立足基本知识 培养学生能力——谈定比分点公式的应用

定比分点公式是解析几何中最基本的概念之一 ,如果我们在进行解几多点共线问题、复数的、不等式的教学时 ,能适时地引导学生灵活地应用或恰当引入定比 ,运用定比分点公式进行坐标变换或推广一些已学过的知识 ,则可以大大地激发学生的学习积极性和主动性 .定比分点公式　若已知两端点为 P1 (x1 ,y1 )、P2 (x2 ,y2 ) .点 P分有向线段 P1 P2 所成的定比为λ,则分点 P的坐标为　 x=x1 λ. x21 λ ,y =y1 λ. y21 λ(或　λ=x - x1 x2 - x=y - y1 y2 - y;　λ≠ - 1 ) .图 1如图 1 :随着点在直线上的不同分布 ,定比λ的值分布也在变化 .可…     

定比分点公式的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB所成的比　 APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时 ,λ >0 ;当 P为外分点时 ,λ <0 (λ≠ -1 ) ;当 P与 A重合时 ,λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .如果我们能适时地引导学生运用定比分点公式 ,不仅可以解决解析几何自身的若干问题 ,比如求点的坐标、证明三点共线、求参数范围、求轨迹方程等等 ,而且更重要的是拓宽或推广其它已学过的数学问题 .对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益…     

用定比分点解题的常见类型

在定比分点定义中 ,P1 ,P ,P2 是数轴上三点 ,其坐标分别为x1 ,x ,x2 则P分P1 P2 之比λ =P1 PPP2 =x -x1 x2 -x,当P内分P1 P2 时 ,λ>0 ;当P外分P1 P2 时 ,λ<0且λ≠- 1 ;当P与P1 P2 的左端点P1 重合时 ,λ =0时 ;当P与P1 P2 的右端点P2重合时 ,λ→∞ ,或者说λ不存在 .对于以上几种情况 ,反之也成立 .我们正是利用理论中的可逆性来合理的求解某些数学问题 .下面举几例予以说明 .1　比较数或式值的大小例 1　已知a>0 ,b>0 ,0 相似文献   

以定比λ为参数的题解拾零

一、定比λ的几何意义及其正负值的确定从高中课本《平面解析几何》所述“线段的定比分点”的内容中,我们便可得到定比λ(在定比分点坐标中λ≠-1)的几何意义是:λ所对应的点P就是分线段p_1p_2为定比λ=p_1 p/(pp_2 )的分点。如果点P是线段p_1 p_2了的内分点,这时λ为正值;如果点P是线段p_1p_2的外分点,这时λ为负值。二、应用举例如果视λ为多数,那么,我们在解决一些关于线段的比以及与线段的比有关的问题时,便可以考虑利用参数λ。 (I)组成解析法。例1 △ABC的两边AB、 AC 的中点分别     

巧用定比λ处理介值问题

一、λ的范围及其几何意义我们知道,定比λ=(P_1P)/(PP_2)。表示的是P点分有向线段P_1P_2的(分点P的)比,其几何意义是: 1.当λ>0时.P点位于P_1、P_2之间; 2.当-1<λ<0时,P点在P_2P_1的延长线     

活用λ的几何意义解题

定理　如果 A、B两点的坐标是A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P在直线 AB上 ,APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,那么xp =x1 λx21 λ ,yp =λ1 λy21 λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时 ,注意“数形结合”,明确点 P在直线 AB上的位置与数λ的相互对应关系 (见下表 ) ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .P在直线 AB上的位置λ的变化情况P在有向线段 AB内 0 <λ < ∞P→ Aλ→ 0 P→ Bλ→ ∞P为线段 AB中点λ =1P在有向线段 AB的延长线上 -∞ <λ <- 1P无限远离 B时λ→ - 1-P→ Bλ→ -∞P在有向…     

定比分点向量表达式的应用

已知有向线段P1P2,如果点P使得P1P=λPP2(λ∈R,且λ≠-1)成立,则称点P按定比λ分有向线段P1P2.当λ>0时,点P在线段P1P2上,这时称点P为P1P2的内分点;当A相似文献   

巧求点分有向线段所成的比

例　过两点Ａ( - 3 ,2 )和Ｂ( 6,1)的直线与直线ｘ 3ｙ - 6=0交于点Ｐ ,求Ｐ分ＡＢ所成的比 .解法 1　 (定义法 )直线ＡＢ的方程为ｙ - 2 =1- 26 3(ｘ 3) ,即ｘ 9ｙ - 15=0 .将其与直线ｘ 3ｙ - 6=0联立可解得　ｘ =32 ,ｙ =32 ,即Ｐ的坐标为 ( 32 ,32 ) .从而λ =ＡＰＰＢ =ｘ 36-ｘ=1.解法 2　 (待定系数法 )设λ =ＡＰＰＢ,点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,则有　　　　ｘ =- 3 6λ1 λ ,ｙ =2 λ1 λ.　　∵Ｐ在直线ｘ 3ｙ - 6=0上 ,∴ - 3 6λ1 λ 3·2 λ1 λ- 6=0 ,解得λ =1.图 1　解法 3图解法 3　 (数形结合法 )如右图 ,显然Ｐ为内分点 …     

巧用定比“λ”解题

对于定比“λ”的应用,我们一般只停留在求点的坐标或以“λ”为参数求轨迹的问题中,而实际上,它还可以解决许多比较繁难的题目。下文将归纳二类问题,以供大家参考。一、证明线段相等例1 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的切点为p的切线交渐近线于A,B二点。求证:P点必平分线段AB。证明:因双曲线渐近线方程为y=±(b/a)x,可设A(x~1,(b/a)x_1)、B(X_2,-(b/a)x_2)为切线与渐近线的二交点。再设P点分线段AB的定比为λ,且P点的     

定比分点的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB—— 所成的比 APPB=λ(λ≠ 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时λ>0 ;当 P为外分点时λ<0 (λ≠ - 1 ) ;当 P与A重合时λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .它在解析几何中的广泛应用是大家熟知的 ,如果我们注意充分挖掘定比分点的内涵 ,还不难发现它在其它一些非解几问题中的应用 .1　 用于比较数的大小例 1　已知 a >0 ,b >0 ,0 相似文献   

线段定比分点的“十分钟”

若P1,P,P2三点共线,则P叫有向线段P1P2的定比分点,且把满足P1P=λPP2的实数λ叫P分有向线段P1P2所成的比.由P1P=λPP2得|λ|=||PP1PP2||,其分子、分母分别为:有向线段的P1P2始点的P1到分点P,分点P到终点P2的向量的长度,结合分子、分母并取其谐音即为“十分钟(始分分终)”.P在线段P1P2上时,λ>0,λ=||PP1PP2||(“十分钟”).P在线段P1P2延长线上时,λ<-1,λ=-|P1P||PP2|(负“十分钟”).P在线段P1P2延长线上时,-1<λ<0,λ=-|P1P|(负“十分钟”).线段定比分点的“十分钟”@刘建$新疆乌鲁木齐市六中南湖分校!830063~~…     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

推导定比分点公式的启示

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,有着广泛的应用 .推导公式的关键是将有向线段Ｐ1Ｐ2 投影到坐标轴上 (如图 1) ,化点Ｐ分有向线段Ｐ1Ｐ2 所成的比λ为点Ｍ分坐标轴上有向线段Ｍ1Ｍ2所成的比 .即应用了公式 :　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ (Ⅰ )　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ (Ⅱ )(1)　　　　　　　 (2 )图 1　推导公式 (Ⅰ ) ,(Ⅱ )所用图然而 ,定比分点公式一经推出 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)往往不再被重视 .事实上 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)启示着我们 :求解与线段之比有关的问题时 ,可以将其转化为在同一坐…     

λ=PM／MQ=XM-XP／XQ-XM=YM-YP／YQ-YM的应用拾零

在定比分点公式的证明过程中 ,出现了如下一个重要的表达式 :λ =PMMQ=xM-xPxQ-xM=yM - yPyQ- yM　 ( )点P在有向线段PQ的内部 λ >0 ;点P在有向线段PQ的外部 λ <0 .在定比分点公式xM =xP+λxQ1+λ ,yM =yP+λyQ1+λ推导出来后 ,( )式就被忽视了 .其实 ,若能灵活地运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 (2 0 0 3年北京西城区高考模拟题 )已知点P(4 ,- 9) ,Q(- 2 ,3) ,则 y轴与直线PQ的交点分有向线段PQ所成的比为 (　　 )(A) 1.　　　　　 (B) 2 .(C) 3.　　　　　 (D) 4 .解　设PQ与y轴的交点为M (0 ,b) ,由题设及( ) ,知λ =…     

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1定理及其推论定理(定比分点公式的向量形式)设点P分P1P2的比为λ(即P1P=λPP2,λ≠-1),Q为平面上     

例谈圆锥曲线中的取值范围问题

圆锥曲线中的取值范围问题,一般利用已知条件或挖掘题目的隐含条件构造不等式来解.本文通过几个具体例题介绍解决此类问题的常见方法.例1设点P到点A(-1,0),B(1,0)的距离之差为2λ,到x轴、y轴的距离之比为2,求λ的取值范围.解设点P(x,y),依题意得|xy|=2,即y=±2x(x≠0),因此点P(x,y),A(-1,0),B(1,0)三点不共线.所以‖PA|-|PB‖<|AB|=2.又‖PA|-|PB‖=2λ>0,所以0<|λ|<1.因此点P在以A,B为焦点,实轴长为2|λ|的双曲线上,故λx22-1-y2λ2=1.将y=±2x代入,得x2=λ21(1--5λλ22)>0.又0<λ2<1,∴1-5λ2>0,所以λ的取值范围为(-55,0)∪(0,…     

关于正则点的几个结论

非等边三角形有两个正则点 Z和 Z′,为了论证上的方便 ,我们以后将分别称它们为第一和第二正则点 ;它们关于三边的对称点所形成的 (正 )三角形相应地称为第一和第二正则三角形 .定理 1　若不等边△ ABC的面积为△ ,则它的第一和第二正则三角形的边长分别为4△λ 和 4△λ′,面积分别为 4 3△2λ2 和4 3λ′2 △ 2 .其中λ =a2 b2 - 2 abcos( C 6 0°) ,λ′=a2 b2 - 2 abcos( C - 6 0°) .证明　设点 P关于 OA和 OB的对称点为 P1、P2 ,如果点 P在∠ AOB的内部 (图 1 ) ,则　∠ P1OP2 =2∠ AOB.如果点 P在∠ AOB的外部 (图…     

二次曲线切线通解方程的初等形式

《二次曲线切线方程的进一步讨论》 (I)一文中,运用高等数学知识,导出了从平面上一点作二次曲线切线的通解方程。在数学实践中,曾用中学生所熟悉的定比分点及二次方程判别式的原理导出二次曲线通解方程的初等形式。在推导过程中,既能灵活地运用基础知识,又能拓宽学生的思路,在知识方面也形成了一个比较完整的体系。现简介如下。如图,过二次曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)外一点P(x_θ,y_θ)作直线PT,T的坐标为(x_T,y_T),那么分线段PT所成的比为λ的点Q的坐标为[(x_θ+λx_T)/(1+λ),(y_θ+λy_T)/(1+λ)]。若Q     

求一类轨迹方程的代换规律

观察下面的例子 .例 1　如图 ,已知定圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =ｒ2 和不在圆Ｏ上的一个定点Ｑ(ｘｏ,ｙｏ) ,过Ｑ作直线交圆Ｏ于Ａ、Ｂ两点 ,Ｐ为动直线ＡＢ上不同于Ｑ的另一点 ,且｜ＡＰ｜｜ＰＢ｜=｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜.求Ｐ点的轨迹 .解　设Ａ、Ｂ、Ｐ的坐标分别为 (ｘ1 ,ｙ1 )、(ｘ2 ,ｙ2 )、(ｘ ,ｙ) ,则有ｘ21 ｙ21 =ｒ2 ,ｘ22 ｙ22 =ｒ2 .设 ＡＰＰＢ =λ ,则 ＡＱＱＢ =-λ .由ｘ=ｘ1 λｘ21 λｙ=ｙ1 λｙ21 λ和ｘｏ =ｘ1 -λｘ21 -λｙｏ =ｙ1 -λｙ21 -λ得ｘｏｘ ｙｏｙ =ｘ21 -λ2 ｘ221 -λ2 ｙ21 -λ2 ｙ221 -λ2=ｘ21 ｙ21 -λ…     

高中数学同步训练 第七章 直线

§1 直角坐标系·定比分点一、选择题 1.ABCD是一个四边形,顶点是A(-5,-1),B(15,-6),C(8,12),D(-2,7),P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点,则PR和QS的交点T的坐标是( ) (A)(5,4) (B)(4.5) (C)(4,3) (D)(3,4) 2.x~2 y~2—2axcosθ-2lysinθ-a~2sin~0=0在x轴上截得的弦长是( ) (A)2a (B)4|a| (C)2~2(1/2)|a| (D)2|a| 3.点P把线段P_1P_2分成P_1P与PP_2两线段的比λ=P_1P/PP_2,如果λ=-1那么( ) (A)P与P_1重合 (B)P与P_2重合 (C)P在线段P_1P_2之外 (D)P点不存在