方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅱ):极限圈的唯一性

<正> 作为[1]的定理1的特例,我們知道方程dy/dt=x,dx/dt=-y+mxy+ny~2(mn≠0)(1)沒有周期解.此方程有一个指标为+1的初等奇点(0,0)和一个鞍点(0,1/n).(0,0)的稳定性由mn的符号决定,当mn>0时为不稳定,mn<0时为稳定.今后不妨設m<0(否則将x,t改号),n<0(否則将y,t改号),于是由旋轉向量場的理論[2],知道当d<0而絕对值足够小时方程     

方程(dy)/(dx)=(q_(00)+q_(10)x+q(10)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p(10)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅲ):Ⅰ类方程的极限环的个数

<正> 按照文[1]的分类,我们研究其中的I类方程,它是最一般形式可化为dx/dy=-y+dx+lx~2+xy+ny~2=P(x,y),dy/dt=x=Q(x,y).当 d=0时文[1]已证明此方程不存在极限环,这时有限远奇点 O(0,0)为焦点,l+n>0时为稳定,l+n<0时为不稳定,当 n≠0 时还有另一奇点 N(0,1/n),为鞍点.为确定起见,以下均假定 l+n>0(l+n=0 时以原点为中心,由旋转向量场的理论可知加上 dx 项以后不产生极限环故不必讨论,l+n<0 时则将 y,t 改号即可化为 l+n>0的情况).由旋转向量场理论可知 d<0 而|d|甚小时在原点 O 附近产生不稳定极     

具有二次代数极限环线的方程——(dy)/(dx)=(a_(10)x+a_(01)y+a_(30)x~3+a_(31)x~2y+a_(12)xy~2+a_(03)y~3)/(b_(10)x+a_(01)y+b_(30)x~3+b_(31)x~2y+b_(12)xy~2+b_(03)y~3)

自从秦元勋始出了二次代数方程,具有二次代数极限环线一文后,作者考虑了(E)_3这个三次方程,具有二次代数极限环线的情形。本文中首先给出了此方程在全平面上奇点的分布,进而解决了只有一个奇点时,二次代数极限环线存在的充分及必要条件,周期解的唯一性(在较特殊的情形下)及其稳定性。 (作者对秦元勋老师热情的鼓励和帮助,表示衷心感谢。)     

微分方程(dy)/(dx)=(ax~3 bx~2y cxy~2 dy~3)/(a_1x~3 b_1x~2y c_1xy~2 d_1y~3)的积分曲线的拓扑结构

§1.引言在论文“一階齐次方程的积分曲线”中指出关于建立一阶齐次方程的积分曲线的一般方法.利用这个方法作出了方程     

关于方程dy╱dx=-y+dx+lx~2+mxy+ny~2╱x+ax~2所定义的积分曲线的定性研究(Ⅰ)

关于方程立~d劣户00+户一。二+户。:y+户ZoxZ+户lix夕+户妇y;’(l)极限环问题川已作了部分研究,在排除几种不可能存在极限环的情况下,对于方程(l)极限环问题的研究可归结为研究方程卫么~众一夕+dx+lxJ+m二y+刀夕2二+axZ+bxy(2)郎【11中所谓(m)类方程.若假定b~0,则(2)化为方程卫艺~犷下.十dx+lx;+,砂.大.”,dx公+a刃2(3)亦郎(n)类方程.关于方程(3)的极限环问题,【l]先假定方程(3)中l~0,对这种情况下方程(3)的极限环的存在性与积分曲线的全局结构作了详细的研究,然后在方程(3)右端分子上加上一项l式1+。幻,希望利用旋转向量场的理论来研究方…     

椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+43)的整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+43)仅有整数点(x,y)=(-2,0).     

椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+15)的正整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+15)无正整数点.     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.     

椭圆曲线y~2=(x+6)(x~2-6x+23)的正整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=(x+6)(x~2-6x+23)无正整数点,研究结果对于a,p∈Z时,椭圆曲线y~2=(x+a)(x~2-ax+p)的求解有一定的借鉴作用,同时此结果推进了该类椭圆曲线的研究.     

方程(dx)/(dt)=φ(y)-F(x),(dy)/(dt)=h(x,y)-g(x)的极限环存在定理

在不同的区域上构造适当的比较函数,将Filippov定理推广到更一般的非线性系统（y）-F（x）,h（x,y）-g（x）.     

方程(dx)/(dt)=φ(y)-F(x),(dy)/(dt)=h(x,y)-g(x)的极限环存在定理

在不同的区域上构造适当的比较函数,将Filippov定理推广到更一般的非线性系统（y）-F（x）,h（x,y）-g（x）.     

方程(dx)/(dt)=(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)极限环的存在性

本文运用变换,首先将具有伸向无穷远负半轨的条件推广到本文所研究的方程上,然后证明了几个极限环的存在性定理,推广了 li(?)nard 方程的相应结果。首先设方程组     

椭圆曲线y~2=(x-6)(x~2+6x+19)的正整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=(x-6)(x~2+6x+19)无正整数点.     

方程(dy)/(dx)=(sumq_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)/(sum p_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅵ):Ⅰ类方程的极限环

继【2],考察最一般的I类方程注劣.,二,二,_,、d,_,—~一y十心x十lx’十xy十n犷~尸Lx,夕),一~x~夕气x,y)‘dt----一dt一在其中不”‘+·>0,方程(‘,有两个有限远奇点:“(0,。,为焦点,“(”,劲(l)为鞍点,由旋转向量场的理论[a.4]得知,当d由。变为负值时,0由不稳定焦点变为稳定,在它附近产生一个不稳定极限环,且随d减小而单调地扩大.〔l]首先证明了:当l~o时,此极限环最后遇鞍点N而消失.在这一过程,没有其它极限环产生.【2」则证明了。~0或l一41,一。时极限环的唯一性.本文将证明,当,)21>0,l,)丝时,(l)的极 l6限环最多也只有一个.与此同时,还…     

关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=10y(y+1)(y+2)(y+3)

通过利用pell方程、递归序列、平方剩余、Legendre符号、同余关系等初等证明方法,并利用Mathematica软件对Legendre符号等进行计算,证明了方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=10y(y+1)(y+2)(y+3)共有16组整数解,并且无正整数解.     

具有二次代数积分曲线的微分方程(dy)/(dx)=(■a_(ij)x~iy~j)/(■b_(ij)x~iy~j)=(Y_n(x,y))/(X_n(x,y))

有许多类型的微分方程,如果知道了它的某些特殊积分,就可以使它的形式简化;如果知道了足够多的积分,甚至可以把它的形式完全确定下来.这类工作对微分方程的求解或定性研究,都起着一定作用.这工作本身也有一定的理论意义.本文就型为     

关于∫_0~1(ln(1+x)/(1+x~2))dx计算的历史注记

我们在数学分析或高等数学课本中常常遇到定积分∫10ln( 1 +x)1 +x2 dx ,所用方法是将其转化为含参变量积分∫10ln( 1 +αx)1 +x2 dx .美国数学家和数学史家 M·克莱因说得好 ,学生在课堂上遇到的困难 ,历史上的数学家也同样会遇到 [1] .而今天 ,这个定积分的历史已经鲜为人知 .本文对此作一考察 ,以供教学参考 .1　 1 8世纪的积分技术1 8世纪 ,数学家们所用基本积分技术是将被积函数展开成无穷幂级数 ,然后逐项积分 ,但并不考虑幂级数的收敛与一致收敛性 .瑞士大数学家欧拉 ( L.Euler,1 70 7-1 783 )就是利用这样的技术获得自然数平方倒…     

Sur l'intégration de l'équationdz=f(x,y, z)dx+g(x,y, z)dy

Résumé On étudie le système (2), f et g satisfaisant certaines conditions analogues à celles de Carathéodory pour les équations différentielles ordinaires et on énonce des conditions suffisantes pour que ce système admette une intégrale et, de même, des conditions suffisantes pour que l'équation (13) admette une intégrale. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

微分方程dy/dx=(ax~2+bxy+cy~2+ф(x,y))/(ex+fy+ф(x,y))(当ф=ψ=0时分子分母不可约分)在原点的邻域内的积分曲线的拓扑形状

牡势微分方程 dy_a沪+bx万+c沪十脚(x,万) d劣ex十f万+必(x,万)我俩毅势(犷,川及功(劣,川满足下列倏件 lim里业2卫2一=lim止丛三兰卫上=o 井洲‘},+!衅抓刹‘!+1纠微分方程(l)的筒化方程是 d万_a沪+bx对+c护 d劣e劣+fy而舆(i)等偎的微分方程粗是(l)l’)粤一。:+f,+州气妇〕a‘冬擎一。沪+bx,+。护+州,,,),!“艺(2)其特微行列式是 }e一几f}△=}卜侧“一劝=0 }0一又1故特微根是又,=e,又:=0. 按照李亚捕洛夫的稳定性理箫,赏e>0特由微分方程粗(2)所榷定的湮勤是不稳定的,而富召或O待莲勤的稳定性阴题简待莲一步分析.我们现在的工作是不满足敖野…     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上