解分式方程问题中的转化思想应用例析

G·波利亚曾说过,解题的成功要靠正确的转化.原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答"解题意味着什么?"时说:"解题--就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题."因此,说到底数学解题过程实际就是转化的过程,也就是将所要解决的问题转化为已经熟悉或容易解决的问题的过程,通过对条件的转化,结论的转化,使问题化繁为简,化难为易,化生为熟,最终求得问题的解决,这就是数学中的转化思想,是解数学问题的一种最基本最重要的数学思想方法.本文拟举近     

转化策略分析

转化就是在解题过程中,用一种新形式代替原来的形式为解题创造条件的过程,称为转化.常见的转化目标有:化生为熟、化难为易、化复杂为简单、化抽象为直观等等.那么我们怎样进行转化呢?     

设想法解题的实质、思维原则及常见形式

解题的过程就是不断将未知转化为已知的过程。设想法就是实现这种转化的重要手段之一.它的策略思想是:对于一些较为复杂、繁难(甚至看起来无从下手)的问题,作出多样设想,使解题过程简捷而明确. 关于设想法的介绍,屡见于中学生读物及     

用面积法解题

用面积法解题就是根据题目给出的条件,利用等积变换原理有和关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题.所谓高效解题就是转化的环节少一些,不走弯路.有时我们选用面积法将问题转化,就能恰到好处地达到这一目的.     

“分式法”妙解整式问题

化分式为整式是中学数学中常见的解题思路和解题习惯,本文介绍一种与此相逆的解题方法——化整式为分式,不妨称之为分式法.应用分式法解题就是:对于有些整式问题,首先设法将其转化为分式形式,然后在分     

化归

所谓“化归” ,是指把要解决的问题 ,通过某种转化过程 ,归结到一类已经解决或者能比较容易解决的问题中去 ,最终获得原问题解答的一种解题策略 .化归从某种意义上来说是“化简” .前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在回答什么是解题时说 :“解题就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题” .就是指化归 .化归就是把复杂问题化为简单问题 ;把陌生的问题化为熟悉的问题 ;将一个问题转化为另一个问题 ;将一种形式转化为另一种形式等等 .下面我们通过具体的例子来说明这种解题策略的运用 .例 1　设Ｐ是三角形ＡＢＣ内部的一个点 ,Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别是…     

转化思想在初中数学解题中的应用

在初中数学解题中,转化思想是一种重要的数学思维.解题中常见的转化方式有:直接转化、降次转化、换元转化与数形转化.在教学中,教师应注重转化的原则和提问方式,适时渗透转化思想,以帮助学生在解题时恰当运用转化方式.     

不可忽视的两个直觉错误

“直觉”就是领悟 ,就是洞察 .有学者认为 :直觉思维是一种直接反映对象、结构以及关系的心智活动 ,是以想象和判断迅速交替进行的一种思维 .在数学学习活动中 ,直觉思维对数学解题的作用是不言而喻的 ,尤其在客观题 (选择题、填空题 )的解题中 ,教师常常将它作为一种解题策略教给学生 .但由于其思维的不成熟、不全面性 ,加之缺少严密的逻辑推理而往往造成解题错误 .例 1　已知圆锥的母线长为l,底面圆的半径为R ,若通过圆锥顶点的截面积的最大值为 l22 ,则 Rl 应满足的关系是 (　　 )(A) Rl =22 .　　 (B) Rl ≤ 22 .(C) Rl >22 .　　 (…     

复数代换法的应用

<正>"解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒."(美国数学家G·波利亚)解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程.而"复数代换法"则是实现这种转化的重要手段之一.它的策略思想是:根据题目的结构特征,引进复数代换,利用复数知识解题的一种方法.用这种方法解某些数学题,往往能化繁为简,变难为易,得到简捷合理的解题途径.下面举例说明,供读者参考.     

精彩来自于不断探究与持续反思

看到一道几何高考试题,经探究可通过多种途径求解,其思想性和方法性极强,颇耐人寻味,原题是这样的:题目 (2007年四川理11)如图1,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长是A.2√3B.4√6/3C.3√17/4D.2√21/3解题分析本题的条件简单明了,题目的情境设置新颖别致,使很多考生望而生畏,难以下笔.该题要求考生能根据题目的条件和问题进行观察、分析、联想、探索、决策,计算边长易想到方程的思想,这样就可考虑用多种思路和方法求解,进行发散思维,摸索前进,从而达到解题的目的.     

解数学题要"眼观八方"

“借我借我一双慧眼吧 ,让我把这世界看得清清楚楚、明明白白、真真切切…”,动人的歌声 ,让每个人都深深地感到 ,具有敏锐的观察力在现实生活中是多么地重要 .同样地 ,敏锐的观察力在数学解题中也是不可或缺的 ,可以这样说 ,成功的解题需要“眼观八方”.1　观“动静”解题时需从不断变化的运动过程中 ,观察出相对静止不变的规律 ,从而方能“动中求静 ,以静制动”,导致解题的圆满成功 .例 1　已知圆 C:( x - 1 ) 2 ( y - 2 ) 2 =2 5,直线 l:( 2 m 1 ) x ( m 1 ) y =7m 4.( 1 )求证 :不论 m取什么值时 ,直线 l与圆C恒相交 .( 2 )…     

谈解析几何解题中的思维训练

在平面解析几何教学中,就可以循着问题的构造性解法发展为非构造性解法的过程,有计划地、分阶段地完成平面解析几何教学所承担的思维训练任务.一、构造性解法的特征:1.直观性.构造性解法具有直观背景,以作图步骤为依托.例如:平面解析几何课本在推导点P到直线l的距离公式时,就首先提出了一个构造性解题方法:求出过点P,垂直于线l的直线l′的方程,解出垂足Q的坐标,算出距离PQ.这个解题方案是和作出点P到直线l的距离d的作图步骤相吻合的.2.综合性.构造性解法较多地使用了从已知到未知的综合法的思维路线.例1已知直线l:ax+by+c=0及直线l的外两…     

平面几何解题失误例析

学生在解题过程中出现这样那样的错误是难免的 ,也是正常的 .作为教师应通过学生的错误及时分析错误的原因 ,特别是对那些普遍性的又不易发现的解题错误 ,更应列入备课内容 ,本文就平面几何常见解题失误分析如下 .一、概念不清致误例 1　如果一直线上的两点到另一条直线的距离相等 ,那么这两条直线的关系怎样 ?误答 :因为一条直线上的两点到另一直线的距离相等 ,所以这两条直线平行 .分析 :误解源于对直线上的“两点”和“任意两点”混淆不清 ,如图 1 ,直线l1 ,l2 相交于O ,A、B是直线l1 上两点 ,且OA =OB ,那么A到直线l2 距离等于点B到…     

探寻解题途径的几点体会

懂得数学基础知识.不一定会解题(特别是综合题)。教会学生解题,既是我们教学的一种手段,又是我们教学的目的之一。形成学生解题能力高低的因素很多(诸如知识因素.智力因素、心理因素等),解题环节也不少(诸如审题、探寻解题途径、逻辑表述,检验与小结等),本文仅就如何探寻解题途径谈点粗浅体会. 探寻解题途径就是在全面、深入审题的基础上,抓住题目的特征,根据已知与未知之间相互依赖、制约的关系,利用类比、联想、分析、综合,归纳等数学方法,整理出解题思路。解题过程的实质就是不断地有目的地有效地转化矛盾而最终解决矛盾的过程。探寻解题思路是探寻转化矛盾的方法。     

数学解题的转化思想

数学解题的转化思想刘书清（山东德州教育学院２５３０１４）何谓解题？解题就是解决矛盾．解题的过程就是不断揭示矛盾的过程．数学充满着矛盾，矛盾转化是现实世界的普遍规律，利用转化的思想解决数学中的矛盾，乃是最基本最常用的思想和方法．在中学加强转化思想的教学...     

用面积法高效解题

用面积法解题是根据题目给出的条件,利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法.所谓高效解题是"走解题的直线距离",说白了,就是将转化的环节减少一些,少走弯路.     

数学解题的起步阶段——说题

说题,就是用不同的数学语言说清楚题目的已知条件,说清楚题目的解题目标和说清楚题目的解题过程.而一题多解,往往来源于对题目已知条件的不同数学语言理解的深刻性.数学学习,事实上就是数学语言的学习,就是数学的文字语言、符号语言和图形语言相转化的学习.当然,数学解题也离不开数学语     

平行转移法在立几解题中的应用

转化是解决问题的一种重要思想,所谓转化就是把某个待解决的问题或未解决的问题通过某种途径归结为某些已解决的或者容易解决的问题的方法.平移转化法是立体几何的一种重要思想方法技巧,在解题中有着广泛的应用,下面举例说明:     

数学解题的起步阶段——说题

说题,就是用不同的数学语言说清楚题目的已知条件,说清楚题目的解题目标和说清楚题目的解题过程.而一题多解,往往来源于对题目已知条件的不同数学语言理解的深刻性.数学学习,事实上就是数学语言的学习,就是数学的文字语言、符号语言和图形语言相转化的学习.当然,数学解题也离不开数学语     

挖掘“特殊性”妙解竞赛题

巧妙的解题思路,从具体问题来说,它来自问题的特殊性被得到彻底的揭示.因为只有揭示了问题的特殊性,才能得到未知向己知、生疏向熟悉、条件向结论的转化途径,而转化就是解题.数学问题的特殊性突出表现在“数值特征、结构关系、图像信息”三个方面,挖出它们是快速找到解题途径、巧妙解题的关键!下面举例说明. 一、挖“结构关系” 例1 以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C为半圆周上的点,有OC2=AC·BC.则∠CAB=(). 简析画图有两种可能,如图1、图2. OC2=AC·BC中,“AC·BC”视为 Rt△ABC