二元函数未定型的定值法

<正> 求二元函数未定型极限一般是很困难的,下面介绍几种方法。1 二元函数的罗必塔法则二元函数的罗必塔法则是一元函数罗必法则的推广。为了得到此法则,首先介绍一个引理。引理(一元函数柯西中值定理的推广).若函数f(x,y)及F(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内连续,且偏导     

圆锥曲线的一组定值

文[1]给出了椭圆、双曲线的一个有趣性质，笔者经过探究，发现该性质可以推广．     

圆锥曲线一组有趣的定值性质

性质1如图1,椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左（右）焦点为F,在x轴上F的右（左）侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则｜FM｜＋｜FN｜/｜FA｜=1/e（其中e为椭圆的离心率）．     

一个定值命题的再推广

文[1]将一个定值命题的系列研究([2]～[4])的结论进一步推广至多边形和多面体中,即有命题1在同一平面内的线段A1B1,A2B2,…AnBn相交于O,且均被点O平分.以O为圆心的圆半径为r,则该圆上任一点与多边形A1A2…AnB1B2…Bn各顶点连线段长度的平方和为定值.命题2不在同一平面内的线段A1B1,A2B2,…,AnBn相交于O,且均被点O平分.以O为球心的球半径为r,则该球面上任一点与多面体A1A2…AnB1B2…Bn各顶点连线段长度的平方和为定值.     

一组互相关联的不等式命题

大家知道,由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ,ｎ≥２）,则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２;（１）不等式（１）相当有用,对它作适当代换,可引出一组互相关联的不等式命题;首先,对（１）作代换（Ｓ－ａ１,Ｓ－ａ２,…,Ｓ－ａｎ）→（ａ１,ａ２,…,ａｎ）,其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ,得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ,ｎ≥２）,∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ,则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　;（２）证明　由（１）,∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

再谈一个定值命题的推广

本刊文[1]证明了命题: 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值.     

也谈一个定值命题的推广

文 [1]证明了下面的命题 :命题 1　设P1、P2 、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1=BP2 =CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 .文 [2 ]用解析法给出上面命题一个简洁证明 ,并将其“推广”为 :命题 2　设P1、P2 、P3分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1∶P1B =BP2 ∶P2 C =CP3∶P3A =λ ,以△ABC的重心G为圆心 ,定长R为半径作⊙ (G ,R) ,直线l是⊙ (G ,R)的任意一条切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 (3R) .笔者认为 ,命题 2是假…     

一组变上限定积分命题的推广

探讨一类变上限定积分函数F（x）=∫0^x[h（x）＋g（t）]f（t）dt的奇偶性和单词性问题．根据函数奇偶性的定义证明F（x）是奇函数,利用积分第一中值定理和F＇（x）的符号给出满足一定条件下的F（x）的单调性,将已有文献中的结论进行推广．     

试证广义积分的一组命题

探讨无穷积分收敛时被积函数极限为零的条件.对于[a, ∞)上的连续函数,若 ∫∞af(x)dx收敛,则limx→ ∞f(x)=0的充分必要条件是f(x)在[a, ∞)上一致连续.     

与等差数列相关的一组面积命题

结论成等差数列的面积命题,既具有直观形象的几何特色,又显示着极为鲜明的代数风格,是一种深受命题者们青睐的好题型,兹浅论如下。命题A 分别过△ABC的边AB上的n等分点P_i(i=1,2,…,n-1)作边BC的平行线交     

关于平面闭折线的一个定值命题

本文拟给出关于平面闭折线的一个有趣的定值命题．为了叙述简便起见,本文约定：符号Ａ（ｎ）表示平面闭折线Ａ１Ａ２Ａ３…ＡｎＡ１,它的边为有向线段ＡｉＡｉ＋１（ｉ＝１,２,…,ｎ,且Ａｎ＋１为Ａ１）．先引入如下概念和引理：定义设Ｐ为闭折线Ａ（ｎ）所在平面内...     

一个定值命题的简证与推广

贵刊2001年第12期文[1]证明了下面的命题(原文中例6): 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值. 文[1]采用综合法证明,过程繁、篇幅长,经我们研究后得到一种解析证法,不仅简洁,而且容易将命题推广.     

平几中的定值问题及其命题的制作

当平面图形中的某些元素在题意允许范围内作任意变动时,研究图形中相应的某些量是否保持不变,这就是平几中的定值问题。定值问题,对初学者来说是一个难点,这是因为它与通常几何题的不同之处在于(1)在给定条件范围内,有些元素位置可变动;(2)题断中没有明确指出定值的具体数量。怎样克服上述难点,顺利地解决定值问题?一般方法是:(1)审清已知条件中,哪些元素的位置和数量关系具有固定性(如已知两定点,则     

关于正n边形的定值命题

关于正ｎ边形的定值命题王方汉（武汉市二十三中４３００５０）本刊“圆内接正２ｎ边形的一个性质”（熊风，１９８８．１０．）一文给出了如下命题：“设Σ表示半径为Ｒ的圆内接正２ｎ边形的所有对角线与边长的２Ｐ（Ｐ为正整数且本文对此提出更一般的结论．命题１正ｎ边...     

由一道考题引出圆锥曲线的一组斜率定值性质

由一道考题出发,探究得到了圆锥曲线的一组斜率定值性质.     

费一哈不等式的一组等价命题及应用

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S,则a~2+b~2+c~2≥4(3～(2/1))(当且仅当a=b=c时取等号) 这一不等式称为费恩斯列尔——哈德维格尔不等式。笔者发现它有一组等价命题和有很多重要应用。     

基于某一未定型广义Cartan矩阵的fusion环的构造

利用fusion环的一些性质,基于给定的未定型广义Cartan矩阵,构造了两类fusion环.结果表明这两类fusion环均为类群fusion环.     

椭圆切、法线中一组定值问题的平几证法

我们知道:椭圆上任一点的切线和法线分别为通过这点的两条焦半径所成角的内、外角平分线。本文拟在这个性质的基础上,应用几何方法证明一组与椭圆切、法线有关的定值问题,从而不仅使这些定值问题有机地联系起来并获得明确的几何意义,同时也加深对椭圆切线性质的认识和     

用向量方法证明四面体的高的一组命题

我们都知道任意三角形的三条高相交于一点,那么四面体上是否有类似的结论呢?下面一组命题都与四面体的高有关.虽然有些命题的证法不如综合法简单,但从中可以体会向量方法具有的直接性特点.