2 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明 (2 )式 ,先给出一个引理 .引理　设 a1 ,a2 ,… ,an ∈ R ,k≥ 1或k <0 ,则　　∑ni=1aki ≥ n(1n∑ni=1ai) k (3)此结果见文 [2 ].下面证明 (2 )式 .证明　由 t≥ 2…     

一个涉及Fermat点的不等式

命题　设△ ABC的三边和面积为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,延长 AF、BF、CF分别交对边于 A′,B′,C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.则　　 f2a f2b f 2c ≥ 33△ . ( 1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .证明　设 AF =x,BF =y,CF =z,则AA′=AF A′F =x 2 yzy zcos 6 0°=xy yz zxy z ,BB′=xy yz zxz x ,CC′=xy yz zxx y .又由面积公式易知xy yz zx =43△ .所以由上述式子易知 ( 1 )式 (以下用 ∑ 表示三元循环和 ,如∑x =x y z)等价于∑xy .∑ 1( y z) 2 ≥ 94 　…     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

新题征展(50)

A题组新编 1.(1)在△ABC中,设BC(→)=a,CA(→)=b,AB(→)=c,则△ABC为正三角形的充要条件是a·b=b·c=c·a.     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

争鸣

问题问题146先给出推导三角形外接圆半径的一个方法:设三角形的三条边长分别是a,b,c,而R,s分别是△ABC的外接圆半径及△ABC的半周长,则由三角形的面积公式、正弦定理及海伦公式可以得到S△ABC=21absinC=4abRc=s(s-a)(s-b)(s-c),由此可以得出R=abc4s(s-a)(s-b)(s-c).即知道一个三角形的三条边长就可以轻易地求得该三角形外接圆半径,过程很简捷,而且结果非常简洁、漂亮.我们常常将空间的四面体与平面上的三角形类比,将球与圆类比,如果给出一个球及其内接四面体,并且该四面体的六条棱长分别是a,b,c,d,e,f,能否也通过与以上推导三角形外接…     

平面向量基本定理中λ_1和λ_2的求法

《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第一册(下)》第106页给出了平面向量的基本定理:“如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量α,有且只有一对实数λ1、λ2,使α=λ1e1 λ2e2·”那么如何求λ1、λ2呢?本文试图给出几种在解题时经常用到的方法,与同学们共同探讨. 一、直接法通过几何图形,由向量e1、e2出发求得向量α,从而求出实数λ1、λ2. 例1 如图1,在△OAB的边OA、OB上分别取M、N,使OM:OA=1:3,ON:OB=1:4,设线段AN和线段BM交于P点,且设OA=α,OB=b,若OP=ta sb,求s、t的值.     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

一道奥赛问题的几种基本解法

第三届北方数学奥林匹克邀请赛有这样一道试题：设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＋c=3，求f（a，b，c）=a^2＋b^2＋c^2＋4/3abc的最小值．     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

借助轨迹 妙求最值

<正>一、题目展示(2012年高中数学联赛第5题)在△ABC中,→AB·→AC=7,→→|AB-AC|=6,求S△ABC的最大值.点评本题以向量形式呈现,融向量与三角于一体,考查的是三角形的面积最值.本题看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的研究空间.     

向量与其他知识的整合

新教材的新增内容 ,十分突出数学的应用性 ,例如向量 ,它在数学和物理学中应用很广 .向量知识体系优美、思路明快又富创意、运算简洁而又利落 ,且极易与其它主干知识很自然地融为一体 .因此向量日益受到高考命题者的青睐 ,成为新课程高考的新知识整合点 .1　 向量与函数的整合例 1　已知向量 i=(1,0 ) ,j=(0 ,1) ,函数 f(x) =ax4 bx2 c(a≠ 0 )的图像在 y轴上的截距为 1,在 x =2处切线的方向向量为 (a - c) i - 12 bj,并且函数当 x =1时取得极值 .(1)求 f (x)的解析式 ;(2 )求 f (x)的单调递增区间 ;(3)求 f(x)的极值 .分析　 (1)由题设 f …     

关于∑(a/(b c))~(1/2)的上界

设△ ABC的三边长为 a、b、c,则有∑ ab c>2 ,其中 2是最佳的 .本文将讨论 ∑ ab c的最佳上界 .定理　在△ ABC中 ,有∑ ab c<2 33 1 ,( * )且 2 33 1是最佳的 .证明　 ( * )式关于 a、b、c完全对称式不等式 ,故设 c =1 ,a≥ b≥ 1 ,a 相似文献