以皓骏设计“平面向量的数量积”的积件及教学应用

平面向量的数量积是向量与向量的内积,是矢量与标量的桥梁,密切联通了代数与几何,是几何代数化的主要工具,是发展学生数学运算、数学抽象等核心素养的重要载体.在传统的“黑板+粉笔”的教学中,至少有三个难点:其一,难以理解平面向量数量积的几何意义;其二,难以想象平面向量数量积的结果是一个标量;第三,难以发现平面向量数量积的性质.本文试图应用Hawgent皓骏设计“平面向量的数量积”的积件,破解这些难点的同时,发展学生数学抽象、直观想象等核心素养.如下概述本积件的制作原理与过程以及在教学中的主要应用.详细操作步骤请扫描二维码学习微课.     

数形结合：从感性认识到理性表达

<正>数和形作为数学的两个基本研究对象,是现实世界的数量与空间形式的反映,数和形之间的联系称之为数形结合．在中学数学中,利用数形结合的思想方法可以将代数与几何问题相互转化,也就是说,几何概念可以用代数语言表示,几何目标可以通过代数方法来表达．反过来,几何又给代数概念以几何解释,赋予那些抽象概念以直观的形象．而直观想象正是六大数学学科核心素养之一．     

把握教材编写意图 精准定位课堂教学——以“点到直线的距离公式”为例

<正>章建跃教授在?理解数学是教好数学的前提?一文中指出数学教师必须在理解数学、理解学生、理解教学上狠下功夫．数学理解不仅仅是对教材的内容知识、实质性结构知识等方面的理解,还包括对教材编者意图的深度理解．新高考形势下,随着新教材的使用和课程改革的不断深入,各版本教材的不同之处及新版教材的编写意图受到广大教师越来越多的关注．解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质．坐标法作为研究解析几何的通性通法,在教学中已经得到了教师的足够重视．向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁．向量方法的运用突出了几何直观与代数运算之间的融合,这一点正是高中数学新教材(2019人教A版)与以往版本教材的重要区别之一．能否领会教材编者意图,是衡量教师理解教材程度的一个重要标志,对编者意图领会得越深,越能充分发挥教材在教学中的作用．本文中以“点到直线的距离公式”为例,说明在教学设计中如何充分领会新教材编者意图,多角度、多方面、多层次提升核心素养的具体做法．     

基于直观想象与数学运算素养培育——向量题几何背景挖掘与构造

解决平面向量题往往要抓住两条主线：一是基于“形”,向量刻画几何图形,分析其几何背景,利用几何直观解题;二是基于“数”,几何关系通过向量运算描述,度量问题通过向量运算解决.向量教学要着重培养学生的直观想象与数学运算核心素养.     

基于直观想象素养的构成和水平划分的数学高考试题研究

1直观想象素养的内涵和构成数学核心素养是当前研究的热点.如何理解直观想象、直观想象素养在实践教学中的落实等已有很多研究成果.目前较为普遍的认识是,直观想象包括几何直观、空间想象两个方面,几何直观和空间想象有关但不同,空间想象一定程度依赖于几何直观.建立数与形的联系、借助几何直观使抽象问题形象化、构建直观模型使复杂问题简单化,是落实直观想象素养的几个关键环节[1]-[3].此外,也有研究是关于直观想象在中高考解题中的具体应用[4]-[7].     

高中数学教学中直观想象素养的培养路径探析

直观想象为利用空间想象以及几何直观深入感知事物变化和形态,教学中主要结合图形形式讲授数学知识,增强学生问题解决能力.直观想象属于高中数学核心素养的重要组成,对于学生的整体发展影响较大.培养学生直观想象素养过程中,可以运用图形知识、生活情境等多种方式,建立知识和直观想象之间的联系,促进学生加深对知识的理解与感悟,优化学生整体数学学习效果.     

例谈数形一体的向量

向量是代数与几何的桥梁,也是研究空间基本图形的位置关系和度量关系的重要工具,在发展学生的直观想象素养方面有着重要作用.本文结合两道立体几何问题揭示如何在情境中运用向量工具,探究空间基本图形的位置关系和度量关系,展示向量数形结合的特点.     

多视角剖析一道向量题

<正>向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁.因而以向量作为载体的试题灵活多变、形式多样,在历年高考中频繁出现.通过对向量试题的解答,可以检测自己的逻辑推理、数学运算等数学素养水平层次以及对数形结合等数学方法的掌握情况.下面就一道向量试题从三种不同的视角进行剖析,给出多种解法,谈谈一些想法.     

基于直观想象的空间向量概念教学

空间向量的教学要注重培养学生的空间想象力,在空间向量的概念、规则建立和运用时让直观想象先行,要以对向量的自由性、零向量、投影向量和平面向量概念及其运算为空间想象的逻辑基础,理解平面向量与空间向量的联系,通过直观想象构建几何图形,证明几何定理,理解空间向量解决立体几何问题的本质原理,在空间向量的教学中培养学生的空间观念,发展学生的直观想象素养.     

立足直观想象“三个层次水平”的教学

直观想象是数学核心素养之一,聚焦直观想象素养,有助于提升数学理性思维.通过深入理解直观想象素养的内涵,笔者归纳直观想象素养的三个层次,并以三节示范课为例,凸显不同的直观想象素养层次,说明落实直观想象素养要借助空间想象感知事物,分析基本元素关系;利用图形描述理解问题,建立数与形的联系;利用图形探索解决问题,构建问题直观模型.     

GeoGebra辅助平面向量的教学探究——以“平面向量基本定理及坐标表示”为例

通过GeoGebra软件,将原本抽象的数学概念和定理予以直观化、动态化,分别从几何和代数两方面来揭示数学对象的本质,从而加强学生对数学抽象概念和定理的透彻理解.以“平面向量基本定理及坐标表示”的教学为例,探究GeoGebra软件在辅助平面向量教学方面的应用.     

“数”与“形”巧妙融合，“动”与“静”综合应用——一道立体几何题的探究

<正>向量是衔接代数属性与几何图形的一个重要纽带，合理沟通“数”(代数)与“形”(几何)之间的联系，是数形结合的典范之一.而巧妙将向量知识融入到立体几何中，动静直观，数形结合，是数学知识交汇、数学思维融合、数学能力综合等方面表现突出的一个创新点，倍受命题者青睐.     

例谈代数思维与几何思维在解题中的应用

几何与代数是中学数学的两个世界,由此产生的几何思维与代数思维在解题中有各自的应用.本文以一道几何试题为例,说明几何思维指导下的数学活动是发展学生数学抽象和直观想象的素养的重要载体,而代数思维解决几何问题可以拓宽学生思维的广度和灵敏性,有助于产生新的解法.解题时不仅要关注几何问题几何化、代数问题代数化,还应当关注几何问题代数化、代数问题几何化.     

“隐圆”的代数条件形式、特征及运用

<正>"直观想象"是普通高中数学课程标准(2017版)中明确提出的六大数学核心素养之一.它是指:借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.它主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题,探索解决问题的思路方法,进一步理解问题的数学本质.     

化无形为有形 促进深度理解

几何直观是沟通抽象与具体的纽带,其为学生深度理解数学知识提供了新途径、新方法.教学中,教师应为学生搭建更宽阔的几何背景,从而将抽象的知识具体化、直观化,以此让学生获得深层次的理解,培养学生的直观想象素养,提升课堂教学的有效性.     

学会数学思考 学会怎样解题——以“阿波罗尼斯圆的几何性质探究”为例

笔者以“阿波罗尼斯圆的几何性质”教学为例,呈现将“教学生学会思考”的原理应用于数学教学的过程.通过一题多解,从不同的视角研究问题,提升学生的发散性思维能力,体现数学知识之间较强的逻辑性和系统性.在解题过程中培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析素养,最终实现学生解题能力和数学素养的可持续发展.     

核心素养导向下初中数学代数推理能力培养探析

推理是数学核心素养之一,是数学基本的思维方式.初中阶段的推理按类型分为几何推理和代数推理.很多初中数学教师注重几何推理,而忽视代数推理,从而导致在教学过程中缺少对学生代数推理能力的培养.为后面更长远的学习带来阻碍,也无法提升学生的数学核心素养.本文从代数推理的现状、推理之间的关系及代数推理能力的培养策略三部分进行探析.     

直观想象素养导向的立体几何教学研究——以“直线与平面平行”为例

《普通高中数学课程标准(2017版)》提出要发展学生的数学核心素养,但在课堂教学中如何培养核心素养仍是一大难题.本研究以新教材立体几何证明的开篇课“直线与平面平行”为例,通过借助几何直观帮助学生认识引入判定定理的必要性,构建几何直观模型发现和论证判定定理与性质定理,尝试将内隐的直观想象核心素养外显化到具体的教学环节中,借助几何直观使抽象问题形象化,构建数学问题的直观模型使复杂问题简单化,从而落实直观想象素养的培养.     

探析初中数学教学中学生几何直观素养的培养

《义务教育数学课程标准(2022年版)》中指出要重视发展学生的几何直观素养,几何直观能够帮助学生深入理解数学概念,准确把握数学问题,开拓学生的数学思维,发展学生的创造性,对学生的数学学习具有极大的帮助.在初中阶段,教师可以利用实物和图形直观辅助概念形成教学;在命题探究教学中培养学生直观分析和直观解释的能力;在问题解决教学中,通过培养学生数形结合能力、直观洞察能力以及注重语言表达三个方面来培养学生的几何直观素养.     

平面向量与其他知识的综合应用问题

<正>平面向量是既有大小又有方向的量，同时具有“数”与“形”的双重特点，是数形结合自然一体的“桥梁”,可以有效“串联”起平面向量与其他知识，实现不同数学知识点之间的交汇与融合.平面向量既可以将几何问题代数化，借助坐标、符号、数量等将推理转化为数学运算来处理，也可以将代数问题几何化，借助几何意义、图形等将运算转化为直观模型来解决.1 平面向量的实际应用问题平面向量这一“数”“形”兼备工具在实际问题中的应用，