用法向量夹角求二面角大小的教学设想

在苏教版高中数学选修教材2-1(以下同)中,用法向量的夹角来求二面角的大小.教材这样总结方法: “由于平面的法向量垂直于平面,这样,这两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.考虑到二面角的取值范围是[0°,180°],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或者互补.”     

例谈用法向量解高考题

全日制普通高级中学教科书(试用修订本)数学第二册(下B)P42对法向量这样定义:如果a⊥α,那么向量a叫平面α的法向量. 可以运用法向量来处理下列问题:求线面角,求点面距离,求二面角,证明面面垂直,证明线面垂直.     

用向量直接求二面角C-AB-D

现行求二面角,通用"平面的法向量法",即通过二面角的两个半平面的法向量所成的角间接地去求.由于半平面的法向量的方向本身不确定,所以求出的角不一定是需求的二面角.这里提出一种用向量直接求二面角的方法,供读者参考.     

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法

立体几何中的求二面角大小问题,是高考重点考查内容,法向量法是求二面角大小的一种主要方法.我们知道:二面角大小与其两个平面的法向量的夹角相等或互补.但到底是相等还是互补,教学中很多师生采用直观判断,参考资料涉及此问题也回避不谈.文[1]给出了一种很好的判定方法,本文给出     

巧用垂棱线 妙求二面角

<正>利用空间向量求二面角大小的通法是:先建立空间直角坐标系,再求二面角两个面的法向量的坐标,然后求两个法向量的夹角,最后由二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补得出二面角的大小.这种解法虽然思路简明,但其解题过程往往有较大的运算量,不仅耗时费力,还容易计算错误.本文介绍一种利用垂棱向量求二面角大小的解法,供参考.     

求二面角大小的向量方法

向量具有一套良好的运算性质 ,它可以把几何图形的性质转化为向量运算 ,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算 ,实现了“数”与“形”的结合 .因此用向量知识解决立体几何的二面角问题 ,有时显得特别简捷 .以下就举例说明用向量法求二面角大小的解题策略 .1　以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型后 ,再利用平面向量的数量积公式 :a·b =|a|·|b|cos〈a ,b〉 ,可以使整个解题过程程序化 ,使问题变得熟悉化 .图 1　公式证明用图如图 1,若CE⊥AB于E ,DF⊥AB于F ,则二面角C AB D…     

不用平面法向量求二面角的简单方法

立体几何较难的是求二面角的平面角,传统的综合法作二面角较难,空间向量的方法写起来繁,同时,求二面角的大小需要判断是锐二面角还是钝二面角,有时要依赖观察,但在复杂的立体图中,要准确判断有时是困难的．本文结合2013年高考题,给出一种不依赖于求两个半平面法向量的求二面角的方法,且计算量相对于求法向量来说也不大．     

用平面的法向量求二面角

利用平面的法向量求二面角,思路清晰,是许多学生喜欢选择的方法.但是,我们求得两个法向量所成角的值,既可能是二面角的值,也可能是二面角的补角的值,这一直是围绕中学师生的一个问题.怎样求得的两个法向量所成的角的值才是二面角的值呢?我们首先确定平面法向量的方向,在空间直角坐标系中,我们可以把法向量分成三类,一类向量指向x Oy平面上方,设为(x,y,1),一类向量指向xOy平面下方,设为(x,y,-1),一类向量与xOy平面平行(或在xOy平面上),设为(x,y,0).然后用平面的法向量的指向来确定二面角.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD…     

巧求平面的法向量

利用法向量解决立体几何问题是高考考查的一种重要方法,也是立体几何中求"夹角与距离"的一个通法,尤其是利用平面的法向量求二面角的大小,更是学生"最爱的选择",但是,求二面角的两个面的法向量是一个计算难点,也是一个易错点.下面介绍一种简便、易行的好方法给大家,请关注.     

巧用公式tanθ=tanα/sinβ速解高考题

求二面角的大小是立几中的重点和难点 ,但有时苦于难作二面角的平面角 ,或平面角虽作出 ,但计算繁琐 .可以发现 ,利用下面的公式 ,常能摆脱上述的困境 .定理　如图 1 ,四面体 P - ABC中 ,PC⊥面 ABC,∠ PAC =α,∠ BAC =β,二面角P - AB - C的大小为θ,则tanθ =tanαsinβ.证明　作 PM⊥ AB于 M,连 CM,则∠ PMC =θ.∵　 tanα =PCAC,　 sinβ =MCAC,tanθ =PCMC,∴　 tanθ =tanαsinβ.应用上述公式求二面角的大小 ,不必作平面角 ,并且计算量少 ,从而使问题简捷解决 .下面以高考题为例说明公式的应用 .图 1　　　　　　…     

谈如何解决求二面角大小的法向量法的不足

求二面角大小时，用平面的法向量法与其他方法相比，思想清晰且推理简易。     

抛弃观察完美计算二面角大小

<正>用平面的法向量求二面角大小时,需要对二面角进行观察方可得到正确结果.如例1所示.例1长方体A-C_1中,AB=AA_1=2,AD=3,E为C_1D_1的中点,求二面角B_1-A_1C-E大小的余弦.     

巧求平面的法向量

利用法向量解决立体几何问题是高考考查的一种重要方法,也是立体几何中求“夹角与距离”的一个通法,尤其是利用平面的法向量求二面角的大小,更是学生“最爱的选择”,但是,求二面角的两个面的法向量是一个计算难点,也是一个易错点．下面介绍一种简便、易行的好方法给大家,请关注．     

求二面角大小的直接计算法

利用向量求二面角,如何判断所求二面角是锐角或钝角?现行中学数学教材[1]或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定;常见的大学数学教材[2]、[3]亦未涉及此问题. 由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量,所以两个平面所成二面角的平面角的大小与其法向量所成之角可能相等,也可能互补;而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的,点积法的缺陷是不能控制法向量的方向,所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角.     

“棱法向量”求二面角

<正>向量法求解二面角,将面与面的平面角转化为两平面法向量的夹角,回避了复杂程度高的几何技能.但是,二面角的大小与法向量的夹角是"相等"还是"互补"的问题,一直困扰着大家.本文立足二面角的定义,利用棱法向量,给出一种简捷、有效的方法.我们把二面角的半平面内与棱垂直且以垂足为起点的向量,称为二面角的棱法向量.     

不妨“分拆”二面角

<正>二面角的求解方法非常丰富,本文再介绍一法.已知二面角α-l-β,γ是过棱l的一个半平面.如图1,当γ在α-l-β的内部时,α-l-β被"分拆"为两个二面角α-l-γ与β-l-γ,记α-l-β,α-l-γ,β-l-γ的大小依次为θ,θ_1,θ_2(下同),则θ=θ_1+θ_2;如图2,当γ在α-l-β的外部时,α-l-γ被"分拆"为两个二面角α-l-β与β-l-γ,且θ=θ_1-θ_2.     

理清二面角定义,用定义法求解二面角

立体几何中一类重要的问题就是角度大小问题,其中包括异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角.引入向量之后使得求这些角变得相对容易很多,但是在二面角的求解过程中还是遇到了不少麻烦,法向量所成角不一定为所要求的二面角,可能会是其补角,那么怎么解决这个问题呢?遇到困难我们常常会回到定义,有名人说过暂时离开是为了更好地回来.     

求二面角平面角的“三节棍”法

本文介绍求二面角平面角的一个向量解法——称之为“三节棍”法,用这种方法求二面角大小的思路如下：     

综合向量法求解二面角

笔者在贵刊文[1]给出求解二面角的一个有效方法———法向量截面法,即求出两半平面的法向量,并判断其相对二面角的方向(判定两法向量夹角与其平面角是相等还是互补,关键就在这里),进而准确求解平面角.本文再给出一种更加快捷有效的方法———综合向量法,"综合"是指传统的几何方法,如求二面角的"一作二证三计算",     

求二面角大小的又一方法

众所周知 ,求二面角的方法有定义法、射影法等 ,但这些方法都免不了比较复杂的计算 .下面本文介绍一种求平面角为锐角的二面角的大小的比较简捷的方法 ,这种方法的依据是 :图 1　命题中的示意图命题　如图1 ,若α∩β =ＭＮ ,且ＰＭ⊥α ,则二面角α ＭＮ β(锐角 )同ＰＭ与β所成的角互余 .其证明留给读者 ,此处从略 .下面举例谈谈其应用 .图 2　例题图例　如图 2 ,在正三棱柱ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1中 ,Ｅ∈ＢＢ1,截面Ａ1ＥＣ⊥侧面ＡＣ1,ＡＡ1=Ａ1Ｂ1,求平面Ａ1ＥＣ与平面Ａ1Ｂ1Ｃ1所成二面角 (锐角 )的度数 .( 1 996年高考题 )解　连结ＡＣ1交…