等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

用函数思想解数列问题

数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系,增强化归能力.1　利用一次函数性质例1　设ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和,求证:ｓｍ ｎｍ ｎ=ｓｍ-ｓｎｍ-ｎ.证　设{ａｎ}公差为ｄ,则ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ-1)2ｄ.∴ｓｎｎ=ｄ2ｎ...     

一类数列通项问题的求解

一、问题的提出已知两等差数列｛５ｎ＋２｝和｛４ｍ＋１｝（ｍ，ｎ∈Ｎ）试求两数列中相同项组成的新数列的通项公式．在教学中发现，一些学生通过分析，采用归纳猜想的方法取有限项，猜出新数列仍是一等差数列，且它的公差是两已知数列公差的最小公倍数而得解．但问题是，新旧数列公差倍数关系这个结论只是猜想，缺乏必要的理论依据，这里，我们试用二元一次不定方程式求解公式先来探讨这一问题的一般情形．二、结论的导出设两等差数列为｛ａｍ＋ｂ｝和｛ｃｎ＋ｄ｝（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈ｚ）公差分别ａ和ｃ，其相同项组成的新数列为｛Ｘｎ｝…     

等差数列中两类“特征数列”

设等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,公差为ｄ ,则有以下两类“特征数列” :( 1)若ａ1>0 ,ｄ <0 ,则Ｓｎ 无最小值 ,Ｓｎ有最大值 ,且Ｓｎ 有最大值ＳＮ 时ａｉ>0 ( 1≤ｉ≤Ｎ) ,我们把 {ａｎ}称为首项为正、公差为负的递减等差数列 ;( 2 )若ａ1<0 ,ｄ >0 ,则Ｓｎ 无最大值 ,Ｓｎ有最小值 ,且Ｓｎ 有最小值ＳＮ 时ａｉ<0 ( 1≤ｉ≤Ｎ) ,我们把 {ａｎ}称为首项为负、公差为正的递增等差数列 .分析　Ｓｎ =ｎａ1+ ｎ(ｎ -1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +(ａ1-ｄ2 )ｎ ,Ｓｎ 为ｎ的二次函数 ,其图象为抛物线 ,对称轴为ｘ0 =12 -ａ1ｄ,当ａ1 与ｄ异号时ｘ0 >0…     

等差数列一个性质的运用

性质　设数列 {ａｎ}是等差数列 ,公差为ｄ ,Ｓｎ 为它的前ｎ项和 ,则对任意的自然数ｍ ,ｎ ,当ｍ≠ｎ时 ,总有 ｍＳｎ-ｎＳｍｍ·ｎ(ｎ -ｍ) =12 ｄ .证　∵数列 {ａｎ}是等差数列 ,∴Ｓｎ=ｎａ1 12 ｎ(ｎ -1)ｄ ,Ｓｍ=ｍａ1 12 ｍ(ｍ -1)ｄ ,∴ｍＳｎ -ｎＳｍ =ｍ·ｎａ1 12 ｍ·ｎ·(ｎ -1)ｄ -ｎ·ｍａ1 -12 ｎ·ｍ (ｍ -1)ｄ =12 ｍｎ(ｎ -ｍ )ｄ ,∴ ｍＳｎ-ｎＳｍｍ·ｎ(ｎ -ｍ ) =12 ｄ .上述性质公式结构优美 ,便于记忆 ,且只含项数与前ｎ项和 ,公差 .在解只含上述条件的题目时 ,运用它可以很方便地解题 ,下面举例说明 .例 1…     

纠正一个错误

文 [1]指出 :“设两等差数列 {ａｍ ｂ}和 {ｃｎ ｄ}(ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ∈Ｚ)公差分别为ａ和ｃ ,其相同项组成的新数列为 {ｘｎ}(ｎ∈Ｎ) ,又设ｘ∈ {ｘｎ},当ａ·ｃ<0即公差值一正一负时 ,两数列中的数分别一增一减 ,除可能有一项相同外 ,不会出现新的相同项 ,否则与单调数列的概念矛盾 .因此若新列中各元素均为两数列中的相同项 ,须要ａｃ >0即ａ ,ｃ >0或ａ ,ｃ <0 .”笔者认为 ,上述结论是错误的 ,反例如下 :数列{- 10 1 ｎ}的公差为 1,数列 {10 1-ｎ}的公差为- 1,数列 {- 10 1 ｎ}与数列 {10 1-ｎ}的前 2 0 1项均相同 (只不过排列顺序不…     

关于等差数列的两个不等式

文 [1]中给出了涉及ｎ的两个新颖不等式 :2ｎ 116ｍ 12 - 2ｎ 116ｍ - 12 ≤ 1ｎ<2ｎ 12 - 2ｎ - 12 ( 1)(其中ｎ ,ｍ为正整数 ,ｍ≤ｎ)2ｎ 23ｎ - 2 (ｎ - 1) 23ｎ - 1≤ｎ <4ｎ 36 ｎ - 4(ｎ - 1) 36 ｎ - 1( 2 )(其中正整数ｎ >1) .本文试把这两个不等式从自然数列推广到正等差数列 {ａｎ},得到涉及 ａｎ的两个不等式 ,并举例说明其应用 .定理 1　设 {ａｎ}为等差数列 ,首项ａ1 >0 ,公差ｄ >0 ,ｎ ,ｍ为正整数 ,ｍ≤ｎ ,则2 ａｎ ｄ216ａｍ ｄ2 -ａｎ ｄ216ａｍ- ｄ2≤ ｄａｎ<2 ａｎ ｄ2 -ａｎ- ｄ2 ( 3)当且仅当ｎ…     

有穷等差数列的一个性质及其应用

在教学过程中 ,笔者发现一类古典概率问题与有穷等差数列有关 ,进一步研究后 ,得到 :性质　从项数为ｎ的等差数列ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ中可重复地任取两项求和 ,(1 )不相等的和数按升序组成的数列 (不妨称为两项和数列 )是等差数列 ;(2 )若某和数是两项和数列的第ｋ项 ,则在所有和数中该和数出现的频数ｍ可按下式计算 :ｍ =ｋ ,　　　　　当ｋ≤ｎ时2ｎ-ｋ,　　当ｋ >ｎ时 ( )关于这一性质 ,可以推导如下 :(1 )将有穷等差数列ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 的公差设为ｄ ,其中任意两项ａｉ 与ａｊ的和记为Ｓｉｊ,因为ａｉ=ａ1+(ｉ-1 )ｄ　　　 (ｉ=1 ,2 ,3…     

等差数列的一个性质及应用

定理:设数列{an}是以d为公差的等差数列,Sn为{an}的前n项和,记bn=Sn/n,则数列{bn}是以d/2为公差的等差数列. 简证:∵数列{an}是以d为公差的等差数列,     

函数观点下的等差数列

等差数列是一类特殊函数 ,用函数思想理解等差数列能加深对其概念和公式的理解和运用 ,加强知识点间的联系 .1　一次函数等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+ (ｎ - 1)ｄ =ｎｄ+ (ａ1-ｄ) ,它是关于ｎ的一次函数 ,其图象是一条直线上的点 ,求和公式Ｓｎ=ｎａ1+ ｎ(ｎ - 1)ｄ2 可变形为 Ｓｎｎ =ａ1+ ｎ - 12 ·ｄ ,也是关于ｎ的一次函数 .因此 ,对于涉及到等差数列的有关问题 ,有时可利用一次函数的性质及图象求解 .例 1　在等差数列 {ａｎ}中 ,ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ(ｍ≠ｎ) ,求ａｍ +ｎ.解　设等差数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则ａｎ=ｎｄ +(ａ1-ｄ)是关…     

1993年日本的大学入学数学考试部分数列试题

１９９３年日本的大学入学数学考试部分数列试题吉林省公主岭市八中赵正奇，赵永春译一、（秋田大学２题２３页）今有一数列，由始项ａ１到第ｎ项ａｎ的和所以数列｛ａｎ｝的始项ａ＋ｂ，公差２ａ的等差数列（证毕）．关键：（ａｎ）为等差数列ｑ为常数）；ａｎ＝Ｓｎ－Ｓ...     

利用二次函数巧解一类等差数列题

利用二次函数巧解一类等差数列题李长春（安徽省宣州市宣城中学２４２０００）我们知道，当等差数列的公差时，其前ｎ项和是关于ｎ的二次函数，当问题与山和ｄ的关系不密切时，可设求解，这样能简化解题过程．一、利用函数表达式例１已知等差数列｛ａｎ｝满足见求解令由得...     

周期跳跃数列

周期跳跃数列侯新昌（陕西宝鸡教育学院７２１００１）大型体育馆的坐椅数一般是从前排起逐排等差递增的，但每隔几排就会跳跃一次，留出一个过道．笔者由此想到周期等差跳跃等差数列．定义１设数列｛ａｎ｝从第ｋｔ＋１项起到第ｋｔ＋ｔ项是公差为ｄ的等差数列｛ｋ＝０，...     

2001春季高考(理工类)第20题的别解

200 1年北京市、内蒙古自治区、安徽省春季高考 (2 0 )题是 :在 1与 2之间插入ｎ个正数ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ,使这ｎ 2个数成等比数列 ;又在 1与 2之间插入ｎ个正数ｂ1,ｂ2 ,ｂ3,… ,ｂｎ,使这ｎ 2个数成等差数列 .记Ａｎ=ａ1ａ2 ａ3…ａｎ,Ｂｎ=ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ.1 )求数列 {Ａｎ}和 {Ｂｎ}的通项 ;2 )当ｎ≥ 7时 ,比较Ａｎ 与Ｂｎ 的大小 ,并证明你的结论 .下面 ,本文给出一种有别于参考答案的解答 .解　 1 )　设等比数列的公比为 ｑ ,等差数列的公差为ｄ ,则据题意得ａｎ=ｑｎ 1=2 ,ｂｎ=1 (ｎ 1 )ｄ =2 ,即 ｑｎ 1=2 ,(ｎ …     

自然数数列巧用

自然数数列巧用３６２３２４福建省南安第二中学黄火水我门知道数ｇＪ｛ｎ｝称为自然数数列，它是一个苗顶，公差都为卫的递增等差数列．它结出了著差数列的街串换型，对处理一些自苦差数列有关，且是一般情况的问题大有益处．下面举两道高警题给予说明．１、（１９９２年...     

高中数学小单元自测题

高中数学小单元自测题数列、极限、数学归纳法（高二）陈耀宇（河南省商城高中４６５３５０）第一套数列１．等差数列ａ－ｄ，ａ，ａ＋ｄ，…的通项公式是（）（Ａ）ａｎ＝ａ＋（ｎ－１）ｄ．（Ｂ）ａｎ＝ａ＋（ｎ－２）ｄ．（Ｃ）ａｎ＝ａ＋ｎｄ．（Ｄ）ａｎ＝ａ＋（ｎ－...     

等差数列的m阶前n项和及应用

一个数列从第二项起,各项与其前一项的差所成数列,称原数列的一阶差数列。仿此可得原数列的二阶差数列,……;若第r阶差数列为非零常数列,则原数列称r阶等差数列。二阶以上的等差数列称高阶等差数列。本文讨论等差数列与高阶等差数列的一个有趣的联系,并举例说明其应用。设数列{a_n}为等差数列,公差为d。考察它的前n项和:     

数列中的充要条件

充要条件是高中数学的一个重要概念 ,很多知识可以和它相联系 ,数列也不例外 .现总结一下 ,供同学们学习数列时参考 .命题 1　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是它的通项公式为ａｎ=ａ·ｎ ｂ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 2　已知数列 {ａｎ} ,Ｓｎ 为其前ｎ项和 ,则数列为等差数列的充要条件是Ｓｎ=ａｎ2 ｂｎ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 3　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是2ａｎ=ａｎ 1 ａｎ - 1(ｎ∈Ｎ 且ｎ≥ 2 ) .命题 4　三数ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列的充要条件是ｂ =ａ ｃ2 .命题 5　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=…     

等差数列前n项和的几个性质及应用

定理1 设数列{an}是公差为d的等差数列，前以项和为Sn,则有 Sn/n=Sm/m＋n-m/2d（1） 证因为等差数列{an}中     

用物理知识解数学问题举例

有些数学问题是由物理问题抽象得到的 ,或蕴含有物理意义 ,我们在解决这些问题时利用一个物理装置把数学问题物理化 ,常会出现一些有趣的巧法 .例 1　设 {ａｎ}为等差数列 ,Ｓｎ 1为其前ｎ 1项的和 ,求证 :ａ1Ｃ0 ｎ ａ2 Ｃ1ｎ ａ3Ｃ2 ｎ … ａｎ 1Ｃｎｎ=Ｓｎ 1ｎ 1·2 ｎ.证　设数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,当ｄ =0时 ,由组合数性质知结论成立 .当ｄ >0时 ,ａ1<ａ2 <… <ａｎ 1,如图 1,考虑数轴上坐标为图 1　数轴ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 1的点 ,在ａｉ 处对应放置质量为Ｃｉ- 1ｎ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ 1)的质点 ,由于ａｉ 1-ａｉ=ｄ ,Ｃ…