巧思妙解竞赛题

全国初中数学竞赛和全国各省市的数学竞赛已进行了多年,诞生了许多令人回味无穷的试题,在各类期刊上均有公布,但有些期刊提供的解法比较繁琐.本文给出一些有名的初中数学竞赛试题的简解,供参考.题一(中等数学初中数学奥林匹克训练题)是否存在正整数a、b使得等式a3+(a+b)2+b=b3+a+2成立,如果存在,求出a、b的值,如果不存在,请说明理由.     

横看成岭侧成峰——浅谈数学解题的视角转换

学习数学,必须要做适量的题目.面对千“题”百怪的数学题,我们也要随机应变,转换视角和思路,见什么样的题目就应做什么样的策划.1暗题明做含蓄是一种美,许多数学题目在设计时也会布下“暗线”,追求一种“犹抱琵琶半遮面”的含蓄美.例1已知a=(1,2),b=(3,2),且|(ka b)-(a-3b)|=|k     

对一道不等式习题的探究性学习

人教版教材高中数学第二册 (上 ) (必修 )第30页有这样一道习题 :已知a >b>c ,求证 :1a -b 1b -c 1c -a>0 .这样一道看似普通的不等式习题 ,却蕴涵着丰富的教学功能 .笔者在教学中从这道习题出发 ,引导学生开展了一次数学探究活动 .探究 1　 变题题 1　已知a>b >c,求证 1a -b     

两道试题的统一研究

在《中等数学》数学奥林匹克问题中有如下一题:1.对所有的正实数a,b证明:a3a b b3b a≤1.无独有偶在《数学通报》数学问题中也有一题类似于上题:2.对所有的正实数a,b,证明:aa 3b bb 3a≥1事实上,我们将题2所证的不等式两边同时乘以3有:a13a b b13b a≥3.将此式与题1的结论进行比较,发现:对于正数λ的不同取值,aλa b bλb a的取值也相应的发生变化,为此我们来讨论该式的取值范围.将上式进行变形为:1λ ba 1λ ab,令x=ab,y=ba,则x>0,y>0,且xy=1,所以只要讨论1λ x 1λ y的取值范围,其中x,y∈R ,λ>0,xy=1.将上式平方有:(1λ x 1λ y)2=1λ x…     

构造两点间的距离解题

有些数学问题,如果我们根据题设结构特征联想或变形构造成两点间的距离,往往能捕捉到解题的信息,获得新颖别致的解法,现举例说明.例1已知a,b,x,y∈R,且a+2b+4=     

以a+b+c=0为条件的求值题解析

在初中数学各种竞赛题中经常会见到以a+b+c=0为条件的求值题.笔者现举几例加以解析,以期使读者了解此类题的解题思路.     

单调奇函数的一个性质与一类问题的统一解决

问题1已知实数a,b分别满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,则a+b的值为.此题是我市高三期中考试中的一道填空题,得分率很低,不少同学不知道该从哪里下手解决这道题目.与此题类似的问题还有:问题2(第10届希望杯试题)设f(x)=x3     

用化归思想解高考题

<正>2014年高考数学(浙江卷)文科第16题:已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是__.分析本题主要考查最值求解的基本策略,咋看题目涉及到的字母参数较多,思路不太清晰,同学们很容易迷失方向以致半途而废.若把要求的字母a看作常量,其他字母如b和c看作变量,将题目条件化归为解析几何或方程或函数或三角函数或不等式或平面向量或     

一个数学问题推广结论的纠正

《数学通报》数学问题1845和1990是同一道题:已知a＞0,b＞0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值. 文[1]对此题有如下两个猜测推广: 推广1若a＞0,b＞0,m/a十n/b=1(其中m,n为正常数),则a+b-√a2+b2的最大值为2m+2n-2√2mn.     

初一第二学期教材A册教参答案的异议

上海教育出版社九年制义务教育课本初一第二学期数学练习部分A册P46习题 2 3题 : 分子为 1的真分数叫做“单位分数”,我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和 ,例如 :56 =12 +13(Ⅰ )把 71 2 写成两个单位分数之和 ;(Ⅱ )研究真分数1 3x,对哪些x的值 ,它可以写成两个单位分数的和 ?上海教育出版社 2 0 0 2年版七年级第二学期《数学教学参考资料》提供的第 98页解答如下 :(Ⅰ ) 71 2 =13 +14 或 71 2 =12 +11 2 ;(Ⅱ)如设1 3x =1a+1b =a+bab ,其中x >1 3,a>1 ,b>1 ,x、a、b为整数 ,则　　　 a+b=1 3a·b=xa 2 3 4 56b 1110 987x 2 2 …     

一道初中数学竞赛题的逻辑补充

2003年全国初中数学联赛第二试(A)卷第三题(或C卷第一题)是: 例1 已知实数a,b,c,d互不相等,且a 1/b=b 1/c=c 1/d=d 1/a=x试求x的值.     

解题中的形象思维

数学需要抽象思维,也需要形象思维.数与形都是数学中的具体形象(当然,它们又是从实际事物中抽象出来的).人们常常利用具体的数与形进行形象思维.在几何中尤其是这样.几何图形常常引起我们的想象,给我们很多的启迪.本文试图通过几个解题的实例说明我们怎样利用几何图形进行形象思维,为了说明形象思维的过程,所举例题稍有难度与层次.例1有两个等腰三角形,一个顶角为α,腰为a,底为b.另一个底角为α,腰为b,底为a,求α及ab.题目中没有画出图形,我们应该先将两个等腰三角形画出来以进行形象思维.如果a=b,两个三角形都是正三角形,α=60°.现在设a>b…     

解决不等式问题的一种重要思想

我们知道,对于实数a、b,必有a>b a-b>0.将这个关系稍加改动,即可得到应用价值较大的一种重要思想方法——松驰量方法,即对于实数a、b:a>b必定存在实数c∈R+,使a=b+c.在这里,实数c也可以叫做松驰量.它往往可以将刻画大小关系的不等式a>b等价地化归为等量关系a=b+c.用它可轻松地化解相当多的问题,教材中的“不等式”一章中的不少问题都可以利用这种思想方法加以解决.例1已知a>b>c,求证1a-b+1b-c+1c-a>0.(全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上),人教版P30第8题)证明由a>b>c,存在正实数α、β,使得a=b+,αb=c+β,于是,a-b=,αb-c=,βc-…     

一组优美的不等式

俄罗斯杂志《中学数学》每期都有“新题”的专栏.笔者从2004年和2005年《中学数学》杂志中选择了若干有关不等式的新题,并给出了解法.这些新题大多具有优美的结构,并能用巧妙的方法进行解答,在数学教学中有较大的参考价值.题后括号内注明了该题的命题者.1设a,b,c>0,证明不等式(a b)(a c)>abc(a b c).(贝·伊·卡斯开维奇)证(a b)(a c)=a2 ab ac bc>ab ac bc=(ab ac bc)2=a2b2 a2c2 b2c2 2abc(a b c)>abc(a b c).2设a,b,c,d>0,证明不等式(ab cd)(ad bc)(a c)(b d)≥abcd.(阿·贝·斯米尔诺夫)证不影响结论的一般性,可认为ab cd≥ad bc,而此时…     

一道2000年CMO试题的背景及别解

2000年中国数学奥林匹克第一题是[1]:设a、b、c为△ABC的三条边,a≤b≤c,R和r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径.令f=a b-2R-2r,试用角C的大小来判定f的符号.据笔者掌握的资料,此题可能是以《美国数学月刊》1999年2月号问题10713为背景编制的[2]:设a、b、c、R、r分别为满足A     

1道向量题的精彩解法

题目 在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.且a·b=b·c=c·d=d·a.问四边形ABCD是什么四边形? 做过这道习题的同学或老师都知道这道题不大"好做",为说明这一点,笔者摘录参考文献[1]上对本题的解法和点评.     

从一道经典的外国数学竞赛题到两个优美的三角不等式

1963年,一道经典的不等式题在莫斯科数学竞赛中应运而生.原题如下:设a,b,c∈R ,求证:a b c bc a ca b≥32(*)这个不等式的证法很多,下面本人给出一个简单的证明过程.证明由对称性,不妨设:a≥b≥c>0,则1b c≥1c a≥1a b,所以(顺序和)ab c bc a ca b≥bb c cc a aa b(乱序和),(顺     

这些年,0不能干的事

<正>1.小学的数学学习就让我们知道,0不能做除数,那你有没有思考过0为什么不能做除数呢?我们用反证法来证明一下,反证法即是假设结论的反面成立,然后推导出与已知或定理相矛盾的结果,从而得知结论的反面不成立,应该是结论成立.我们假设0可以做除数,则设a÷0=b,根据乘法是除法的逆运算得0×b=a.我们知道0乘以任何数都为0,所以乘积a=0,即0×b=0且b为任意数代入等式均成     

第64届普特兰数学竞赛A2题的推广及应用

2003年第64届普特兰数学竞赛A2题:设a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn都是非负实数,证明:(a1a2…an)1n (b1b2…bn)1n≤[(a1 b1)(a2 b2)…(an bn)]1n.对该试题的证明本文不做探讨,以下研究该不等式题的推广及其应用.推广如果x1i,x2i,…,xmi,(i=1,2,…n)为非负实数,则:(x11x12…x1n)1n (     

从中、英、美三国的一道高考题到数学的"形式化"

形式化是数学的基本特征之一,缺少形式化的数学不能称之为真正的数学,2007高考广东理科卷第8题就是一道来源于抽象代数的"代数运算" 试题,值得一看: 　　例1 设S是至少含有两个元素的集合,在S上定义了一个二元运算"*"(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a﹡b与之对应).若对任意的a,b∈S,有a﹡(b﹡a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是 ……