二项式系数和Gauss系数

二项式系数和Ｇａｕｓｓ系数万哲先（中国科学院）二项式系数和Ｇａｕｓｓ系数在数学中有广泛的应用．本文先介绍二项式系数和它的性质，然后用类比的万法讨论了Ｇａｕｓｓ系数和它的性质．第一章二项式系数１．１二项式系数的定义和它的组合意义定义１．１设。和ｎ都是非...     

二项式系数与Gauss系数

二项式系数与Ｇａｕｓｓ系数万哲先（中国科学院）第二章Ｇａｕｓｓ系数２．１Ｇａｕｓｓ系数的定义和它的组合意义定义２．１设。是非负整数，Ｑ是４１的复数，而Ｘ是未定元，令我们把ｌ－ｆ－－ｉｆ叫做Ｇａｕｓｓ系数．注意，当ｍ一０时，Ｄ“Ｉ的分子和分母都是０个因...     

关于广义三周期Fibonacci序列的二项式系数和的恒等式

首先构造了广义三周期Fibonacci序列的通项公式,然后在一定限制条件下,利用矩阵方法给出了关于广义三周期Fibonacci序列和广义三周期Lucas序列的一些二项式系数和的恒等式.     

含有中心二项式系数以及广义调和数的无穷级数恒等式

该文以两个高斯超几何求和公式为基础,建立一系列关于中心二项式系数和广义调和数的无穷级数恒等式.     

借助二项式系数求解行列式

本文借助二项式系数求解一类元素有幂次、排列有规律的行列式.阐述了解题思想及方法,指出了解题时应注意的问题,并通过具体例子说明运用本文方法的简便性.     

Catalan数与二项式系数和式的同余式(英文)

证明了孙智伟教授提出的猜想,它们是关于Catalan数或二阶Catalan数与二项式系数和式模奇素数p或者奇素数p平方的同余式.     

关于二项式系数的一个新定理

在这篇文章里，我们发现了二项式系统的一个性质，因而找到了Grimm猜想的一个充分条件。     

广义Stirling数及其性质

This paper gives a common generalization of generalized stirling number in [1]-[9].namely (x|a)n=∑k≥0 Aa,b(n,k)(x|b)k and obtains some properties..     

一些二项式系数的最大公因数（英文）

本文证明:若n≥4和a≥0为整数且满足a m+b(n, p),m∈N和0≤b(n, p)≤a的素数p.作为上述结论的一个应用,我们回答洪[3]文中的一个问题.     

二项式系数的更多整除性质

设$a$, $b$和$n$为正整数,且$a>b$,我们证明了下面的整除性质: 对所有正整数$n$, 我们有$$(2bn+1)(2bn+3)(2bn+5){2bn\choose bn}\Big|15(a-b)(3a-b)(5a-b)(5a-3b){2an \choose an}{an\choose bn},$$ 上述整除式推广了杨全会一文中的相关结论.且对所有正整数$n$,我们证明了下面的整除性质:$$(6n+1){4n\choose n}\Big|{12n\choose 6n}{2n\choose n},\ (12n+1){5n\choose n}\Big|{15n\choose 3n}{3n-1\choose n-1},$$ $$(18n+1){12n\choose 9n}{8n\choose 2n}\Big| {24n\choose 18n}{4n\choose 2n}{6n\choose 3n}.$$更多类似的整除性质可以给出.     

有关Lucas与Babbage同余式的推广

利用一个素数模意义上的整数分拆的结果,证明了高斯二项式系数上的Lucas同余式,并且分别研究了Lucas同余式和Babbage同余式在广义二项式系数上的情况,得到了相应的形式简洁的同余式.     

二项式系数奇偶性的判定准则

判定准则Cnm(m≤n)的奇偶性取决于m和n-m的二进制表达式中是否存在位于同一数位上的两个数码都是1,如果存在,Cmn是偶数,否则Cnm就是奇数.证m=0时,Cnm=C0n=1总是奇数,判定准则显然成立.m=1时,Cnm=C1n=n,若n是奇数,则n-m=n-1是偶数,其二进制表达式的末位是0;若n是偶数,则n-m=n-1是奇数,其二进制表达式的末位是1,判定准则亦成立.可见,m=0或1时,判定准则对任意正整数n都成立.由于Cnm=Cnn-m,因此下面只需在m≥2且n-m≥2的前提下证明判定准则.以下对n使用数学归纳法证明判定准则.n=1时,m=0或1,前面已经证明判定准则成立.假设判定准则对n-1(≥1…     

关于广义Stirling数偶的同余性

本文证明了广义Ｓｔｉｒｌｉｎｇ数偶的一些同余性质，从而回答了文［５］中的一个猜测．这些结果做为特例推广了已知的关于两类Ｓｔｉｒｌｉｎｇ数的同余性质．     

第二类Stirling数的一些同余式

设k,n为非负整数,S(n,k)表示第二类Stirling数.本文研究了S(n,k)模2的方幂的同余式,首先给出了一类二项式系数模2的同余式,然后利用上述结果得到了S(n,a2~m+b)模2~m的同余式.其表达式均由简单二项式系数组成,其中m≥3,b=0,1,2.这些结果改进了Chan和Manna的结果.     

二项式系数和序列的同余性质

利用同余理论研究了二项式系数和序列an（r,s）和bn（ε,a,b,c）分别在模p^2和模p^3下的同余性质,这将为研究它们的多项式递推公式提供有利的工具.     

与二项式系数有关的求和问题的解题策略

1赋值求和例1设(2x-3)10=a10(x-1)10 a9(x-1)9 … a2(x-1)2 a1(x-1) a0,求a1 a2 a3 … a10的值.解令x=2,得a0 a1 a2 a3 … a10=1;令x=1,得a0=(-1)10=1,所以a1 a2 a3 … a10=1-1=0.例2设(1 x x2)n=a0 a1x a2x2 … a2nx2n,求a1 a3 a5 … a2n-1的值.解令x=1,得a0 a1 a2 … a2n=3n;令x=-1,得a0-a1 a2-…-a2n-1 a2n=1.两式相减得a1 a3 a5 … a2n-1=3n-12.2逆用定理例3已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,求和:a1C0n a2C1n a3C2n … an 1Cnn.解a1C0n a2C1n a3C2n … an 1Cnn=a1C0n a1qC1n a1q2C2n … a1qnCnn=a1(C0n qC1n q2C2n … qnCnn)…     

广义m阶Bernoulli数和广义m阶Euler数的计算公式

使用发生函数方法,利用第一类Stirling数和第二类Stirling数分别给出广义m阶Bernoulli数和广义m阶Euler数的计算公式.     

二项式系数倒数级数恒等式

利用已知级数,通过裂项构造出一批新的二项式系数倒数级数,它们的分母分别含有1到4个奇因子与二项式系数的乘积表达式.所给出二项式系数倒数级数的和式是封闭形的.     

一类二项式系数求和问题探秘

特殊化与一般化是我们解决数学问题常用的两种重要的思想方法.特殊的事物往往被人们所熟悉,但当问题的特殊性掩盖了事物的本质时,我们就需要将问题解决转向一般化.