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拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献
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<正> 我们知道:如果f_1(x),f_2(x).…,f_n(x)…都在[a,b]上连续且f_1(x),f_2(x)…,f_n(x),…在[a,b]上一致收敛于f(x),那末f(x)必在[a,b]上连续.现在我们提出一个相反的问题:如果f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…都在[a,b]上连续,且f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…在[a,b]上收敛于 相似文献
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文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),… 相似文献
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<正> 微分学中拉格朗日中值定理为: 定理1 若函数f(x)满足:i)f(x)在[a,b]上连续,(ii)f(x)在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。 相似文献
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20 0 0年全国高中数学联合竞赛第 14题是 :若函数 f( x) =- 12 x2 + 132 在闭区间[a,b]上的最小值为 2 a,最大值为 2 b,求[a,b].由于对于给定的二次函数 f ( x)和给定的正常数 k,并不一定存在闭区间 [a,b],使f( x)在 [a,b]上的最小值为 ka,最大值为 kb,由此使笔者想到 :命题者是如何找到 f( x)的 ?其相应闭区间的存在性是否有一般性的判别法则 ?当闭区间存在时 ,其个数问题能否确定 ?事先可否对闭区间提出一些特殊要求 ?经探索 ,笔者获得了如下结论 :定理 存在闭区间 [m,n]( m 相似文献
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通常所见Riemann积分换元公式的形式是:若φ(α)=a,φ(β)=b,则在适当条件下有 integral from a to b(f(x)dx)=integral from α to β(f[φ(t)]φ′(t)dt)。在常义R(Riemann)积分时须假定:f(x)在[a,b]上连续,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续。这时上述等式成立。或者假定:f(x)在[a,b]上R可积,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续,且φ′(t)≥0(或φ′(t)≤0,即φ(t)单调)。本文证明了:若f(x)在[a,b]上有界,φ(t)可表成R可积函数φ(t)的不定积分,则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件为f[φ(t)]φ(t)在[α,β]上R可积,并且有上述等式成立(详见下文定理1)。 相似文献
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本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理 若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) … 相似文献
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现行高中数学课本上对可导函数求最值的方法介绍如下:设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,那么,求y=f(x)在[a,b]上的最大、最小值的步骤是:(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值.(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 相似文献
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<正> 在陈仲、洪祖德编写的《高等数学研究生入学试题与典型例题选解》(南京大学出版社,1986年版)第105页上,载有北京航空学院1986年研究生入学考试的一道试题及其证法如下: 设f(x)是在[a,b]上的连续严格单调函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a相似文献
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本文推广了文献[1]-[4]中的Opial不等式. 在D.S.密特利诺维奇著的《解析不等式》中介绍了Opial不等式及其推广([2]-[4])。本文也给出有关Opial不等式的推广,且给出其等式成立的充要条件。证法也比有关文献更简单。 定理1 设f,g∈C[a,b],f’,g’[a,d]上都可积,f(a)=0,g(x)>0, x∈[a,b],且g(x)在[a,b]上非增,p>0,q≥1,则有如下的不等式: 相似文献
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<正> 著名的积分中值定理可叙述为: 积分第一中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积且不改变符号,则存在ξ∈[a,b],使 相似文献