谈谈“倒数变换”的一个有趣作用

有些不等式证明题,当直接证较困难时,可试着对其变量作“倒数变换”,看新命题是否易证．用此法常可使一些不等式证得自然、简捷．下面举例说明．例１已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２＋ａ２ｂ２ａ＋ｂ＋ｃ≥ａｂｃ这是高中代数下册中的一个习题,它是和均...     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

一个有趣的结论

1　问题的提出 :1 995年文科第 2 6题如下 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x =1 2 ,P是l上一点 ,射线OP交椭圆于点R ,又点Q在OP上且满足｜OQ｜·｜OP｜=｜OR｜2 .当点在l上移动时 ,求点Q的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么曲线 .其答案是 :Q的轨迹方程为(x -1 ) 2 +y223=1 (其中x ,y不同时为 0 ) .从上面答案我们也许看不出什么有趣的东西 ,但将上面答案展开得 :x22 4+y21 6=x1 2 ,并对比已知条件中两条曲线的方程就不能不引起一个对数学问题感兴趣的人的思考了 .无独有偶的是 1 995年高考理科第 2 6题 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x1 …     

一个有趣的猜测

吕学礼主编《名师导学　高中数学精解　上册》Ｐ3 83 ,巧妙地解答了下一问题 :不查表求　ｃｏｓπ1 3 +ｃｏｓ3π1 3 +ｃｏｓ9π1 3 的值 .同时还获得了一伴生的结果 :ｃｏｓ5π1 3 +ｃｏｓ7π1 3+ｃｏｓ1 1π1 3 =1 -1 34.也许还有一系列这样的问题 .事实上 ,前述结果仅仅是下式ｃｏｓ π1 3 +ｃｏｓ3π1 3 +ｃｏｓ5π1 3 +ｃｏｓ7π1 3 +ｃｏｓ9π1 3 +ｃｏｓ1 1π1 3 =12 的一个拆分 .一般地 ,对∑2ｎｋ =1ｃｏｓ2ｋ-14ｎ+1 π =12 ( )作怎样的拆分可望得到一般结论呢 ?要回答这个问题 ,似乎并不容易 .限于水平 ,没能找到更简捷的办法 ,…     

一个有趣的不等式

苏联А·Б瓦西列夫斯基著《数学解题教学法》中有一道有趣的不等式: 证明:(3+3~(1/3))~(1/3)+(3-(3~(1/3))~(1/3)<2(3~(1/3)) 对于这种类型的不等式,常用两边多次自乘的办法,将其转化为有理不等式,但计算之繁冗,是不难想像的。该书的作者利用表格求出不等式两边的近似值(左边为过剩近似值,右边为不足近似值)分别取精确到1、0.1、0.01、…直到判定原不等式成立为止来进行证明。     

一个有趣的发现

一次偶然的机会 ,笔者发现两个小朋友甲和乙在玩儿一种扑克牌游戏 .每人手中都有一副扑克牌 (不含大、小王 ,共 5 2张 ) ,但两副扑克牌的顺序不一样 .游戏的规则是 :将一副扑克牌的上下两张同时抽出 ,如果这两张扑克牌点数相同 (例如 ,红桃 8和梅花 8的点数相同 ) ,就把它们甩在一边 ,下一轮不再使用 ,如果抽出的两张扑克牌点数不同 ,就把它们按着原来的上下顺序放在另一个位置重新摞好 ;再抽取第二对扑克牌 ,如果第二对扑克牌的点数相同 ,则把它们也甩在一边 ,下一轮不再使用 ,如果第二对扑克牌点数不同 ,则按着原来的上下顺序 ,放在第一对…     

一个有趣的数列

奇数列 1,3,5,7,9,… (I)是大家熟悉的。如果每次从数列(I)的首项开始,依次取其2~0、2~1、2~2、2~3、…项,并按照原来的顺序排列起来,我们就得到了一个新的数列     

一个有趣的不等式

<正> 在数学中不等式的应用是很重要的。在本文中,我们对Hardy不等式作了有趣的推广。     

一个有趣的不等式

利用凸函数的性质,证明了一个不等式     

一个有趣的猜想

一个自然数 ,若它是不能被 3整除的偶数 ,把它的各位数字之和平方后得另一数 .所得之数若为偶数 ,把它的各位数字之和平方 ;若为奇数 ,把它的各位数字之和立方 ,这样经有限步的运算 ,最终必得 1!如 :872① 8+7+2 =17　　　　 172 =2 89奇② 2 +8+9=19193=685 9奇③ 6+8+5 +9=2 82 83=2 195 2偶④ 2 +1+9+5 +2 =19192 =3 61奇⑤ 3 +6+1=10 10 3=10 0 0偶⑥ 1+0 +0 +0 =112 =1共 6步 .又如 :2 5 2 64① 2 +5 +2 +6+4 =19192 =3 61奇② 3 +6+1=10 10 3=10 0 0偶③ 1+0 +0 +0 =112 =1.共 3步 .经有限个数的验算 ,上述猜想成立 .不知如何证明 ?或…     

一个有趣的发现

一个偶然的机会,我发现了连续自然数n次方之间的一个小规律．这是一天的傍晚,我顺手拿起笔,随便写了几个数．当我写到几个连续自然数的n次方的时候,我想:它门之间会不会有什么关系呢?说干就干,我拿出一张新纸．做法如下: 12=1、22=4、32=9、42=16、52=25、62=36．我把1、4、9、16、25、36作为一组数依     

一个有趣的应用题

在现实生活中,人们常用一块矩形木板紧靠一个墙角围成一个直三棱柱空间来堆放东西．由于忽视墙角的大小与木板的放法,所以随意而围效果不佳．这个多变量的最值问题,值得认真研究．     

一个有趣的发现

在100以内的两位数中,末位为1的数有: 11,21,31,41,51,61,71,81,91共九个,其中21,51,81为合数．注意到合数21和81有如下写法:21=21×10 1,81=23×10 1,由此联想提出问题:形如an=22n 1×10 1(n∈N)的数是否也是合数呢?     

调和级数的一个有趣性质

对于调和级数sum from n=1 to ∞(1/n),它是一个发散的无穷级数,但笔者对其稍作变形,发现它有一个很有趣的性质.即性质:调和级数sum from n=1 to ∞(1/n),如果在调和级数中删去分母中含有数字1,2,3,…9 中任一个的所有项,则所得无穷级数将都收敛,且其和小于30.     

圆锥曲线的一个有趣性质

笔者最近探得了圆锥曲线的一个有趣性质，以椭圆为例介绍如下．     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.     

一个恒等式的有趣应用

<正>a³+b3+b³+c3+c³-3abc=(a+b+c)(a3-3abc=(a+b+c)(a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca),这里不妨将其记为(*),这是一个对称、和谐又十分优美的恒等式.事实上,只要把它的右边展开,即得左边,下面,我们来看它在有关解题中的有趣应用.例1(五羊杯赛题)实数a,b满足a2-ab-bc-ca),这里不妨将其记为(*),这是一个对称、和谐又十分优美的恒等式.事实上,只要把它的右边展开,即得左边,下面,我们来看它在有关解题中的有趣应用.例1(五羊杯赛题)实数a,b满足a³+b3+b³+3ab=1,则a+b的值为______.解从条件式可得a3+3ab=1,则a+b的值为______.解从条件式可得a³+b3+b³+(-1)3+(-1)³-3ab