对“纠正正、反函数图象问题上的一种看法”的一点补充

“纠正正、反函数图象问题上的一种看法”(《数学通报》1983年第4期)一文中所提出的各观点,本人都赞成,只是对该文的一段叙述有些补充,提出与该文作者及老师们交流有不妥     

纠正对反函数图象的一种错误认识

如果两个函数互为反函数，那么这两个函数的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．因此，一些人认为若这两个函数的图象有交点，则交点必在直线ｙ＝ｘ上，在一些影响较广的中学数学辅导资料上甚至做为一条“性质”列出并用于解题，如［１］．实际上这是一种错误认识．产生错误的原因是...     

函数图象的概念和反函数的图象

长期以来,关于函数、反函数的图象概念有一种相当流行的看法:认为x=f~(-1)(y)的图象和原来的函数y=f(x)的图象重合或相同,并认为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的原因,只不过是在函数x=f~(-1)(y)'中将字母x与y互换的结果。这类看法同关于函数及其图象的基本理论是相抵触的,它混淆了函数的图象和方程的曲线之间的实质区别,因而对函数概念的教学产生有害的影响。虽然《数学通报》早在1983年第4期就发表过文章,对以上错误观点提出了异议,但似乎并未能切中要害,因而没有引起足够的注意。现在这类错误观点反而得     

函数图象与其反函数图象对称的浅显证法

1　课本内容安排上的弊病体现反函数图象之特点有定理　函数y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称.这是现行高中《代数》上册中有关反函数的一个重要定理.其证明是基于两点的距离公式P1P2=(x2-x1)2 (y2-y1)2,其中(x1,y1)(x2,y2)分别是点P1、P2的坐标.设M(a,b)是y=f(x)上的任一点,则M′(b,a)便是y=f-1(x)之图象上的一点.这时,利用上述距离公式可证:对y=x上任一点P(c,c),都有PM=(a-c)2 (b-c)2=(b-c)2 (a-c)2=PM′.于是,由P是y=x上任一点,可知M、M′关于直线y=x对称(图1).因M是y=f(x)图象上的任一点,故知y=f(x)的图象与y=f-1(x…     

反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…     

反函数导数的一种几何解释

设函数y=f(x)的反函数存在,且f′(x)≠0,则其反函数x=f-1(y)(或记x=φ(y),此处φ=f-1)的导数也存在.在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线,如下图.     

纠正一种错误认识

纠正一种错误认识张圣官（江苏省姜堰中学２２５５００）关于指数函数ｙ＝ａｘ的图象与直线ｙ＝ｘ的位置关系问题，当０＜ａ＜１时毫无疑问是相交且只有一个交点．然而当ａ＞１时情况又如何呢？有一种观点认为函数ｙ＝ａｘ（ａ＞１）的图象恒在直线ｙ＝ｘ的上方．近十年来...     

互为反函数的函数图象间的关系定理的又一证明

高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法.     

表明正函数和反函数的仪器

为了从正函数的圖象中,得到反函数的几何圖形(在座标軸的正常情况下),可以使平面XOY繞第一和第三座标角的二等分線轉动180°(圖工和圖2).     

论函数与其反函数的图象的公共点

我们知道 ,单调函数都存在反函数 ,且反函数与原函数具有相同的增减性 ;互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,但是它们的图象不一定有公共点 ,如函数ｙ =2 ｘ 与ｙ =ｌｏｇ2 ｘ的图象就没有公共点 .如果互为反函数的两个函数的图象有公共点 ,那么公共点是否一定在直线 ｙ =ｘ上呢 ?例 1　求下列函数的反函数 ,以及原函数与其反函数的图象的公共点 .1) ｆ(ｘ) =ｘ3 ;( 2 ) ｇ(ｘ) =-ｘ3.解　 1)由 ｙ =ｘ3,得ｘ =3 ｙ.因此函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 的反函数为 ｆ-1 (ｘ) =3 ｘ .解方程组 ｙ =ｘ3,ｙ =3 ｘ .消去ｙ ,得 :ｘ3 =3 ｘ .两边…     

关于反函数的不定积分的一种简便求法

反函数的不定积分比较困难,尤其当被积函数的次数较高时。计算很麻烦．利用分部积分法和换元积分法可以推导出关于反函数的不定积分的一种简便求法,使得被积函数的次数降低,运算简化．实例说明这种方法是可行的．     

论互为反函数的函数图象交点在直线y＝x上的是与非

论互为反函数的函数图象交点在直线ｙ＝ｘ上的是与非廖辉（四川省遂宁市川北教育学院６２９０００）在反函数的学习中，“互为反函数的两函数图象如果有交点，那么交点在直线ｙ＝ｘ上”，这一命题为许多学生注意到．有的学生，甚至在一些杂志的文章中对其毫无置疑地加以应...     

关于反函数的一个问题

关于反函数的一个问题凌锦华（广东执信中学）本文是在中学教材中关于“函数”的定义未涉及多值函数的情况下展开讨论的．利用求一个函数的反函数的定义域来求这个函数的值域的方法在一些参考书中常可见到．那么此法就一般而言是否可用？什么情形下可用？这是本文要讨论的...     

关于反函数问题的解法

近年高考试题把函数知识、函数的思想和函数的方法作为重点内容．“反函数”作为函数的一部分，在高考中也不乏出现．如何顺利地求解高考中的反函数问题，笔者在此谈一点体会．解反函数问题的关键在于从本质上理解反函数的意义．中学代数课本中给出的反函数的意义，仅就由代数式给出的函数来形式地定义，这个定义没有反映出反函数概念的本质属性．按此定义，不能深刻理解反函数的本质，因而造成教学上的难点．在高考总复习中，因学生已具备相当的数学水平，可向学生揭示反函数的本质属性：设记号y＝f（x）表示y是x的函数，定义域为集A，值…     

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

互为反函数图像的交点问题

<正>我们已经熟知"函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f^(-1)(x)图像的交点,一定在直线y=x上.我们举两个反例加以阐释.     

有关反函数的若干问题释疑

张忠旺老师的稿件《有关反函数的若干问题释疑》(2012年1月来稿)和祁正红老师的稿件《互为反函数的图象交点一定在直线y=x上吗?》(2011年12月来稿)都是讨论反函数问题,两篇稿件各有特色,但内容存在重复之处,故将两篇稿件合并修改后刊出,特此说明.     

运输问题的一种图上解法

把运输问题转化成图的问题，给出了求解运输问题的一种图上算法。通过实例，验证了这是一个有效，可行的方法。     

对加权思想一种错误理解的纠正

<正>数据分析是数学的重要素养之一,通过中学数学学习,学生需要形成搜集、整理和分析数据并根据结论进行有效决策的能力.近年来,高考也加大了对数据分析的考查,其中"加权"思想在解题过程中发挥了积极重要的作用.在教学过程中,笔者发现学生对于"加权"思想的一种错误理解,本文将通过构造反例的方式来