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证明三角形不等式的一种方法方明(四川省平昌二中635400)众所周知,△ABC的内切圆在三个切点处把三边a,b,c分成a=y+z,b=z+x,c=x+y,()其中x,y,z均为正数.应用代换(),可将三角形的边元不等式在条件b+c>a,c+a>b... 相似文献
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设m是正整数,证明了:(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1, 那么丢番图方程 ax+ by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且 a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+5|,b= 5m4-10m2+1, c=m2+ 1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解 (x,y,z)=(2,2,5). 相似文献
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在高三复习阶段 ,我遇到了这样一道题目 :设a ,b,c为三角形的三边 ,求证 :ab +c-a+ ba +c-b+ ca +b -c≥ 3.解答如下 :证明 令b +c -a =x ,a +c -b =y ,a+b -c =z .则a =y +z2 , b =x +z2 , c =x + y2 .∴ ab +c -a+ ba +c -b+ ca +b -c =y +z2x + x +z2y + x + y2z =12 (yx+ zx+ xy+ zy+ xz+ yz) ≥ 12 ·66yx·zx·xy·zy·xz·yz =3.(证毕 )总结 对于给出的条件或待求的结论比较繁琐时 ,可首先考虑将其中的一个整体进行换元 ,从而达到解… 相似文献
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函数f(x)在区间[a,b]上单调增加(或单调减少),又c、d∈[a,b]上,若f(c)=f(a),则有c=d.1 求代数式的值例1 已知x、y∈[-π4,π4],a∈R,且 x3+sinx-2a=04y3+sinycosy+a=0则cos(x+2y)= .(1994年全国高中数学竞赛题)解 由已知条件,可得 x3+sinx=2a(-2y)3+sin(-2y)=2a故可设函数f(t)=t3+sint,则有f(x)=f(-2y)=2a.由于函数f(t)=t3+sint,在[-π2,π2]上是单… 相似文献
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20 0 0年第 4 2届IMO的第 2题是 :设a ,b ,c∈R ,且abc =1.求证 :(a - 1 1b) (b - 1 1c) (c - 1 1a)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由abc =1,不妨设a =xy ,b =yz ,c=zx (x ,y ,z∈R )代入 ( 1)式 ,得( xy - 1 zy) ( yz - 1 xz) ( zx - 1 yx)≤ 1 (x z - y) (x y -z) ( y z -x)≤xyz . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由 x2 ≥x2 - ( y -z) 2=(x y -z) (z x - y) ,y2 ≥ ( y z -x) (… 相似文献
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不少文献研究了无理函数y=tx+v+kax2+bx+c(ak≠0)()的值域问题(设b2-4ac≠0).本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法.原函数式配方,得y=tx+v+ka(x+b2a)2+4ac-b24a.作替换z=x+b2a,则y=tz+(v-bt2a)+kaz2+4ac-b24a.若a<0,则有y=tz+(v-bt2a)+k-a ·b2-4ac4a2-z2.若a>0,则有y=tz+(v-bt2a)+ka ·z2+4ac-b24a2.因此,函数式的根号内可化为r2-z2… 相似文献
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设二次分式函数y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2①其中a1,a2,b1,b2,c1,c2∈R.如何求函数的值域A?若令f(x)=a1x2+b1x+c1,g(x)=a2x2+b2x+c2,如果f(x)与g(x)存在一次或二次公因式或a1,... 相似文献
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由费马点引出的若干竞赛问题 总被引:1,自引:0,他引:1
费马点及其性质如果F为△ABC的费马点,a、b、c和S分别为△ABC的三条边长和面积,FA=x,FB=y,FC=z,f=x+y+z(下同),那么费马点F有下述性质:定理当△ABC的三内角均小于120°时,f=22a2+b2+c2+43S(1)当△AB... 相似文献
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利用配方法不难推证下列三元恒等式 :3 (a2 +b2 +c2 ) =(a +b+c) 2 +(a -b) 2 +(b -c) 2 +(c -a) 2 .巧用这一恒等式 ,可以妙解一类方程 (组 )竞赛题 .1.巧查一道错题例 1 设x ,y ,z是三个实数 ,且有1x +1y+1z=21x2 +1y2 +1z2 =1,则 1xy+1yz+1zx的值是 ( ) .(A) 1 (B) 2 (C) 32 (D) 3(1991年南昌市数学竞赛试题 )解一 利用 (a +b +c) 2 =(a2 +b2 +c2 ) +2 (ab+bc+ca) ,容易误得 (C) 32 .∵ 2 2 =(1x +1y+1z) 2=1x2 +1y2 +1z2 +2 (1xy+1yz+1zx)=1+2 (1xy+1yz+1… 相似文献
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由高中《代数》(上册)互为反函数的性质知:互为反函数的两个函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.那么函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象是否也关于直线y=x对称?它们之间到底有何关系?本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题:定理1 若函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),则函数y=f(x+c)(c∈R)与y=f-1(x+c)的图象关于直线y=x+c对称.证明 设P(a,b)是函数y=f(x+c)上任意一点,则 b=f(a+c)①而点P(a… 相似文献
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1.已知b、c为方程x2+bx+c=0的两个根,且c≠0,则(b,c)= .2.实数x、y、z满足x=6-3yx+3y-2xy+2z2=0则x2y+z的值为 .3.正数x1,x2,x3,x4,x5,x6同时满足x2x3x4x5x6x1=1,x1x3x4x5x6x2=2,x1x2x4x5x6x3=3,x1x2x3x5x6x4=4,x1x2x3x4x6x5=6,x1x2x3x4x5x6=9,则x1+x2+x3+x4+x5+x6的值为 .4.如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于… 相似文献
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一个不等式的图证及推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目:若x,y,z为正实数,则x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x2≥3(x+y+z);(当x=y=z时取等号);文[1]中,对上述不等式提出一个简洁图证;本文再对该不等式给出一个更具一般意义的有效图证,并进而给出其推广及证明;证明:原不等式左边等于x+y22+32y2+y+z22+32z2+z+x22+32x2;构造图(1),设AF=x+y2,DG=y+z2,EH=z+x2,DF=32y,EG=32z,BH=32x;由勾股定理得:AB=AC2+BC2=x+y2+y+z2+z+x2… 相似文献
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文献[1]中得出了下述二次型三角形不等式:对锐角△ABC与任意实数x,y,z,有s-aax2+s-bby2+s-ccz2≥2(yzcosBcosC+zxcosCcosA+xycosAcosB)①其中a,b,c与s分别为三角形的三边与半周.最近,我们在... 相似文献
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根据定理 1,2和 3;求任何一个方程 a~x-b~y=n,a~xb~y±a~z±b~w±1=0 或a~x±b~y±a~z±b~w=0(x,y,z,w∈≥0)的解都是很简单的,此处a,b是适合 2 ≤5 a,b≤50的互素的两个整数,n是适合1≤n≤80000的整数. 相似文献
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根据定理 1,2和 3;求任何一个方程 a~x-b~y=n,a~xb~y±a~z±b~w±1=0 或a~x±b~y±a~z±b~w=0(x,y,z,w∈≥0)的解都是很简单的,此处a,b是适合 2 ≤5 a,b≤50的互素的两个整数,n是适合1≤n≤80000的整数. 相似文献
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如果两实数a ,b满足a +b =0 ,则ab≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1 x ,y ,z均为实数 ,解方程组x + y =2xy -z2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解 由①得 (x -1) + (y -1) =0 .∴ (x -1) (y -1) =xy-(x + y) + 1≤0 ③①、②代入③得 (x -1) (y -1) =z2 ≤ 0 ,∴ z =0 , x -1=y -1=0 .故方程组的解是 x =1,y =1,z =0 .例 2 已知实数a ,b ,c满足a +b +c =0 ,abc=8.求c的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解 由已知 (a + 12 c) + (b + 12 c)… 相似文献