一道课本习题的启示作用

高中《代数》甲种本第二册P.96习题:已知:a,。,。任尺 ,.、、_b c .a_,a .bc、~_求证:(二十于 二)(于十二 二))9一J-一.、a’乙’c‘、b’c’a一-可变形为求证:,b .c .a、,1 .1 .1、~,吸一十气尸十一,叹气尸十一十一,沪廿 口0 C OC口 口bC 瀚笋1一殉还可以推广为则名二.习:若:‘>0(‘=1,2,…,:) 不等式虽然简单、易证,但确有显著的特,征,即不等式左端是分式,右端是常数,且左端两部分呈侧数形式,这对证明某些不等式有着!要的启示作用.下面举例说明: 例l已知:a,‘,c是正数~~a .b .e、3水心石干不十砰石十石干石乡万 (1963年英斯科竞赛题) …     

一道习题的四种解法及其启示

我在高三数学培优训练中出了这样一道题 :在△ＡＢＣ中证明ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≤ 18. ( 1)学生的解法使我既惊喜又欣慰 .有些解法是我开始没有预料到的 ,有些解法又暴露出同学们对某些数学思想、方法理解中的问题 ,现呈献给大家供参考 .分析 1:积化和差会出现ｃｏｓ (Ｂ Ｃ )而在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ(Ｂ Ｃ) =-ｃｏｓＡ ,从而产生下列解法 :解法 1　ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ= 12 ｃｏｓＡ[ｃｏｓ(Ｂ Ｃ) ｃｏｓ(Ｂ -Ｃ) ]= - 12 ｃｏｓ2 Ａ 12 ｃｏｓ(Ｂ -Ｃ)ｃｏｓＡ= - 12 [ｃｏｓＡ - 12 ｃｏｓ(Ｂ -Ｃ) ] 2 18ｃｏｓ2 (Ｂ…     

一道习题的解法

一道习题的解法李宏魁（国防科大应用数学系４１００７３）Ｇ．波利亚、Ｇ．舍贵的名著《数学分析中的问题和定理》的第一个题是这样的：一美元能有多少种不同的兑换方法？就是说，你用一分。五分、十分、四分之一元、半元（价值分别为１；５，１０，２５与５０分）的五种...     

一道习题的深入探讨

在一次练习中遇到这样一道习题： 当a取不同的值时，在P（1/2，1/4），Q（1，1），R（2，2），S（2，3）四个点中，可以是函数y=a^x的图象与其反函数的图象的公共点的是（ ） （A）P，Q，R．（B）Q，S．（C）R，S．（D）P，R．     

一道习题的推广

一个数学问题往往可以从代数形式和解决方法上进行推广,推广后我们不仅对原问题有更深刻的认识,而且发现解决此类问题的更好的方法．全日制高中教科书《数学》第二册(上)P31页有这样的一道练习题:     

一道习题的推广

《中学数学》1983年第4期问题征解中有这样一题,求证 1+2+3+…+1983|1~5+2~5+3~5+…+1983~5。事实上,我们有一般的结论:1°。1+2+3+…+n|1~5+2~5+3~5+…+n~5,甚至更一般的结论:2°。1+2+3+…+n|1~(2k+1)+2~(2k+1)+3~(2k+1)+…+n~(2k+1)。这里n、k为任意自然数,为了证明这一结论,我们要用到整数的两个性质。性质1。两个连续整数必互质。性质2。如果(p,q)=1,p|m,q|m则pq|m、((p,q)表示p与q的最大公约数)。此二性质都很容易用反证法证明,这里从略。我们来证明上述结论2°。证∵ 1+2+…+n=(1/2)n(n+1),记 S_(2k+1)(n)=1~(2k+1)+2~(2k+1)+…+n~(2k+1),     

一道习题的研究

以上解法看似条理通顺，天衣无缝，但却是错误的．cosC的值是否唯一的判断是易错点，也是难点，对多种判断方法的掌握，也是对三角知识的灵活运用．     

一道习题的探究

高中数学新课程设立“数学探究”活动,激发了我们的学习兴趣．新教材设立思考交流栏目,提出问题作出示范,启迪我们思考探索．在学习正弦定理、余弦定理时,我也尝试从三个角度探究了一道习题．     

一道习题的延伸

旋转既可以表示物体(图形)运动的过程,也可以表示物体(图形)运动后最终的位置与原先位置的关系,在数学中被称为图形的一种变换.在学习旋转的过程中,同学们要主动参与实践操作去体验感受旋转的意义与旋转的特征,会从旋转的角度去思考有关图形的数学问题.下面让我们从一道习题的延伸过程去体验一下旋转中图形的形成过程.例1画一个三角形,使通过这个三角形的旋转得到一个正三角形,并指出这是一个什么三角形,旋转中心和每次旋转的角度,需要旋转多少次才能完成这个图形?①分析:这个题目给了我们一个由三角形制作正三角形的方法.②解:如图(1),给出…     

一道有趣的习题

题目:已知这是一道十分有趣的习题。由于解题方法的不同,可以有不同形式的结果。有的是有理式,有的是无理式。下面给出它的三种解法: ∵θ≠1/4π+kπ(k∈Z,l=0,1,2)     

一道习题的解法

在大多数《数学分析》教材的习题中,都选了下题:设a,b.c为三个不全为0的实数,证明其通常证法是将坐标系旋转,作三重积分的变量替换,见.考虑到一般工科学生的接受能力,此种解法似乎过难.在给93级非数学专业本科生讲授《高等数学》时,我们得出下述     

一道习题的联想

《高等数学》 (同济大学出版社第三版上册 ) P.345第 1 0题 :求由抛物线 y2 =4ax与过焦点的弦所围成图形面积的最小值 .此题多数参考书上都是用直角坐标下的方程求解的 ,方法较繁 ,且易出错 .若改用极坐标方程 ,可使求解过程简单 ;而把题中的抛物线改为椭圆或双曲线时 ,用极坐标更能显示其优越性 ,下面是此题的极坐标解法 .以抛物线 y2 =4ax的焦点为极点 ,对称轴为极轴 ,建立极坐标系 ,则该抛物线的极坐标方程为ρ= 2 a1 -cosθ.抛物线与过焦点的弦所围成的面积为 :S=12 ∫π θθ(2 a1 -cosθ) 2 dθ=a2∫π θθcsc4 θ2 d(θ2 ) =a2 [tg…     

一道习题的引伸

现行初中《几何》第一册P205第30题:在△ABC中,如果AB=30cm,BC=24cm,CA=27Cm,AE=LF=FB,EG∥FD∥BC,FM∥EN∥AC如图1,求阴影部分三个三角形周长的和(解略) 由此题可引伸出下面儿个命题: 命题1,在△ABC中,AE=EF=FB,     

从一道常微分方程组习题中得到的启示

基于一道微分方程组习题的分析．给出了矩阵指数函数的几个性质以及其行列式的相关结果，并对该习题做了详细的解答．     

从一道习题谈起

高中《平面解析几何》课本第125页有一个题目:圆x~2 y~2=4经变换后成为椭圆x＇~2/4 y＇~2=1。反之,这椭圆经上述变换的逆变换     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)     

从一道习题谈起

<正> 在参考资料(1)中有这样一个命题(见(1)P129习题8),“若函数项级数sum from n=1 to ∞u_n(x)在区间〔a,b〕上收敛于函数S(x),而且所有u_n(x)都是〔a,b〕上的非负连续函数,则函数S(x)必     

从一道习题说起

最近刚刚学完“导数及其应用”一章,不仅接触了早就听说过的高深莫测的“微积分”,而且也从学习中有一些感悟,在这里与大家交流一下．     

从一道习题谈起

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册中有这样一道习题: 用反正弦的形式把下列各式中的x表示出来 sinx=3~(1/2)/5 (π/2相似文献