Die Stellentopologie projektiver Ebenen und Lenz-topologische Ebenen

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Die diskrepanz von differenzenfolgen im p-adischen

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Semiaffine Ebenen

Ohne ZusammenfassungMeinem LehrerReinhold Baer zum 60. Geburtstag am 22. Juli 1962     

Halbordnungstopologien in Projektiven Ebenen

The order topology of an ordered projective plane leads to a topological projective plane in which intersection and joining are continuous operations (c.f. O.WYLER [5]).Here continuity properties in projective planes with half order topology derived from a SPERNER'sche Ordnungsfunktion are analysed. Central projections are continuous and planes which are connected with respect to the half order topology are (fully) ordered and therefore topological planes.

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Herrn Prof. Dr. WERNER BURAU zum 70. Geburtstag     

Lotketten in metrischen Ebenen

In [3] F. Bachmann defined chains of perpendiculars for a geometric structure which is endowed with a set of lines and a symmetric orthogonality relation on this set, and he studied these chains in the group plane of a Hjelmslev group. All Bachmann groups (the groups which are the main subject of [1]) are Hjelmslev groups, and the theory of Hjelmslev groups includes also Hjelmlev's theory of Allgemeine Kongruenzlehre. In a Hjelmslev group, the chains of perpendiculars are closely related to the subgroup which is generated by the points. In this paper we establish some results concerning chains of perpendiculars mainly with regard to Bachmann groups.     

Kegelschnitte in desarguesschen Ebenen

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Topologische projektive Ebenen

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Archimedisierung absoluter Ebenen

In a nonarchimedean absolute plane let an origin o and a unit of distance [o, e] be given. By omitting those points which are infinitely distant to o relative to [o, e] and by identifying those of the resting points which are infinitely close together relative to [o, e], we get an archimedean absolute plane if certain two conditions are fulfilled. In the euclidean and in the hyperbolic case this geometric procedure corresponds to the well-known algebraic one in the underlying coordinate field.     

Vierdimensionale Stabile Ebenen

Zusammenfassung Eine Stabile Ebene ist eine stetige Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmten Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der das Stabilitätsaxiom gilt: Besitzt ein Geradenpaar einen Schnittpunkt, so existiert der Durchschnitt auch für jedes genügend nah benachbarte Paar. Stabile Ebenen wurden bislang nur unter der Voraussetzung untersucht, daß der Punktraum eine Fläche ist (ebene Ebenen). Hier wird allgemeiner vorausgesetzt, daß der Punktraum lokalkompakt und von positiver Dimension ist. Es wird bewiesen, daß der Punktraum metrisierbar, lokal bogenzusammenhängend und lokal kontrahierbar ist. Das Büschel aller Geraden durch einen Punkt ist kompakt und zusammenhängend. Falls die Geraden Mannigfaltigkeiten sind, so sind die Büschel Sphären der Dimension 1, 2, 4 oder 8. Ist die Dimension der Punktmenge höchstens 4, so sind die Geraden stets Mannigfaltigkeiten. Eine stabile Ebene ist genau dann projektiv, wenn der Punktraum kompakt ist. Die Automorphismengruppe einer stabilen Ebene ist in der kompakt-offenen Topologie lokalkompakt; sie ist eine Liegruppe, falls der Punktraum R ⁴ ist.Unter der Voraussetzung, daß alle Geraden zu R ² homöomorph sind, werden folgende Aussagen bewiesen: Die Gruppe aller Kollineationen mit einem festen Zentrum wirkt frei und mit abgeschlossenen Bahnen auf dem Komplement des Zentrums; ist sie nicht kompakt, so gibt es durch das Zentrum genau eine Nichtschneidende zu jeder Geraden außerhalb. Involutorische Automorphismen sind entweder Punkt- oder Geradenspiegelungen, oder sie besitzen eine zweidimensionale Unterebene von Fixpunkten (Baer-Involutionen). An jedem Punkt und jeder Geraden gibt es höchstens eine Spiegelung. Die Dimension der Automorphismengruppe ist höchstens 12; ist sie größer als 9, so ist die Ebene affin und desarguessch. Andererseits gibt es eine nicht-affine Ebene mit 9-dimensionaler Gruppe. Fahnenhomogene Ebenen sind genau die desarguessche affine Ebene und die komplexe hyperbolische Ebene, das heißt die offene Einheitskugel der affinen Ebene mit der induzierten Struktur.     

Angeordnete projektive Ebenen

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Ebenen mit Kongruenz

Euclidean planes are characterized as affine planes with a congruence relation on the set of the pairs of points. Furthermore we study the consequences of the congruence axioms for other incidence structures e.g. finite or half ordered ones, and discuss the question when the 3-reflection theorem is valid.

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Herrn Professor Adriano Barlotti zum 60. Geburtstag     

Kompakte vier-dimensionale Ebenen

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Vierdimensionale affine Ebenen

Ohne ZusammenfassungHerrn Pofessor Dr.Reinhold Baer zu seinem 70. Geburtstag am 22.7.1972 in Dankbarkeit gewidmet