圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.     

有心圆锥曲线与圆的联系

定理1如图1,设QQ′是圆x2 y2=a2的异于椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)长轴的一条直径,过直径端点Q,Q′分别作椭圆的切线,则切线的交点在椭圆的准线上.图1定理1图定理2从椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的两条准线上关于原点对称的两点E(a2c,y0),E′(-a2c,-y0)作椭圆的切线,则切线的交点在圆x2     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

圆与椭圆的一组相关性质

本文拟介绍关于圆x2 y2=a2与椭圆x2a2 y2b2=1的一组相关性质.图1定理1图定理1如图1,点A,B分别为椭圆x2a2 2yb2=1的左顶点和右顶点,点F1,F2分别为椭圆x2a2 2yb2=1的左焦点和右焦点,过椭圆x2a2 2yb2=1上异于点A,B的任一点P引椭圆x2a2 2yb2=1的切线交圆x2 y2=a2于点M,N(两交点中偏     

牛顿定理的两种新证法

<正>牛顿定理[1]圆外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线的交点重合.此定理是说,若凸四边形ABDF外切于圆,AB,BD,DF,FA边上的切点分别为P、Q、R、S.则四条直线AD、BF、PR、QS交于形内一点.文献[1]给出了8种证法.经笔者探究,给出如下两种新的证法,供鉴析.     

谈谈“和圆有关的比例线段”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各省市中招考试必考的重要知识 ,尤其是“和圆有关的比例线段”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .和圆有关的比例线段 ,知识点多 ,综合性强 ,题型广泛 ,方法灵活 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要给予高度重视 .以下谈谈“和圆有关的比例线段”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者阅读参考 .一、熟练掌握相关定理及推论1.相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 .如图 1,弦AB ,CD相交于P点 ,则有PA·PB =PC·PD .2 .相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相…     

解析几何中的“几何法”

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题 ,当然离不开代数推理、计算 ,但在有些题目中 ,若能根据题中给出的条件 ,充分应用几何性质 ,利用“几何法”求解 ,将使解题过程简单化 .　　一、利用圆的性质1.根据圆的定义【例 1】　如图 ,圆方程是x2 y2 =16,点A(2 ,0 ) ,B是圆上的动点 ,AB的垂直平分线m与OB交于点P ,求点P的轨迹方程 .分析 :因为点P是m与OB的交点 ,易想到用交轨法 ;或点P的轨迹是由点B在圆上运动所致 ,易想到用代入法或参数法求解 .但从另一角度考虑 ,m是AB的垂直平分线 ,所以点P到点A、B的距离相等 ,即｜PO｜与｜…     

圆锥曲线的“蒙日圆”

<正>圆锥曲线有关切线的问题时常出现,而关于椭圆的切线,有一个著名的定理:在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上(如图1),该圆的圆心是椭圆的中心,半径等于(a²+b2+b²)2)^(1/2),其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴.因为发现该圆的人是法国数学家加斯帕尔·蒙日,所以这个圆又叫蒙日圆.     

高明的演员——相交弦定理

和圆有关的比例线段中,有相交弦定理与推论、切割线定理与推论等.如果你注意观察就可发现,所有的定理与推论,都是相交弦定理这个演员扮演的.不信就请听我说. 如图1,圆O中,弦AB、CD相交于P,则PA·PB=Pc·PD.这就是相交弦定理.     

“两二次曲线相切”“△=0”?

1　楔子例 1　对ａ的不同取值讨论圆ｘ2 ｙ2 - 2ａｘ ａ2 - 1 =0与抛物线ｙ2 =12 ｘ的交点个数 .解　把ｙ2 =12 ｘ代入圆的方程 ,可得△ｘ =1 74- 2ａ ,由△ｘ=0得ａ=1 78,此时圆与抛物线相内切 ,由圆的运动位置易得 :(1 )当 1 <ａ <1 78时 ,两曲线有 4个交点 ;(2 )当ａ=1时 ,两曲线有 3个交点 ;(3 )当｜ａ｜<1或ａ=1 78时 ,两曲线有 2个交点 ;(4)当ａ =- 1时 ,两曲线有 1个交点 ;(5 )当ａ <- 1或ａ>1 78时 ,两曲线没有交点 .2　疑点(1 )由图可知当ａ=- 1时 ,圆与抛物线相切 ;当ａ=1时 ,圆与抛物线有 3个交点 ,其中一个是切点 ,为什么由△…     

Pascal定理的复数证明

Pascal定理　设ABCDEF为圆内接六边形,相对的边AB和DE,BC和EF,CD和FA(或延长线)的交点分别为P,Q,R,则此三点共线(见图1,图2).Pascal定理是平面几何中的著名定理,有多种证法,可见[1].本文,我们在平面上建立复坐标,计算出P,Q,R三点的坐标,用(zQ-zP)/(zR-zP)是实数这一事实来说明P,Q,R三点共线.这种做法的难点是得到(zQ-zP)的因子分解式(见下文(1)式),优点是思路简单,除了计算外,无须添助任何辅助线.证明　在复平面上,设圆的中心为原点,半径为1.A,B,C,D,E,F,P,Q,R九点的复数分别为t1,t2,t3,t4,t5,t6,zP,zQ,zR.先给出直线AB…     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

切割线定理引出的一个结论

切割线定理的证明是大家所熟悉的 .其过程如下 :如图 1,P为圆O外一点 ,PA切圆O于A ,PBC交圆O于B、C ,求证 :PA2 =PB·PC .证明　∵　PA切⊙O于A ,∴　∠PAB =∠C .∵　∠P =∠P ,∴　△PAB∽△PCA .∴　 PAPC=PBPA.∴　PA2 =PB·PC .在这一过程中 ,由△PAB∽△PCA ,我们还可以得到另一个结论 :PBPA=ABAC.利用这个结论 ,可以快速地解决圆中有关图形的计算、证明问题 .图 2例 1(黑龙江省 ,1999)如图 2 ,P为圆O外一点 ,PA切圆于A ,PA =8,直线PCB交圆于C、B ,PC= 4,AD⊥BC于D ,∠ABC =α ,∠ACB =β ,连结A…     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

坐标法的反作用——诱导出几何妙法

1 牛顿·高斯中点线定理 定理平面上的四条直线两两相交,它们的交点A、B、C、D、E、F如图1所示,L、M、N分别为AC、BD、EF的中点.则L、M、N共线.     

有心圆锥曲线与圆的联系

定理1 如图1，设QQ’是圆x^2＋y^2=a^2的异于椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）长轴的一条直径，过直径端点Q，Q’分别作椭圆的切线，则切线的交点在椭圆的准线上。     

圆、椭圆、双曲线的一个统一定义

定理1　在平面上,分别过两个定点(-a,0)和(a,0)的直线,若斜率乘积为-1,则两直线交点的轨迹连同两个定点组成的图形为圆.     

纵横联想拓展延伸——对一道解几题的深入探究

数学教学中的习题教学应该成为高效的思维训练 .选择典型例题 ,引导学生拓宽思维空间 ,广泛地探寻各种解法 ,通过对比鉴别 ,不断择佳选优 ,然后再进行拓展延伸 ,则是进行这种思维训练的理想途径 .本文以一道解几题为例 ,谈谈这种训练的实施过程 .题目　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )的顶点 O作两条互相垂直的弦 OP1、OP2 ,分别以OP1、OP2 为直径作圆 ,两圆的交点为 O、Q,求Q点的轨迹方程 (如图 1 ) .1　异彩纷呈 ,逐步优化的各种解法图 1由于弦的斜率是引起交点 Q变化的根源 ,所以首先想到的是分别设出直线 OP1和OP2 的方程 ,求出 P1、…     

圆锥曲线间的相互变换

文 [1 ]中给出了圆锥曲线间的几个有趣变换 ,并作了推广 .笔者经过深入研究发现 ,文 [1 ]中的定理还可以进一步推广到更一般的情形 ,而且有趣的是 ,圆锥曲线间可以相互变换 ,由一种圆锥曲线可以生成所有的各种圆锥曲线 .定理 1　设椭圆c:x2a2 +y2b2 =1 (a >b >0 ) ,PP′是c上的垂直于x轴的一条弦 ,M(m ,0 ) ,N(n ,0 )是x轴上的两点 ,设直线PM与P′N的图 1　定理 1图交点Q的轨迹为c′ .则1 )当 (m +n) 2 - 4a2>0时 ,c′为椭圆或圆 ;2 )当 (m +n) 2 - 4a2= 0时 ,c′为抛物线 ;3)当 (m +n) 2 - 4a2<0时 ,c′为双曲线 .证　设P (acost,bsint…