非饱和土壤水—维水平运动方程的拟解析解及其验证*

本文讨论了土壤水—维不饱和水平流方程的解析解问题.文中首先根据土壤水扩散率D与土壤含水量θ之间的经验关系.对原土壤水—维不饱和流方程作变量代换,将方程变为易于求解的形式,然后采用变量分离的方法并结合Boltzmann变换法进行求解.从而得出了解析表达式.同时这个解析解在土壤水—维水平不饱和流实验中得到了验证,从而证明了其解析表达式的正确性。     

波动方程柯西问题的新解法

通过分离变量法，将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题，从而可解一维、二维波动方程柯西问题，该方法可以推广到求解高维波动方程柯西问题。     

一类特殊初值柯西问题的简易解法

通过对初始条件为平面波的三维波动方程柯西问题的研究,利用变量变换,将三维波动方程柯西问题转化为一维波动方程柯西问题,以利用达朗贝尔公式来求解,从而避开了使用复杂的泊松公式.     

复合材料力学的Hamilton体系和辛几何方法(Ⅰ)——一般原理*

首次把用于动态体系的Hamilton系统引入到静力学中,建立了与原控制方程相对应的Hami-lton方程,可以对全状态向量分离变量,求出解析解和半解析解,特别适合于求解矩形域平面问题和柱形域空间问题.本文建立了一种求解偏微分方程的新方法,并对复合材料力学中的层合板的弯曲和平面应力问题的求解做了详细说明.     

准一维单原子晶格非线性振动方程的双周期解

利用行波变量代换和辅助椭圆方程法,求解了准一维单原子非线性晶格振动方程,得到了新的双周期波形式的椭圆函数解.在极限情形下,不仅可以还原为前人给出的扭结孤子解,同时还给出了一类新的类孤子解.     

分离变量法在变系数(2+1)维方程求解中的应用

分离变量法是求解具有局域相干结构解的有效解析方法.考虑到传播介质的非均匀性和边界的不一致性,变系数(2+1)色散长波方程可以实际地描述宽广的河道或有限深的远海中非线性波的传播.解析研究了变系数(2+1)维色散长波方程.通过分离变量法,得到了该方程组的具有丰富结构的分离变量解.     

Hamilton体系辛半解析法及在非均匀电磁波导中的应用

力学中的Hamilton体系需用对偶变量来描述,而电磁场正好有电场和磁场这一对对偶变量．尝试将力学中的Hamilton体系理论应用于电磁波导的分析,以横向电场和磁场作为对偶变量,将电磁波导的基本方程导向辛几何的形式．基于Hamilton变分原理, 导出横向离散的半解析系统方程, 保持体系的辛结构．以非均匀波导为例, 求解了方程的辛本征值问题, 计算结果与解析解相当吻合．     

拟流函数法——叶轮机械内三维流动分析问题和设计问题的一种求解方法

本文从动量方程的特点出发并满足连续方程,引入了两个拟流函数.每个拟流函数的主方程均只包含其自身的二阶偏导数,而不包含另一个拟流函数的二阶偏导数.这样,完全的三维解便可通过两个拟流函数主方程的分别单独求解和它们之间的相互迭代来获得.文中给出了在任意非正交坐标系中拟流函数的主方程和相应的边界条件.对叶轮机械内部三维气动分析问题和设计问题的求解进行了讨论和计算,并与解析解、其他数值解法做了比较.结果表明:这种拟流函数方法计算准确而简便,易于得到收敛结果,是求解三维无粘流动的好方法.     

退化解析同胚的不变环面的存在性

本文研究定义于Ｔ１×［０，１］２上的近似可积解析同胚的不变环面的存在性，其中Ｔ１＝Ｒ／Ｚ是一维环面．这个解析同胚有一个角变量和两个作用变量，因而具有很强的退化性．在一定的条件下证明了，只要此解析同胚充分接近可积映射，它就有大量一维环面保留下来．     

Poiseuille流的谱问题

对Poiseuille流问题的Orr-Sommerfeld方程严格求解.得到的正规解不含外来奇点.从而谱方程可作解析的显式分析.本文结果可以进一步讨论分岔解.     

求解一维侧边热传导方程反问题的正则化方法

研究了一维侧边热传导方程反问题.在求解一维侧边热传导方程的基础上,利用数值积分法进行离散化处理,然后引入正则化方法,采用偏差原理确定正则化参数,从而得到一维侧边热传导方程反问题的数值解.数值模拟结果表明,给出的正则化方法对于求解一维侧边热传导方程反问题是可行有效的.     

精确计算Bingham流体圆管层流压降及速度分布规律的新方法

Bingham(宾汉)模型情况下,多采用通用公式进行圆管层流压降的解析计算,即将Bingham模型本构方程代入粘性流体圆管层流流动通用公式进行计算,仅能得到压降的解析解.新方法结合Bingham流体本构方程与运动方程,建立有关力学平衡方程,并运用代数方程的根式解理论对圆管层流流动时的非线性方程进行求解,可直接求得Bingham流体圆管层流压降及速度流核区半径的解析解,进一步可求得圆管层流速度解析解;Bingham流体圆管层流速度的直接影响因素为流量、塑性粘度和屈服值,研究发现速度流核宽度与屈服值成正比,与流量及塑性粘度成反比,且流核的宽度越大,流核区的速度越小.     

基于变分法对一类非线性扩散方程解析解研究

本文分别针对一类扩散系数为非线性指数函数和幂函数的扩散方程,基于变分原理中的泛函极值理论分别提出了求解该方程Dirichlet边界和Neumann边界问题解析解的新方法,并证明了新方法是泛函问题极值解的充要性.以非饱和土壤水分运动问题为背景,给出了积水和恒通量条件下水平吸渗问题的解析解,并通过数值算例将解析解与数值解进行了比较分析,结果表明本文方法得到的解析解能够准确预测非饱和土壤水分水平吸渗问题的土壤含水量分布,是一种有效方法。因此本文方法为求解这一类非线性扩散方程提供了一种有效的新方法.     

基于变分法对一类非线性扩散方程解析解研究北大核心CSCD

本文分别针对一类扩散系数为非线性指数函数和幂函数的扩散方程,基于变分原理中的泛函极值理论分别提出了求解该方程Dirichlet边界和Neumann边界问题解析解的新方法,并证明了新方法是泛函问题极值解的充要性．以非饱和土壤水分运动问题为背景,给出了积水和恒通量条件下水平吸渗问题的解析解,并通过数值算例将解析解与数值解进行了比较分析,结果表明本文方法得到的解析解能够准确预测非饱和土壤水分水平吸渗问题的土壤含水量分布,是一种有效方法．因此本文方法为求解这一类非线性扩散方程提供了一种有效的新方法．     

无限域上一维热传导方程的Gauss-Laguerre数值解

针对无限域上一维热传导方程的解析解为反常积分形式,直接计算往往比较困难.首先采用Fourier变换给出问题解析解,其次结合解析解的形式和无限域上Gauss型数值积分法精度高的优点,将半无限域上的一维热传导方程问题利用Gauss-Laguerre数值积分计算数值解,对无限域上的一维热传导方程的解析解转化为半无限域上的形式后用Gauss-Laguerre数值积分计算.实验结果表明,本文给出的数值解方法具有很高的精度.     

混凝土断裂力学虚拟裂缝模型的半解析有限元法

利用平面扇形域哈密顿体系的方程,通过分离变量法及共轭辛本征函数向量展开法,以解析的方法推导出基于混凝土断裂力学中虚拟裂缝模型的平面裂纹解析元列式．将该解析元与有限元相结合,构成半解析的有限元法,可求解任意几何形状和荷载混凝土平面裂纹的虚拟裂缝模型计算问题．数值计算结果表明方法对该类问题的求解是十分有效的,并有较高的精度．     

土壤水流与溶质耦合运移问题的混合元-迎风广义差分法研究

本文研究了一维非饱和土壤水流与溶质耦合运移问题的数学模型, 建立了求其数值解的守恒混合元-迎风广义差分格式. 对非线性土壤水分入渗方程, 采用守恒混合元法进行离散模拟, 同时得到了土壤含水量和水分通量; 而对对流-扩散形式的溶质运移方程, 利用迎风的广义差分法离散求解. 且分析了解的存在唯一性, 并讨论了误差估计. 最后给出数值算例, 模拟结果表明利用本文格式来求解非饱和土壤水流与溶质耦合运移问题是可靠的, 且该格式具有稳定性和可实用性.     

解无定法，但有法可寻——抛物线与直线方程问题的解法探究与变式演练

求解符合某种条件的动点运动规律问题，其实质就是利用题设中的已知条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系；求轨迹方程的主要思路就是充分利用已知的几何条件，通过“解析化”将其转化为代数方程.本文中以研究2022年全国高考甲卷抛物线与直线方程大题的解法为切入点，通过相似题型的变式演练，探究了此类问题的常用解法.     

三类conformable型分数阶偏微分方程的精确解

对于conformable型分数阶的Airy方程和Telegraph方程,利用泛函分离变量法和广义分离变量法求解了它们的精确解.对于无黏的conformable型分数阶Burgers方程,利用广义分离变量法求解了它的精确解.事实证明,分离变量法是一种简洁直接的求解方法.此外,还借助Maple软件绘制了一些解的三维图像.     

一个带有小参数的二维椭圆方程的渐近性分析

通过数值方法研究在边界充分(逐段)光滑区域上的带有小参数的二维椭圆方程在部分Dirichlet边界控制下的渐近性问题.对于一维的情形求解析解的结果,对高维问题提出类似的问题.但高维问题解析求解一般不可能,因此采用数值分析的方法.数值结果表明,在所选的条件下,边界值对小常数仍然不是解析的.