晶体几何系列之三 准晶是高维晶体投影的证明

晶体中原子的排列具有平移对称性,平移对称性限制了晶体只有n=1,2,3,4,6次转动对称。发现有8-次,10-次,12-次转动对称的准晶。准晶结构是高维晶体结构的投影。晶体和准晶的定义统一于点状衍射花样。     

广义相对论与黎曼几何系列之一：古老又现代的几何学

1915 年,爱因斯坦提出了他最引以为傲的理论——广义相对论,至今一百年过去了,这个学说仍然是天体物理及宇宙学的重要理论基础。而广义相对论又是建立在距离当时50 年前黎曼几何的基础之上。因此,广义相对论的故事,要从几何讲起……     

关于晶体空间群性质的证明的一个注记

本文指出了《群论及其在固体物理中的应用》一书中关于晶体空间群性质的证明中存在的一个错误,并给出了一个严格的证明.     

晶体几何系列之二 平面上圆密排定理的证明

<正>阿克塞尔·图(Axel Thue,1863—1922),挪威数学家,毕业于奥斯陆大学数学系,曾受名家索菲斯·李的指点,以丢番图方程和组合方面的研究而闻名,被誉为思想与成就皆超前于时代的人。笔者以为,其1910年关于六角密堆积是平面上最有效堆积方式的     

准晶体中八方晶系点群的对称性与矩阵表示

从理论上对准晶体中八方晶系各点群进行了研究.运用八方晶系各点群的极赤投影图,列出了各点群的所有对称操作;填出了固有点群822的群乘表.运用坐标变换和群论在自定义的八方坐标系中,推导出八方晶系点群所有对称操作的矩阵.这32个3×3矩阵的结构是相当简洁的,它们的矩阵元只有5种可能取值:0,±1,±2.其中2是反映八方晶系准晶体所具有的准周期性的特殊无理数.     

晶体几何系列之四 只有五种柏拉图多面体的证明

<正>一般的数学教育内容都会包含简单的欧几里得几何学。那里面的几何形状,大体上都是一些多边形,且是区分形状和大小的。随着人们对几何认识的深入,还发展出了更高深的学问,拓扑学。拓扑学,topology,关切几何体的拓扑性质,与大小、形状无关而只和topos(可理解为某种相对位置关系)有关。几何学的意义怎么强调都不为     

硅酸盐晶体中四面体微结构单元的点群分析

通过群论的方法对硅酸盐晶体中5种Si-O四面体单元的对称性进行了分析,得到5种四面体单元振动的不可约表示,然后在此基础上,通过特征标投影算符法推导计算了由内坐标到对称坐标的转换矩阵,以用于四面体单元振动光谱的计算以及拉曼和红外光谱中谱带的指代和性质分析.     

广义相对论与黎曼几何系列之三：曲面的微分几何

用微积分的方法对曲线及曲面进行研究,除了欧拉、克莱洛等人的贡献之外,蒙日(Gaspard Monge, 1746—1818) 的工作也举足轻重。蒙日是画法几何学的创始人,他对曲线和曲面在三维空间中的相关性质作过详细研究,并于1805 年出版了第一本系统的微分几何教材《分析法在几何中的应用》。这部教材被数学界采用长达40 年之久。蒙日自己培养了一批优秀的数学人才,其中包括刘维尔、傅里叶、柯西等人,形成所谓“蒙日微分几何学派”。其特点是将微分几何与微分方程的研究紧密结合起来。因此,相关的曲线和曲面几何的研究也大大促进了微分方程,特别是偏微分方程理论的进展。本系列文章的第一篇叙述了三维空间曲线。一条空间曲线的曲率和挠率, 是空间位置的函数。这两个函数完全决定了这条曲线在三维空间中的形态。那么,三维空间的曲面又有哪些我们感兴趣的基本性质呢？     

广义相对论与黎曼几何系列之四：内蕴几何

高斯在1827 年的著作《关于曲面的一般研究》中,发展了内蕴几何。所谓“内蕴”,是相对于“外嵌”而言,指的是曲面(或曲线)不依赖于其在三维空间中嵌入方式的某些性质。内蕴的概念也可以被解释得更为物理一些：一个观察者在自己生活的物理空间中所能够观察和测量到的几何性质就是这个空间的内蕴性质。也有人比喻说：外嵌是机械设计工程师看待曲面的方法,他们将曲面看成三维机械零件的表面;而内蕴几何则是地球上的测地员测量地球表面所得到的几何性质。举例来说,内蕴几何量的最简单例子就是弧长。一条直线可以在三维空间中看似转弯抹角地任意弯曲,即随意改变它的曲率和挠率,但生活在直线上的“点状蚂蚁”观察不到这些“转弯抹角”,只能测量到它爬过的弧长。因此,空间曲线的曲率和挠率,是三维空间的生物观察这条曲线时得到的重要几何性质,但却并不是内蕴几何量。对曲面来说也是如此,弧长并不因为平面卷成了柱面或锥面而改变。弧长与曲线(或曲面)嵌入空间中的弯曲情况无关,因而是个内蕴几何量。     

广义相对论与黎曼几何系列之七：黎曼几何

在广义相对论与黎曼几何系列之四中,介绍“内蕴几何”时说过,高斯以他的“绝妙定理”建立了曲面内在的微分几何。之后,是高斯的得意门生黎曼将曲面的概念扩展到流形,将内蕴几何扩展到n维的一般情形,建立了黎曼几何。
黎曼(1826—1866)出生在一个贫困的普通家庭,比高斯刚好小50岁。有趣的是,按时间算起来,高斯那时候正好在这个地区进行土地测量。时间的巧合,给人一种神话式的联想：上帝是否就在那时候将非欧几何——黎曼几何的思想种子,植根到了那片被高斯丈量的土地上。     

O_h~n空间群Γ点二级结构相变的方向

通过朗道二级相交理论中热力学势最小值的计算,给出了O_h~1至O_h~(10)空间群r点二级结构相变的方向,并讨论了“最大子群”条件。     

分子点群的确定与典型分子点群显示系统设计

基于分子点群判别的系统方法和步骤，以MATLAB语言设计了分子点群判别的计算机程序和典型分子点群中旋转、反映、反演、移动操作的计算机模拟操作，为进一步开拓计算机在量子化学中的应用和建立量子化学计算工具箱做了有益的探索。     

二维光子晶体点群对称对不可约布里渊区的影响

采用平面波展开法,研究了二维光子晶体点群对称对不可约布里渊区的影响。在单柱体二维光子晶体单胞中增加一个柱体,设计成不同点群对称操作数的对称结构,计算了最低5条能带的本征频率值在第一布里渊区的分布图。结果表明:在计算二维光子晶体的能带结构时,如果光子晶体的点群对称操作数为n,所取的不可约布里渊区应为整个第一布里渊区的1/n。     

空间群的选择定则

本文在J.L.Birman方法的基础上,对布里渊区内跃迁和散射的选择定则,作了进一步的理论分析,在满足准动量守恒条件的情况下,提出了空间羣简约系数的比较简单的计算方法。并用这个方法计算了六角密积结构及纤维锌矿结构的空间羣简约系数,从而决定了这两个结构的布里渊区内跃迁和散射的选择定则。     

晶体学与准晶体学点群的母子群关系

依据群论，得出了准晶体学点群的直积或半直积推导算式；依据结晶学理论，绘出了五角、八角、十角和十二角晶系各点群的极赤投影图.据此推导出了每一个准晶体学点群的全部最大子群，从而推导并绘制出了三维晶体学和准晶体学点群之间的母子群关系(60个点群的“家谱”).该“家谱”以最大子群链的图解形式直观地给出了每个点群的最小母群和最大子群. 关键词： 准晶体 晶体 点群 最大子群 最小母群 群链     

BSO晶体空间光学双稳态

在理论上预言了一种新的参量空间光学双稳态，即以偏置电压为输入参量，Ｂｉ１２ＳｉＯ２０晶体输出的高斯光束远场光斑中心点的光强为输出参量和输入高斯光束功率为常量的一种光学双稳态。并且在实验中分别实现了正偏置和反偏置两种情况下的偏置双稳态。     

广义相对论与黎曼几何系列之十一 等效原理

正上帝经常和人类开玩笑。他早早地派来一个牛顿,点亮了科学殿堂角上的一个小火把,却让无数个大门紧锁的房屋,仍然隐藏于深邃的黑暗之中。牛顿之后将近两百年,人类在其火把的照耀下忙乎了一阵子,看清楚了周围不少景观,将牛顿的物理及数学方面的理论发扬光大,同时也发展了多项技术,掀起了工业革命,正兴致勃勃地用新的科学技术建造一个更具现代特色的文明社会。然而,上帝总想在人类科学殿堂上玩点儿什么花招。于是     

广义相对论与黎曼几何系列之二：牛顿引力

当年,18岁的克莱洛因为对空间曲线之曲率和挠率的研究而被选入了法国科学院,在那儿,他与皮埃尔·莫佩尔蒂成为了好朋友。莫佩尔蒂比克莱洛大15 岁,但在当时也算是一名相当年轻的科学院院士。莫佩尔蒂后来因为最小作用量原理而知名。在那个时代,欧洲数学界和物理学界的少年天才颇多,年轻学子意气风发、英雄辈出。比克莱洛大五岁的欧拉以及比克莱洛小五岁的达朗贝尔,都是在十二三岁的小小年纪就进了大学。后来,这三个人在研究牛顿引力定律的过程中还演绎了一段值得回味的故事。     

D_3(32)点群压电晶体全部电弹常数的测定

本文依据压电板振动理论,提出D_3(32)点群压电晶体全部电弹常数测量新方案,以国产α-石英晶体为例,给出其全部电弹常数及部分机电耦合系数。     

具有中心对称结构的3m点群晶体中紫外三次谐波的产生

研究了中心对称晶体中的三阶非线性频率转换,并在这类晶体中实现了紫外激光的有效输出.确定了负单轴晶体的相位匹配角公式及相应的相位匹配角.选择带有离域共轭π键的冰洲石晶体和α-BBO晶体进行实验.以飞秒激光作为基频光,在Ⅱ类相位匹配方式下,利用α-BBO晶体获得了最高单脉冲能量为37.6μJ的266nm紫外三次谐波,最高转换效率为2.5%;利用冰洲石晶体获得了最高单脉冲能量为19.3μJ的266nm紫外三次谐波,最高转换效率为1.25%.该研究验证了利用中心对称晶体的三阶非线性效应直接获得紫外激光的可行性和获得深紫外激光的可能性,为紫外非线性晶体的探索和深紫外激光的研究提供参考.