构造二次方程 巧用韦达定理

大家知道,韦达定理在解答数学问题中用途十分广泛,有时甚至看起来不具备使用条件而经过构造二次方程,巧用韦达定理来进行解题。例1 有双曲线xy=1,过点,A(a,0)作斜率为m的直线,交双曲线于B、C两点,交y轴于D点,(a>0,m<0),①证明|AB|=|CD|;②若|AB|=|BC|,试用a表示m。     

用韦达定理构造二次方程证一类不等式

大家熟知的基本不等式a+b≥2(ab)~(1/2)(a、t∈R~+)也可这样证明:先利用韦达定理构作一个以a、b为根的一元二次方程x~2-(a+b)x+ab=0,然后根据方程有实根的条件△≥0得到(a+b)~2≥4ab,由a、b为正数,因而获证。这一简例启发我们应用上述方法可巧证这样一类不等式:当题设和待证式(或它们的变形)中含有某两个变数的和与积,且该两数呈对称出现者。下面举例说明具体的证法。     

韦达定理之逆定理不成立

题:解方程组解:观察方程组的特征易看出左边相加有1 (1 y)(1 z),且右边相加为1,故有如下简捷解法: ① ②,整理得:(1 y)(1 z)=0, ∴1 y=0,1 z=0,即y=-1,z=-1 故原主程组的解为{y=-1,z=-1。} 由上述方程组及其解,我们有一个意外的收获——韦达定理之逆定理的一个反例: 原主程组实际为:{yz=4 y z=-5} 由韦达定理逆定理知满足此方程组即满足原方程组的y、z之(实数)值应为方程x~2 5x 4=0的两根; 从上述原方程组的解显见y=-1,z=-1,则有x~2 5x 4=0有二重根,应有△=0;     

构造一元二次方程用判别式和韦达定理解题

方程是数学中的重要知识,特别地,一元二次方程是最基础、最重要的知识.而判别式和韦达定理是它的两大法宝,很多数学问题若用构造方程法来解决,则可以降低计算量,问题迎刃而解.本文就其几方面的应用举例如下.     

巧用韦达定理解题

<正>已知一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个的根分别为x_1,x_2,求解有关x_1,x_2代数式的值是一元二次方程问题中的一种题型,解决此类问题通常有两种方法,分别是:方法 1先将已知的一元二次方程的根求出来,然后再带入到已知的代数式中计算;方法2将所求代数式进行适当的变形,然后利用韦达定理以及已知条件去求解出变形后的代数式的值.这两种方法各有利弊,方法 1思路简单,     

韦达定理的逆定理在三角中的应用

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=b/aαβ=c/a,那么这两个数α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根,我们知道,这便是韦达定理的逆定理。下面举例说明它在平面三角中的应用。例1 已知A+B=90°,sinAsinB=m。求证:tgA、tgB是方程mx~2-x+m=0的两个根。证明:∵A十B=90°, ∴A=90°-B B=90°-A。∴tgA+tgB=sinA/cosA+sinB/cosB =sin(A+B)/cosAcosB=1/sinBsinA =1/m (1) ∵tgAtgB=tgActgA=1 (2) 故根据韦达定理的逆定理,由(1)、(2)     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理 :“若实数ｘ1 、ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两个根 ,则有ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ” .其逆定理是 :“若实数ｘ1 、ｘ2 满足ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ,则ｘ1 、ｘ2是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根” .韦达定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛题中应用也较多 .现举例如下 :例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ +ｂ2 =1,且ｔ =ａｂ -ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是.(2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 )解　由ａ2 +…     

韦达定理与极坐标解题

高中数学新课程标准把《坐标系与参数方程》列入选修系列4,使得极坐标这一传统数学内容又回到了高中数学之中,为说明极坐标在解题中的应用,本文现谈谈韦达定理与极坐标解题,供高中师生教与学时参考.     

利用韦达定理变形的技巧

<正>在数学学习中,尤其是在直线与圆锥曲线的综合问题中经常用到韦达定理去处理相关问题.比较简单的情形,例如(x_1-x_2)~2=(x_1+x_2)~2-4x_1x_2我们知道可以通过配方来处理.但是在实际问题中会出现形如mx_1+nx_2+px_1x_2+q=0的形式,往往无从下手.下面先看一道例题:     

利用“韦达定理”解竞赛题

<正>一元二次方程的根与系数的关系,常常也称为韦达定理,它是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的.韦达定理如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a;x_1·x_2=c/a.在数学竞赛中,利用韦达定理解题屡见不鲜.一、直接利用韦达定理解题     

利用韦达定理证明某些三角恒等式

给定复数a_0,a_1,a_2,……a_n,则n次代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+……+a_n=0 (a_0≠0)必存在n个根x_1,x_2,……x_n,韦达定理给出了这n个根与方程系数a_0,a_1,……a_n的关系如下:     

利用韦达定理巧解抛物线题

<正>韦达定理用在圆锥曲线中,可灵活解决直线与圆锥曲线的相交问题,关键是巧设直线方程,消去一个元得另一个元的一元二次方程,本文专门介绍韦达定理在抛物线中的应用,兹举例说明.例1已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,试求y12+y22的最小值.解设过点P(4,0)的直线方程为x=ky+4,代入抛物线方程并整理,得     

巧用韦达定理

韦达定理是揭示一元n次方程中根与系数关系的重要定理。但运用于解题有时却因条件比较隐晦而失之交臂,颇为可惜。这就需要我们在审题中,观察得更精细敏锐一些,联想更广泛丰富一些,尤其要注意把握住韦达定理的特征条件。那么,韦达定理往往另有用武之地。兹举几例说明如下:     

应用韦达定理解题时必须注意的一个问题

韦达定理在代数、三角、解析几何的解题中有着广泛的应用。但从当前某些参考书及学生应用韦达定理解题的过程中发现,比较多的存在一个问题,即有些题目须在使用判别式验证是否有实根存在的情况下,才能应用韦达定理去解题而由于忽视了这一关键步骤,以至于在解题中出现这样或那样的错误,不仅在解代数题中存在,解几何问题也同样存在。现举几例如下: 例1当实数m为什么值时,方程(5m+1)x~2+(7m+3)x+3m=0的根为:(1)两个正实根;(2)略(北京     

Beurling定理的逆定理

设Ｈ为Ｈｉｌｂｅｒｔ空间．Ｔ为Ｈ上有界线性算子，对任何Ｔ的不变子空间Ｍ，称Ｔ具有Ｂｅｕｒｌｉｎｇ－性质．本文给出了次正常算子具有Ｂｅｕｒｌｉｎｇ－性质的充要条件．     

韦达定理的妙用

韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理 ,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 .　　一、在平面几何中的应用【例 1】　 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面…     

韦达定理的妙用

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛试题： 已知椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2-1（a〉b〉0）,过左焦点F,并且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,若AF/FB=9＋4√2/7,则椭圆的离心率等于（ ）．     

韦达定理及其应用

韦达定理及其逆定理是中学数学中的重要基础知识,在解决数学问题时是经常要用到的一种工具。本文只就一元二次方程根与系数的关系来谈韦达定理及其应用。     

韦达定理的另探

从另一角度审视一元二次方程 ,引出根与系数关系 .不妨设ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )有两个不为 0的根ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1≠ｘ2 .∵　ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,∴　 ｃａ·1ｘ=-ｂａ-ｘ .令ｙ =ｃａ·1ｘ,则ｙ =-ｂａ-ｘ .画它们的图像如图 .　　由于它们的图像都关于直线 ｙ =ｘ对称 ,所以 ,可设两图像交于Ｍ (ｘ1,ｙ1) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 )点 .则　ｘ1=ｙ2 ,　ｘ2 =ｙ1,所以　ｘ1+ｘ2 =ｘ1+ｙ1=-ｂａ.ｘ1·ｘ2 =ｘ1·ｙ1=ｃａ.这就证明了韦达定理 (当ｘ1、ｘ2 均不为零的情况 ) .其它情况也可得出相应结论韦达定理的另探$山东省单县孙六张黄…     

浅谈韦达定理的教学

韦达定理“如果方程ax~2 bx c=0(a■0)的两根是x_1,x_2，那么，，x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a)”.它提示了一元二次方程根与系数的内在联系,无论在代数、几何、三角,还是在解析几何中都有着其广泛的应用。然而,许多学生虽然理解了韦达定理的内容,但不能正确加以运用。究其原因,笔者以为,主要是由于教师的教法不