2005年北京市中学生数学竞赛高一年级试题

一、选择题(满分25分,每小题只有一个正确答案,答对得5分)1.如果S={1,2,3,4,5),M={1,3,4},N={2,4,5},那么(瘙(?)sM)∩(瘙(?)sN)等于().(A)(?)(B){1,3}(C){4}(D){2,5}2.已知a,b都是整数,命题甲:a+b不是偶数,则a,b都不是偶数;命题乙:a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.则().     

勾股三角形的内(傍)切圆的性质(续完)

事实上,2r=a+b-c只需证明a+b-c是偶数即可.当a,b,c,全为偶数时,a+b-c仍为偶数;当a,b,c中有两为奇数时,则由奇数与偶数之和是奇数,两奇数与奇数之差为偶数,得出     

初一数学竞赛训练题(五)

一、选择题 1.若abC>0,则|a|/a |b|/b |c|/c-|abc|/abc的值为( ) (A)2 (B)-2 (C)±2 (D)以上都不对 2.已知n是偶数,m是奇数,方程组:是整数、那么( ) (A)P、q都是偶数 (B)p、q都是奇数 (C)p是奇数,q是偶数 (D)p是偶数,q是奇数 3.设a、b都是整数。 (1)若a 5b是偶数,则a-3b也是偶数 (2)若a b能被3整除,则a、b都能被3整除     

二项式展开式迭加的应用

将二项式(a b)~n和(a-b)~n展开后“迭加”,可得 (a b)~n (a-b)~n =2(C_n~0a~n C_n~2a~(n-2)b~2 C_n~4a~(n-4)b~4 …)此式有以下特点: 1 右边字母b的指数为偶数; 2 n为偶数时,右边a、b的指数都是偶数:     

互为逆否不等价

在课本上“点的轨迹”一节里,有这样一个结论:两个互为逆否的命题是等价命题。然而这里有一个反例: 原命题,若a=0,b=0。则a b=0;逆否命。题:若a 6≠0,则a≠6,b≠0。我们分析a b≠0,则a有可能为0或b有可能为0,当然并不是a,b同时为0.所以上述逆否命题是假命题,而它的原命题却又是真命题。这样,上例即说明了互为逆否命题不一定等价。     

线性组合筛法

筛法开始于Eratosthenes(公元前三世纪),当时用来造素数表。直接用这个方法在理论上得不到什么结果,所以在长时期中不为数学家们所注意。1920年挪威数学家V.Brun对Eratosthenes筛法作了极其重要的改进,从而证明了(9.9),这里和今后我们用(a,b)表示命题:任一充分大的偶数皆可表为不超过a个素数的乘积与不超过b个素数的乘积之和,所以命题(1.1)基本上就是Goldbach猜想。     

Lucas序列中的平方类

设Un(a,b)与Vn(a,b)表示参数为a和b的Lucas序列,我们找出了α为偶数, b=±1的Lucas序列的所有非平凡的平方类．     

一类易错的命题构造问题

问题 原命题p:“若√a＞√b,则a＞b”.写出命题p的逆命题,否命题及逆否命题. 这是一道测试题,测试的结果是,年级400名左右的学生几乎都得出如下答案. 逆命题:“若a＞b,则√a＞√b”. 否命题:“若√a≤√b,则a≤b”. 逆否命题:“若a≤b,则√a≤√b”.教师也大都认同以上答案.参考答案也是如此.然而仔细想一想就会发现问题.     

C_n~k的奇偶性規律

(一) 奇偶性判别法则为方便起见,若两个非负整数a,b的奇偶性相同,即都是奇数或都是偶数,则记为a～b。显然,这个关系式是一个等价关系,即 (ⅰ) a～a。 (ⅱ) 若a～b,则b～a。 (ⅲ) 若a～b,b～c,则a～c。不仅如此,还有结论: (ⅳ) 若a～b,c～d,贝a+c～b+d。 (ⅴ) a～0表示a为偶数,a～1表示a为奇数。本文主要是给出下面的判别法则: 法则.给定非负整数n,k(0≤k≤n),则C_n~k的奇偶性由以下的方法而定(约定C_0~0=1): 先将数n+1表成二进位形式,即求出非负整数     

关于一个不等式命题

本刊文 [1 ]给出了如下命题 :设 a、b、c∈ R ,n∈ N,则　 anb c bnc a cna b≥ (a b c) n-12 .3n-2 . (1 )但是 ,原文中对此命题的证明是不正确的 .这里 ,我们简捷地证明一个较上述命题更为深刻的结论 .定理　设 a、b、c∈ R ,n≥ 1 ,则　　　 anb c bnc a cna b　　≥     

一个不等式的拓广

文 [1],[2 ]均对不等式“已知 :a >0 ,b >0 ,a3 +b3 =2 ,则a +b≤ 2”作出了一系列的讨论 .本文将给出该不等式的两个拓广 ,并由此证明了文 [2 ]末给出的猜想命题 1　若an +bn=2 ,a ,b∈R ,n≥ 2且n∈N ,则a +b≤ 2 ,ab≤ 1.上述命题为原不等式在指数上的推广 ,即文 [2 ]中猜想 1.证　 1)当a >0 ,b >0时 ,∵an+bn≥ 2anbn ,∴ 2anbn ≤ 2 ,即anbn≤ 1.∴ab≤ 1.又an+1+… +1n -1个 1+bn+1+… +1n -1个 1≥n nan +n·nbn,即na +nb≤ 2 +2 (n - 1) ,∴a +b≤ 2 .2 )若a <0 ,b <0 ,由题设n必为偶数 .此时 ,an+bn=(-a) n+(-b) n=2 .由 1)知 :(-…     

数学奥林匹克问题选登

1.92年8月号问颐解答 (娜答由问厄提供人给出) ”.解今假定欲求数组已找出,a,b,c即是满足除了。相似文献   

七、空间图形的有关计算与论证

一、选择题 1.在空间中,若命题“a⊥b,b∥c’则a⊥c”成立,那么字母a,b,c分别表示( )。 (A)a,b各表示直线,c表示平面 (B)a,b各表示平面,c表示直线 (C)a,b,c都表示直线 (D)a,c各表示平面,b表示直线 2.下列命题中正确的是( )。     

“逆证法”质疑

证明任何一个数学命题,都应要求论证方法本身合理正确。就是说,论证方法本身不能违背逻辑规则。最近,我们对中学数学课本中出现的所谓“逆证法”作了一些探讨。现提出一些看法,以期引起大家共同研究。为了说清问题,我们把中学数学课本中有关的一段转录如下: “证明不等式也可以用逆证法,就是先假定这个不等式(原命题)成立,逐步推出一个已知的不等式(真命题),如果推理的每一步都可逆,那么就可以断定所给的不等式(原命题)成立。例3 已知a,b,m都是正数,并且 aa/b 证明假定a+m/b+m>a+b成立,两边都乘以正数     

等差数列的一个有趣性质

命题设a,b,d∈N ,且(d,b)=1,则首项为a,公差为d的等差数列中一定有无穷多项是b的自然数次幂.     

原命题与逆否命题"不"一定等价

原命题:若a>6,则 (?)a >(?)b . 显然原命题为假. 逆否命题:若(?)a≯(?)b,则a≯b. 因为:“不大于”就是“小于等于”,所以这个逆否命题可变形为:若(?)a≤(?)b,则a≤b,内容正确,即逆否命题为真.     

图有[a,b]因子的邻域条件

不含有图K1，R的图称为K1,r-free图，设G是一个具有顶点集V（G）的图，设n(≥3),a和b是整数，使得b≥a≥1，若b是奇数，设b≥n-1。我们证明了每个连通的K1,r-free图G在b|V(G)|为偶数，它的最小度至少是a n-1,|V(G）≥ （2(a b)-1)(a b-1)/b，以及|NG(x）∪NG（y)|≥a|V(G)|a b对V的任意两个不邻接的点x和y都成立时，G有一个[a,b]因子。     

关于命题真假的选择题

判断甲组命题中,分别属于乙的哪一类型。(甲)命题(1)直线 a 在平面α内的射影为直线 b,若 c⊥b,则 c⊥a.(2)若 a+b≥2(ab)~(1/2),则 a∈R~+,b∈R~+.     

双向分式不等式的一种简单解法

设实数a〈b,我们有以下命题： 命题 不等式 a〈f（x）/g（x）〈b ① 等价于不等式 [f（x）-ag（x）][f（x）-bg（x）]〈0 ②     

对一道不等式的推广及证明

命题若a,b均为正数,且a+b=1,则(a+1/a)2+(b+a/b)2≥25/2.