Zur Eindeutigkeit der rationalen Tschebyscheff Approximationen an stetig differenzierbare Funktionen

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die Aufgabe, eine stetig differenzierbare Funktion durch verallgemeinerte rationale Funktionen im Sinne vonTschebyscheff zu approximieren. Es wird ein Kriterium abgeleitet, das notwendig und hinreichend dafür ist, daß jede stetig differenzierbare Funktion höchstens eine Minimallösung besitzt.     

The finite deformation of a pressurized circular tube for a class of compressible materials

This investigation is concerned with the problem of a hollow circular cylinder subjected to uniform internal and external pressure within the equilibrium theory of finite elasticity. The tube is composed of homogeneous, isotropic,compressible materials of special type, namely harmonic materials. Explicit closed-form solutions for the deformation and stress fields are obtained. The true stress distribution, expressed as a function of the undeformed coordinates, is shown to be essentially independent of material properties. The two cases of internal pressure only, and external pressure only, are examined in detail. In the former case, there is a critical value of the applied pressure at which the maximum hoop stress in the tube, occurring at the inner surface, becomes unbounded. Results appropriate for thin shells are also obtained. For the case of external pressure only, a critical value of the applied pressure exists for which closing of the cavity is predicted. For nearly solid cylinders, or equivalently, for a cavity in an unbounded medium, explicit results are provided for the corresponding stress concentration factor.Furthermore the stability of the preceding equilibrium states is investigated by employing a standard linearized perturbation scheme. It is found that an internally pressurized tube is always stable in the range of interest whereas an externally pressurized tube buckles prior to cavity closure.

---

Zusammenfassung Die Untersuchung befaßt sich im Rahmen der Gleichgewichtstheorie fmiter Elastizität mit dem Problem eines Hohlzylinders, der einem gleichförmigen inneren und äußeren Druck ausgesetzt ist. Das Rohr besteht aus homogenen, isotropen,kompressiblen Materialien eines speziellen Typs, nämlich harmonischen Materialien. Explizite Lösungen in geschlossener Form werden für Verformung und Spannungsfelder erhalten. Es wird gezeigt, daß die Verteilung der wahren Spannung in Abhängigkeit von den unverformten Koordinaten im wesentlichen unabhängig von den Materialeigenschaften ist. Die beiden Fälle, nur innerer Druck und nur äußerer Druck, werden detailliert behandelt. Im ersten Fall gibt es einen kritischen Druck, bei dem die maximale Tangentialspannung im Rohr, und zwar an der inneren Oberfläche, über alle Grenzen wächst. Es werden außerdem Ergebnisse erhalten, die für dünne Schalen zutreffen. Im Fall eines ausschließlich äußeren Drucks existiert ein kritischer Druckwert, bei dem ein Schließen des Hohlraums vorhergesagt wird. Für annähernd massive Zylinder, oder damit gleichbedeutend, für einen Hohlraum in einem unendlichen Medium, werden explizite Ergebnisse für den entsprechenden Spannungskonzentrationsfaktor vorgelegt.Darüberhinaus wird die Stabilität vorausgehender Gleichgewichtszustände durch Anwendung eines üblichen linearisierten Störungsschemas untersucht. Es wird gefunden, daß das Rohr unter Innendruck im interessierenden Bereich immer stabil ist, während ein Rohr unter Außendruck einknickt, bevor sich der Hohlraum schließt.

     

General axisymmetric solution of the creeping motion equations in the presence of free surfaces and gravitational forces

The Navier Stokes equations for slow motion of an incompressible viscous flow in an axisymmetric tube under gravity are solved in terms of a pair of potential functions. Their gauge transformations and scaling properties are discussed and the velocity field of a fluid with a free upper surface at constant position is calculated from tube geometry and the outlet pressure. For numerical solution a polynomial approximation is given which is stable against the uncertainties of the boundary conditions as is demonstrated for a simple example.

---

Zusammenfassung Die linearisierten Navier-Stokes Gleichungen für eine imkompressible zähe Flüssigkeit im Schwerefeld werden für den axialsymmetrischen Fall mit Hilfe zweier Potentialfunktionen gelöst. Ihre Eichtransformationen und Skalierungseigenschaften werden angegeben. Die Lösung wird dazu benutzt um das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit mit ortsfester freier Oberfläche in einem axialsymmetrischen Gefäß aus der Geometrie und dem Auslaßdruck zu berechnen. Zur numerischen Lösung wird eine polynomiale Näherung angegeben. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die Methode gegen die Unsicherheiten der Randbedingungen stabil ist.

     

An asymptotic approach for shock-wave/transpired turbulent boundary layer interactions

Summary In this work perturbation techniques are used to study the problem of the interaction between a shock wave and a transpired turbulent boundary layer at transonic speeds. In the case considered here, the Mach number is assumed to be high enough for the sonic line to penetrate deep into the boundary layer so that it ends close to the wall. The flow region is divided into a region of strong interaction and regions of weak interaction. For the regions of weak interaction, upstream and downstream of the shock, a classical two-deck structure is assumed to hold for the boundary layer. Solutions chosen for these regions must account for the effects of blowing or suction. The strong interaction region on the other hand is shown to consist of three decks. A detailed analysis of the whole flow field is carried out and solutions valid in the double limit as Reynolds number tends to infinity and Mach number tends to one are proposed. Solutions of adjacent layers are shown to match so providing a smooth solution for the entire flow region. The analysis yields solutions for the pressure and skin-friction profiles.

---

Zusammenfassung In dieser Veröffentlichung wird mit Methoden der Störungsrechnung das Problem der Wechselwirkung zwischen einer Schockwelle und einer turbulenten Grenzschicht mit Blas- und Saugeffekten beim Übergang zu Überschallgeschwindigkeiten untersucht. In dem hier betrachteten Fall ist die Machzahl so hoch, daß die Schockwellenfront tief in die Grenzschicht eindringt und nahe bei der Wand endet. Das Strömungsgebiet wird in ein Gebiet starker Wechselwirkung und in ein Gebiet schwacher Wechselwirkung eingeteilt. Für die Gebiete schwacher Wechselwirkung (vor und hinter der Schockwellenfront) wird angenommen, daß die Grenzschicht eine klassische zwei-Deck Struktur besitzt. Lösungen, die für diese Gebiete gewählt werden, müssen die Blas- oder Saugeffekte erklären. Es wird gezeigt, daß das Gebiet starker Wechselwirkung dagegen aus drei Decks besteht. Eine ausführliche Berechnung des gesamten Strömungsfeldes wird durchgeführt, und es werden Lösungen angegeben, die gültig sind für den doppelten Grenzfall, daß die Reynoldszahl gegen unendlich und die Machzahl gegen eins strebt. Es zeigt sich, daß die Lösungen für benachbarte Schichten aneinander passen, und daß sich damit eine stetige Lösung für das gesamte Strömungsgebiet ergibt. Die Lösungen für die Druck- und Wandreibungsprofile werden bestimmt.

     

Verkehrsplanung einer Großstadt

Zusammenfassung Die im voranstehenden dargelegte Methode setzt sich das Ziel, mit naturwissenschaftlichen Methoden quantitative Aussagen bei der Analyse und Prognose des Verkehrs einer Großstadt zu machen. Sie erhebt zwar weder den Anspruch, sämtliche Verkehrsprobleme zu lösen, noch soll behauptet werden, daß es sich dabei um das einzig mögliche Verfahren handelt. Die geschilderte Methode besitzt aber den Vorteil, daß sie in der Praxis bereits mit geringen Kosten zu brauchbaren Ergebnissen geführt hat.Alle Entwicklungen auf diesem Gebiet stehen jeden Interessenten grundsätzlich zur Verfügung, nur legt das Mathematische Labor, das in Zusammenarbeit mit allen zuständigen Stellen der Wiener Verkehrsplanung die Entwicklungsarbeiten durchgeführt hat, Wert darauf, als Sammelpunkt der Erfahrungen bei der Durchführung an anderen Orten zu fungieren. In einem Fall wurde von einer deutschen Stelle bereits konkreter Gebrauch von der dargelegten Möglichkeit gemacht. Das lebhafte Interesse nationaler und internationaler Instanzen für die Wiener Bearbeitung läßt hoffen, daß sich die Städteplaner in steigendem Maße bei ihren immer schwierigeren Aufgaben naturwissenschaftlicher Hilfsmittel bedienen werden.     

Path-stability of a crack crossing a beam in bending

It has been observed experimentally, that the path of a crack in a brittle beam under bending sometimes becomes unstable. In order to explain this phenomenon a criterion for path-stability is developed, which is based on the hypothesis that the crack will propagate in the direction of maximum loss of potential energy. With this criterion it is shown theoretically and confirmed experimentally that path-instability depends on the amount of the longitudinal compressive stress-resultant, which is generated during brittle fracture, and that path-instability of the crack can only occur in the last quarter of its way.

---

Zusammenfassung Experimente haben gezeigt, daß die Ausbreitungsrichtung symmetrisch belasteter Risse instabil werden kann. Unter bestimmten Umständen ist dies bei Balken unter Biegung der Fall. Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Erklärung dieses Phänomens. Mit der Hypothese, daß der Riß sich in die Richtung des maximalen Verlustes an potentieller Energie ausbreitet, wurde ein Stabilitätskriterium für die Rißrichtung gewonnen. Damit konnte gezeigt werden, daß die Richtungsstabilität hauptsächlich von der longitudinalen Druckkraft beeinflußt wird, welche beim spröden Bruch unter Biegung dynamisch erzeugt wird, und daß die Richtungsinstabilität nur im letzten Viertel der Balkendicke auftreten kann.

     

Pattern generation by convection in spherical shells

Summary The problem of pattern selection by thermal convection in thin spherical shells with nearly insulating boundaries is investigated for both non-singular and singular cases where the Rayleigh number attains its minimum value for a single and double values of the degreel of spherical harmonics, respectively. The number of distinct solutions for the singular case is found to be substantially larger than the number of distinct solutions for the non-singular case. While there is at least one stable solution for the non-singular case, there is an additional stable mixed mode solution in the singular case as is shown in the casel=1 andl ^*=2.

---

Zusammenfassung Das Problem der Strukturselektion für thermische Konvektion in dünnen Kugelschalen mit nahezu thermisch isolierenden Rändern wird untersucht im nicht-singulären und im singulären Fall, wobei die Rayleighzahl im ersteren Fall ihr Minimum für einen einzigen Wert für den Gradl der spherischen Harmonischen erreicht, während dies im zweiten Fall für zwei benachbarte Werte vonl geschieht. Die Zahl der zu verschiedenen Strukturen gehörenden Lösungen ist im letzteren Fall wesentlich größer als im ersten Fall. Im nicht-singulären Fall existiert stets eine stabile Lösung, während im singulären Fall zusätzlich eine stabile gemischte Lösung existiert, wie im Falll=1,l ^*=2 gezeigt wird.

     

Gravitational spreading of heavy gas clouds instantaneously released

The gravitational spreading of heavy gas clouds, instantaneously released, is analyzed on the basis of the thin layer equations. These equations have been obtained from the full equations of motion using plausible assumptions with regard to the vertical profiles of velocity and density. The present analysis is limited to the isothermal case without heat transfer, but it can be generalized to include the thermal problem associated with LNG and LPG spills.Solutions to the governing unsteady equations are obtained through similarity transformations based on the assumption that the leading edge constitutes an intrusion front moving at a speed proportional to an unknown power of time. Solutions are presented both for the case of an undiluted cloud slumping to the ground and for cases with entrainment. Various mixing models are considered involving entrainment either at the top or at the front. A possible coupling between these models is also discussed. Exact solutions are obtained for seemingly plausible entrainment models and rates, but these do not always lead to physically realistic results. The solutions obtained include both the initial slumping mode and the growing mode associated with entrainment, and for large times the latter becomes dominant. In the limit of a highly diluted cloud for which the Boussinesq approximation is valid, the present solutions become identical with those recently published by Rosenzweig.

---

Zusammenfassung Die Ausbreitung plötzlich ausgelöster schwerer Gaswolken wird wie eine dünne Schicht analysiert. Diese Gleichungen werden von den vollen Bewegungsgleichungen mittels plausibler Annahmen über die vertikale Geschwindigkeits- und Dichteverteilung gefunden. Die vorliegende Analyse ist auf den isothermen Fall ohne Wärmeaustausch beschränkt, aber kann für das thermische Problem (beim Ausfluß von LNG und LPG) verallgemeinert werden.Die Lösungen für diese nicht-stationären Gleichungen werden mittels Ähnlichkeitstransformationen gefunden, welche sich auf die Annahme stützen, daß die Vorderkante der Front eine Geschwindigkeit hat, die proportional zu einer unbekannten Zeitpotenz ist. Lösungen sind für den Fall einer fallenden unverdünnten Wolke und für den Fall mit Eindrängungen entweder an der Oberfläche oder an der Front beschrieben. Eine mögliche Kopplung zwischen diesen Modellen wird auch diskutiert. Exakte Lösungen werden durch plausible Eindrängungsmodelle gefunden, welche aber nicht immer zu physikalisch realistischen Resultaten führen. Die gefundenen Lösungen beziehen sich auf den Typ mit Anfangsbedingung ohne Eindrängung, in dem die Höhe immer reduziert wird, und auch auf die Typen mit Eindrängung und wachsenden Höhen. Für große Zeiten ist der letztgenannte Typ dominant. Bei der Grenze einer sehr großen, verdünnten Wolke wo die Boussinesq-Approximation gilt, wird die gegebene Lösung identisch mit der neuerlich publizierten Lösung von Rosenzweig.

     

Lagerhaltung bei Preiserhöhung

Zusammenfassung In dem dargestellten Modell zur Bestimmung optimaler Losgrößen bei Preiserhöhung sind die Bedingungen des klassischen Losgrößensystems derart geändert, daß nach einer Ankündigungszeit der Einkaufspreis um einen bestimmten Betrag erhöht wird. Sowohl für den Fall unendlich kleiner als auch für den Fall endlicher Ankündigungszeit werden aus den zulässigen Strategien die potentiell optimalen ausgewählt und durch Vergleich der individuellen Optima dieser Strategien die optimalen Bestellmengen ermittelt. Es zeigt sich, daß in allen Fällen, in denen es optimal ist, eine Zusatzbestellung durchzuführen — dies hängt ab von der Länge der Ankündigungszeit und dem Lagerbestand zum Zeitpunkt der Ankündigung -, das Lager stets auf das gleiche Niveau aufgefüllt wird.

---

Summary In the following model for the determination of optimal lot-sizes at an increase of purchasing price the conditions of the classical lot-size system are modified in such a way that the purchasing price will be increased by a given amount after a previous announcement. Both in the case of an infinitely small and in the case of a finite time of announcement the potential optimal strategies are selected from the set of feasible strategies; the optimal lot-sizes are found by comparing the individual optimal solutions of these strategies. It can be seen that in all cases in which it is optimal to order an additional amount — the order depending on the time of announcement and the amount of inventory at the time of announcement — the inventory is raised to the same order level.

     

Boundary layer flow on a circular cylinder moving in a fluid at rest

Summary This paper deals with the flow generated by a cylinder issuing from an orifice into a still fluid. The cylinder generates a boundary layer whose thickness increases with increasing distance from the orifice.The properties of the boundary layer are considered (i) very close to the orifice and (ii) at large distances from the orifice. In the former case the boundary layer is very much thinner than the cylinder; in the latter case the reverse holds. Asymptotic series solution are developed in both cases. The results of (ii) are compared with the experimental evidence due to Koldenhof.

---

Zusammenfassung Die Arbeit behandelt die Strömung, die von einem Zylinder erzeugt wird, welcher von einer Mündung in eine ruhende Flüssigkeit eintritt. Am Zylinder entsteht eine Grenzschicht, deren Dicke mit zunehmendem Abstand von der Mündung zunimmt.Die Eigenschaften der Grenzschicht werden sehr nahe und im großen Abstand von der Mündung betrachtet. Im ersten Fall ist die Grenzschicht viel dünner als der Zylinder; im zweiten Fall sind die Verhältnisse umgekehrt. Für beide Fälle werden asymptotische Lösungen entwickelt. Ergebnisse im zweiten Fall werden mit experimentellen Ergebnissen von Koldenhof verglichen.

     

A simple model for the fast transverse discharges used in pumping high-pressure gas lasers

Zusammenfassung Für die Anregung von Hochdruck-Gaslasern werden schnelle transversale Entladungen benutzt, die eine Art quasi-stabiler Glimmentladungen darstellen. Wir schlagen ein sehr vereinfachtes Modell vor, das solche Entladungen auf Grund einer Leistungsbilanz erklärt. Die durch das angelegte elektrische Feld an das Elektronengas gelieferte Leistung muß der durch Stöße mit den Gasmolekülen verlorenen Leistung der Elektronen gleich sein. An Hand einer numerischen Berechnung zeigen wir, daß dieses Modell eine akzeptable erste Näherung darstellt, daß es aber nicht zulässig ist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Elektronenenergie anzunehmen. Der wahrscheinliche Grund dieser Glimmphase wird auch kurz besprochen, und wir können damit zeigen, warum es äußerst wichtig ist, daß die Anstiegszeit der angelegten Spannung auf einem Minimum gehalten wird.

---

---

This work is part of a joint program between Brown, Boveri & Cie. AG and the Swiss Federal Institute of Technology.     

Verzweigungstheorie bewerteter Körper

Zusammenfassung Die Dedekind-Hilbertsche Theorie der Zerlegungs-, Trägheits-und Verzweigungsgruppen beschreibt die Zerlegung eines Primideals eines Zahlkörpers in einem Galoisschen Erweiterungskörper; diese Theorie wird mittels des Begriffes der Bewertung auf allgemeine Körper übertragen. An Stelle des Primideals tritt der allgemeine Primdivisor, dessen Zerlegung in Erweiterungskörpern gruppentheoretisch definiert wird. Definitionen und Sätze sind entsprechend denen bei Dedekind-Hilbert, die Beweise sind jedoch ganz anders, weil gewisse Endlichkeitseigenschaften der Zahlkörper durch gruppentheoretische Überlegungen ersetzt werden mussen. Als Ausnahme gegenüber der gewöhnlichen Theorie ist bemerkenswert, daß der Trägheitskörper im allgemeinen nicht mehr durch Unverzweigtheitseigenschaften gekennzeichnet werden kann und daß die Faktorgruppe der Trägheitsgruppe nach der ersten Verzweigungsgruppe zwar Abelsch, aber nicht immer zyklisch ist.     

Das Hilbertsche Theorem über den analytischen Charakter der Lösungen der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Ohne ZusammenfassungFür das wichtige von Hilbert postulierte Theorem über den analytischen Charakter der Lösungen allgemeiner elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung lagen bis jetzt zwei verschiedene Beweise vor: 1. der von Herrn S. Bernstein in einer Annalen-Arbeit (1904), sowie einer später in russischer Sprache im XI. Bande der Kharkower Berichte veröffentlichten Abhandlung gegebene Beweis, 2. ein von Herrn Gevrey in den Annales de l'École Normale (1918) veröffentlichte, auf ganz anderen Prinzipien beruhende Beweis. Die erste Bernsteinsche Abhandlung ließ einige Fragen offen, die auch seine zweite, nur schwer zugängliche Arbeit nicht vollständig erledigte, so daß die Richtigkeit des Hilbertschen Theorems nicht ganz außer Zweifel stand, um so mehr, als die Gevreyschen Überlegungen nicht völlig lückenlos zu sein scheinen. (Man vergleiche übrigens die neuesten Ausführungen von Herrn Gevrey, Bulletin des sciences mathématiques,50 (1926), S. 113–128, insbes. die Fußnote 1).) In seinen vorstehend abgedruckten brieflichen Mitteilungen an Herrn Radó hat Herr Bernstein die zweifelhaften Stellen seines Beweises vollständig erledigt. Es ist sehr erfreulich, daß Herr Radó sich auf Wunsch der Schriftleitung bereit erklärt hatte, seine Behandlung der Bernsteinschen, sich auf den Hilbertschen Satz beziehenden Untersuchungen zu einer lückenlosen Schlußkette auszugestalten. Wir geben im folgenden die elegante, völlig elementare, manche interessante Züge bietende Darstellung des Herrn Radó wieder.     

Optimale Allokation von Ausbildung und Berufsausübung in einem nichtlinearen Kontrollmodell

Zusammenfassung Von Weizsäcker [1966] hat in einer historisch ersten ökonomischen Anwendungen des Maximumprinzips ein lineares optimales Kontrollproblem zur Ermittlung der optimalen Ausbildungspolitik gelöst. Im vorliegenden Beitrag wird dieses Modell für den Fall nichtlinearer, zustandsabhängiger Lerneffizienzfunktionen untersucht. Aufgrund einer Sattelpunktsanalyse erkennt man, daß die optimale Ausbildungsintensität monoton abnimmt und daß — im Gegensatz zum linearen Fall — lebenslanges Lernen optimal ist. Der Ausbildungsstand steigt zunächst bis zu einem maximalen Wert, um danach monoton abzunehmen.

---

Summary In one of the earliest economic applications of the maximum principlevon Weizsäcker [1966] has solved a linear control problem for the analysis of the optimal training policy. The present paper investigates this model for the case of nonlinear, state-dependent efficiency functions. From a saddle-point analysis we conclude that the optimal training rate decreases monotonically and that, contrary to the linear case, lifelong training is optimal. Firstly, the skill level increases to a maximal value and decreases thereafter monotonically.

     

Optimization of costly measurements in stochastic decision processes

Summary Two kinds of problems regarding measurement optimization in stochastic decision processes, when measurements are costly or constrained not to exceed a given number, have been investigated in the last years: the first one refers to the optimum timing of observations on the state vector of the process, while the second refers to the convenience of buying information on the random actions exerted by a stochastic environment. In this paper the two problems are considered from a unified point of view. In other words, the decision maker has to determine the optimal observation policy, under the assumption that both state and random vectors are measurable. A solution based on the application of dynamic programming is discussed for a general class of multistage processes. Analytical results are then obtained for scalar linear systems with quadratic cost on state and control. In this case, an efficient algorithm to determine the optimal sequence of measurements is presented, on the base of which a sensitivity analysis with respect to the process parameters is also carried out.

---

Zusammenfassung In den letzten Jahren wurden zwei Typen von Problemen untersucht, die sich auf die Optimierung von Messungen bei stochastischen Entscheidungsprozessen beziehen, einmal der Fall, daß Messungen kostspielig sind, und zum anderen, daß deren Anzahl beschränkt ist. Der erste Fall bezieht sich auf die Gewinnung von Informationen über den stochastischen Störprozeß, der zweite Fall untersucht den optimalen Zeitabstand zwischen den Messungen des Zustands- (bzw. Ist-)-vektors. In diesem Beitrag wurden beide Probleme von einem gemeinsamen Gesichtspunkt aus betrachtet, d. h. der Entscheidungsträger soll die optimale Meßpolitik bestimmen, unter der Annahme, daß Zustands- und Störvektor meßbar sind. Mit Hilfe des Dynamischen Programmierens wird eine allgemeine Lösung des Problems hergeleitet. Sodann werden analytische Ergebnisse für den Fall linear-quadratischer Modelle angegeben. Schließlich wird ein wirksamer Algorithmus zur Bestimmung der optimalen Meßfolge entwickelt und darüber hinaus eine Sensitivitätsanalyse der Abhängigkeit von den Prozeßparametern durchgeführt.

---

---

This work has been supported by C. N. R. (National Council of Research) of Italy.     

Zum Problem des optimalen Wertpapierbudgets

Zusammenfassung Es werden verschiedene Aspekte des Portfolio-Problems diskutiert. Zunächst werden die Ansätze vonMarkowitz undBaumol gegenübergestellt und deren Konsequenzen für den Entscheidenden abgeleitet. Dann wird der Fall diskutiert, daß die eigene Nachfrage die Preise der Anlagemöglichkeiten und damit die Ertragserwartungen des eingesetzten Kapitals beeinflußt. Dies vermag die Zielfunktion des Wertpapierauswahlproblems zu ändern. Drittens wird eine Lösung für den Fall gesucht, in dem dem Entscheidenden nur der Kauf einer ganzen Zahl von Anlagen jeder Anlagemöglichkeit erlaubt ist.

---

Summary The well-known portfolio-problem is discussed here in several respects. First, theMarkowitz andBaumol solutions and their different consequences for the decision-maker are discussed. Second, it is shown that one's own demand may influence prices, and consequently earnings, which may alter the solution as given byMarkowitz. Third, we discuss the consequences of allowing to buy only an integer number of pieces of every asset.

---

---

Vorgel. v.:H. Albach.     

Faxén relations of arbitrary order and their application

Summary For a particle in Stokes flow the relation between the expansion tensors appearing in the perturbation velocity to gradients of the undisturbed (though arbitrary) velocity are called Faxén relations. The expansion tensors themselves turn out to be defined in terms of moments of the stress and velocity distribution, evaluated for any surface completely enclosing the particles. Since these moments vanish if the stress and velocity fields are regular inside the particle the Faxén relations can be used advantageously, if the classical method of reflections for the hydrodynamic interaction between two particles applies, i.e. if the particles are sufficiently far apart. Assuming this to be so for two interacting spheres, a general recursion formula for the expansion tensors of the (j+1)st reflection in terms of expansion tensors of thejth reflection is derived via the Faxén relations. In this way the interaction problem is reduced to a bookkeeping one. This is demonstrated by calculating the friction tensors to the fourth power of the inverse interparticle distance. Furthermore by evaluating the stresslet for a suspension of pair-interacting spheres we obtain an estimate of the suspension viscosity up to quadratic terms in the volume fraction.

---

Zusammenfassung Für ein Teilchen in schleichender Strömung werden die Beziehungen zwischen den Entwicklungstensoren der Störgeschwindigkeit zu den Gradienten des ungestörten (aber beliebigen) Geschwindigkeitsfeldes Faxén Relationen genannt. Die Entwicklungstensoren selbst ergeben sich als Momente der Spannungs- und Geschwindigkeitsverteilung, berechnet über irgendeine beliebige Oberfläche, die das Teilchen umschließt. Da diese Momente für jedes Geschwindigkeits- und Spannungsfeld verschwinden, das im Innern des Teilchens regulär ist, können die Faxén Relationen vorteilhaft angewendet werden, wann immer die Reflexions-methode für 2 Teilchen gültig ist, d.h. die Teilchen müssen genügend weit voneinander entfernt sein. Mit Hilfe der Faxén Relationen wird für wechselwirkende Kugeln im letztgenannten Fall eine Rekursionsformel für die Entwicklungstensoren der (j+1)ten Reflexion abgeleitet, die nur von den Entwicklungstensoren derjten Reflexion abhängt. Dadurch braucht man bei dem hydrodynamischen Wechselwirkungsproblem nur noch genau Buch zu führen. Dies wird dadurch demonstriert, daß die Reibungstensoren bis zur vierten Potenz des inversen Kugelabstandes berechnet werden. Indem wir auch das Stresslet in einer Suspension paarweise wechselwirkender Kugeln berechnen, erhalten wir eine Abschätzung der Suspensionsviskosität einschließlich Gliedern quadratisch in der Konzentration.

     

Self-similar solution of unsteady compressible three-dimensional stagnation-point boundary layers

Summary The self-similar solution of the unsteady laminar compressible boundary-layer flow with variable properties at a three-dimensional stagnation point with mass transfer has been obtained when the free-stream velocity varies inversely as a linear function of time. The resulting ordinary differential equations have been solved numerically using an implicit finite-difference scheme. The results are found to be strongly dependent on the parameter characterizing the unsteadiness in the free-stream velocity. The velocity profiles show some features not encountered in steady flows.

---

Zusammenfassung Ähnliche Lösungen der nichtstationären laminaren kompressiblen Grenzschichtströmung mit veränderlichen Stoffgrößen ist für einen dreidimensionalen Staupunkt mit Massen-Übertragung erhalten worden, für den Fall, daß die Anströmung invers zu einer linearen Funktion der Zeit variiert. Es entsteht eine gewöhnliche Differentialgleichung, die numerisch mit einer impliziten Differenzenmethode gelöst wurde. Die Ergebnisse hängen stark von dem Parameter ab, der die Nicht-Stationärität der Anströmung kennzeichnet. Die Geschwindigkeitsprofile zeigen einige Eigenschaften die in stationärer Strömung nicht auftreten.

     

Further considerations of resonant oscillations in open tubes

Summary The problem investigated is that of a gas column contained in a tube which is open at one end and closed at the other by a periodically oscillating piston. A previous investigation by the present author showed that the effects of nonlinear amplitude dispersion may play a crucial role for this problem. In the course of this previous investigation a difference equation was derived which accounts for the effects of nonlinear distortion of the solutions. The present investigation shows that with the help of a suitable transformation this difference equation can be simplified considerably. Indeed, the proposed transformation makes the analysis which accounts for amplitude dispersion as simple as an analysis using small-amplitude expansions which does not account for amplitude dispersion. Furthermore, for certain boundary conditions at the open end, solutions can be found analytically.

---

Zusammenfassung Betrachtet wird eine Gassäule in einem Rohr, welches an einem Ende durch einen periodisch schwingenden Kolben abgeschlossen und am anderen Ende offen ist. Eine frühere Untersuchung des Autors hat gezeigt, daß die Effekte der nichtlinearen Amplitudendispersion für das vorliegenden Problem eine wesentliche Rolle spielen können. Im Rahmen dieser früheren Untersuchung wurde eine Differenzengleichung hergeleitet, in welcher die Effekte der nichtlinearen Verzerrung von Lösungen berücksichtigt sind. Die vorliegende Untersuchung zeigt, daß diese Differenzengleichung mit einer geeigneten Transformation beträchtlich vereinfacht werden kann. Die vorliegende Transformation vereinfacht die Lösung des Problems in einem solchen Ausmaß, daß eine Untersuchung, welche die Amplitudendispersion berücksichtigt, (im Vergleich zu einer Behandlung des Problems mit Entwicklungen nach kleinen Amplituden) keine zusätzlichen Schwierigkeiten mit sich bringt. Außerdem können für bestimmte Randbedingungen am offenen Ende Lösungen auf analytischem Weg gefunden werden.

     

Eine Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie vonCarnap auf ein Problem der Unternehmensforschung

Zusammenfassung Eine Form der Wahrscheinlichkeitstheorie vonCarnap ermöglicht es, die a-priori-Wahrscheinlichkeiten zu errechnen. Diese Methode wurde auf ein einfaches Lagerhaltungsproblem angewandt, wobei die zukünftige Nachfrage eine zufällige Variable ist. Wir betrachten den Fall eines vollkommen neuen Gutes und auch den Fall, daß für die Vergangenheit einige Erfahrung mit der Nachfrage nach dem Gute vorliegt.

---

Summary One version of the probability theory ofCarnap permits us to establish a priori probabilities. This idea is used for a simple problem of inventory control where the future demand is a random variable. The case of a completely new commodity is considered and also the case in which there is some past experience with the demand for the commodity in question.