一个错解的剖析

题目已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m},是否存在实数m,使"x∈P"是"x∈S"的必要条件?若存在,求出m的范围.解由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10}.由题意,"x∈P"是"x∈S"的必要条件,则SP.     

巧变形 求最值

<正>《中学生数学》2013年第4月(下)课外练习题初三年级第1题是:题求函数y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值.参考答案用"判别式"给出了解答.本文再给出一种不用"判别式"的解法,供同学们参阅.另解y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1,当x+1=0时,y=0,即y=0是函数的一个值;当x+1≠0时,y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1=2(x+1)+1x+1+1.∵|x+1|+1|x+1|≥2|x+1|·1|x+1槡|=2,     

“x≥a,x≤2无解”即“a≤x≤2不成立”吗？

众所周知,"{x≥a x≤2无解"即"{x≥a x≤2的解集是φ",那么"a≤x≤2不成立"又是什么意思呢?     

勘误

正2019年第6期第21页左栏第5行"cos~3 x"应为"cos~7 x",第15行左端分母"sin~2 x"应为"sin2x".     

圆锥曲线中OA⊥OB的处理方法

圆锥曲线中时常出现"OA⊥OB"的情况,本文介绍两类处理方法,仅供参考. 　　一、等价转化法: 　　1.等价转化为"x1x2+y1y2=0":无论是通过kOA·kOB=-1,还是→OA·→OB=0,都可将QA⊥OB等价转化为x1x2+y1y2=0,其中A(x1,y1),B(x2,y2).……     

一道最值问题的发散思维

例求曲线C:槡x+槡y=1上的点到原点的距离的最小值.分析一在使用基本不等式求最值时,凑定值是解题的重要一环.本题中虽然有定值"1",但与曲线上的点P(x,y)到原点的距离x2槡+y2所要求的定值无直接的关系.可以考虑用"中间量"x+y来联系槡x+槡y与x2+y2.解法一设点P(x,y)是曲线C上的任意一点,则1=(槡x+槡y)2=x+y+2槡xy,结合基本     

简解一道高考题

大纲卷高考题(2011.重庆.文.15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.(答案:2-log23.)简解设x=2a,y=2b,z=2c,得该题等价于"已知正实数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz,求z的最大值".由"正实数x,y,z满足x+y=xy"及     

运用根与系数关系解二次函数有关问题

<正>一元二次方程中"根与系数的关系"是一个重要内容.那么在二次函数中又有哪些常见题用到根与系数关系呢?我们来看一看.例1抛物线y=2x2+6x+m与x轴交于A、B,且AB=2.求m值.解设A(x1,0),B(x2,0).当y=0时,对应一元二次方程为2x2+6x+m=0,∵x1、x2为方程的两不等实根,∴由根与系数的关系可得     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

希望杯一试题的拓展

<正>2011年第二十二届"希望杯"全国邀请赛高一第一试第21题:(x2-2x+5)(1/2)+(x2-8x+25)(1/2)的最小值为,此时x=.解(x2-2x+5)(1/2)+(x2-8x+25)(1/2)=((x-1)2+22)(1/2)+((x-4)2+32)(1/2),此式的几何意义为点P(x,0)到点A(1,2)和B(4,3)的距离之和的最小值.设点B(4,3)关于x轴的对称点     

“一道题的错解分析与一类题的解法规律”的再解析

题目 已知函数f(x) =x2-2x-4的定义域与值域都是M,求M.解 令x2-2x-4=x解之得x1=-1,x2=4,因为a＞0,-b/2a=-(-2)/(2×1)=1∈(-1,4)=(x1,x2).由图1可知,所求的M=[4,+∞).文[1]、[2]认为,上述解答的结果是正确的,但解题过程是错误的.两文先分析了错因,再给出了"通解"(分类讨论),得到同原解同样的结果.接着给出一个反例,说按原解法只能得到一解,而按"通解"则反例有三解,两文最后给出f(x)为一般一次函数时的解题规律.     

以直线的斜率公式立意的数学试题

我们知道经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k=(y2-y1)/(x2-x1).普通高中数学课程标准对这一公式提出了"理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式"的教学要求,所以直线的斜率是高中数学的重要内     

一类含绝对值的斜率型不等式的统一求解模式

先看两道试题:1.如果对于函数f(x)的定义域内任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,那么就称函数f(x)是定义域上的"平缓函数".设a,m为实常数,m>0,若f(x)=alnx是[m,∞)上的"平缓函数",试求a的取值范围.     

分割区间来解题,也是一种好方法!

高考题1(2010.福建.理.15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④"函数f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充     

“恒”字类问题的破解策略

"恒"字类问题是指"恒成立"、"恒不成立"、"不恒成立"问题,这类问题既是高考的热点,又是高考的难点之一.本文结合实例讨论"恒"字类问题的几种常用解题思路,望对同学们能有所帮助.一、恒成立问题1.用一次函数的性质对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n],有:f(x)＞0恒成立(→){f(m)＞0,f(n)＞0.f(x)＜0恒成立(→){f(m)＜0,f(n)＜0.例1 若不等式2x-1 ＞m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的范围.     

分式方程的另类解法

例1(2011年辽宁·大连卷)解方程5x-2+1=x-12-x.一般解法方程两边同乘(x-2),得5+(x-2)=-(x-1).解得x=-1.检验x=-1时,x-2=-3≠0,x=-1是原分式方程的解.另类解法原方程可变为5x-2+1-x-12-x=0.即5x-2+x-2x-2+x-1x-2=0.即2x+2x-2=0.则有2x+2=0,且x-2≠0,故x=-1.点评第一种办法在去分母后变成整式方程,而整式方程与原分式方程可能不"同解"(即"整式方程的根"对于原分式方程可能是"增根(此时的根会让分母为0)"),因此必须"验根";     

2008年高考模拟试题(七)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 　　1.集合A={x||x-1|≤1,x∈R},B={x|log2x≤1,x∈R},则"x∈A"是"x∈B"的( ) 　　A.充分非必要条件 　　B.必要非充分条件 　　C.充分必要条件 　　D.既非充分也非必要条件 　　……     

一道希望杯题的思考

<正>第二十二届"希望杯"全国数学邀请赛高一组21题:求函数y=x2-2x+5/2+x2-8x+25/2的最小值,并求出y取得最小值时的x值.此题揭开了代数与几何的一个关系,下面我们一起来探究思考一已知M∈L,A、B两点在L的同侧,求MA+MB的最小值,并求出此时M的坐标.     

谈谈构造函数法的几点应用

<正>一、构造函数求解恒成立问题,弥补参数范围中的"等号"问题例1已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)若函数y=f(x)的图像上任意不同的两点的连线的斜率小于2,求a的取值范围分析本题学生易将图像上任意不同的两点的连线的斜率与f′(x)混为一谈,错解为:由f(x)=-x3+ax2+b得f′(x)=-3x2+2ax.∵f′(x)<2,∴3x2-2ax+2>0对一切的x∈R恒成立,从而Δ=(-2a)2-4×3×2<0,∴a2-6<0,∴-6~(1/2)相似文献   

简解一道高考题

<正>大纲卷高考题(2011.重庆.文.15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.(答案:2-log23.)简解设x=2a,y=2b,z=2c,得该题等价于"已知正实数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz,求z的最大值".由"正实数x,y,z满足x+y=x...