关于数列性质的探讨

一、等差数列根据等差数列的通项公式易得下面性质：性质１若数列｛ａｎ｝是等差数列，则ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝…＝ａｒ＋ａｎ－ｒ＋１＝…，即与两端等距离的两项之和均相等．性质２若数列｛ａｎ｝是等差数列，则当ｍ＋ｎ＝ｋ＋ｔ时（ｍ，ｎ，ｋ，ｔ∈Ｎ），有ａ...     

等比数列的一个性质

设｛ａｎ｝是以ｑ为公比的等比数列,其前ｎ项和为Ｓｎ,若１≤ｍ＜ｎ,则易知　Ｓｎ＝Ｓｍ＋ｑｍＳｎ－ｍ．（１）特别地,当ｍ＝１而ｎ＞１时,有　　　　　Ｓｎ＝ａ１＋ｑＳｎ－１．（２）这是等比数列的一个简单性质,容易推出其逆命题也成立．下面举两例说明（１）和（２）的应用．例１　设｛ａｎ｝为等比数列,公比为ｑ,前ｎ项和为Ｓｎ．（Ⅰ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ（常数）,则对任何ｉ＝１,２,…,２ｍ,有｜Ｓｉ｜≤（１＋｜ｑ｜ｍ）Ｍ．（Ⅱ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ且｜ｑ｜＜１,…     

高阶等比数列的划分

文［１］研究了（一阶）等比数列的高阶等差划分的问题,证明了等比数列的均匀划分仍为等比数列,一阶等差划分为３阶等比数列,并猜想ｋ阶等差划分为２ｋ＋１阶等比数列．本文证明：定理　ｓ阶等比数列的ｔ阶等差划分数列为ｓｔ＋ｓ＋ｔ阶等比数列．为了阅读方便,我们先简述一下有关概念．设｛ａｎ｝＝｛ａ（０）ｎ｝为任一数列（ａｎ≠０）．记ａ（１）ｎ＝ａ（０）ｎａ（０）ｎ＋１,…,ａ（ｓ）ｎ＝ａ（ｓ－１）ｎ＋１ａ（ｓ－１）ｎ,则｛ａ（ｓ）ｎ｝称为｛ａｎ｝的ｓ阶商数列．若ａ（ｓ）ｎ＝ｑ（非１常数）,对ｎ∈Ｎ均成立,则｛…     

求解“相关数列”的一种策略

求解“相关数列”的一种策略成都七中魏华数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ（ｎ∈Ｎ）组成的数列｛Ｓｎ｝与｛ａｎ｝称为一对相关的数列，它们的关系是：ａ１＝Ｓ１，ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１。研究这一对数列的相互关系是数列的常见问题之一。一般地，我们研究由关系式...     

对一道探索性问题的质疑

对一道探索性问题的质疑徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）张必华在［１］中对“已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝５６，ａｎ＋１＝１３ａｎ＋（１２）ｎ＋１（ｎ１），并且数列｛ａｎ＋１－１２ａｎ｝是公比为１３的等比数列，求通项ａｎ”的《问题》进行了探索，并指出...     

异曲同工——98年一道高考试题的另解及一道竞赛题

今年高考文科和理科的最后一道题可以采用构造数列,从而用放缩法来求解．文科题：已知数列｛ｂｎ｝的是等差数列,ｂ１＝１,ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂ１０＝１００．（Ⅰ）求数列｛ｂｎ｝的通项ｂｎ;（Ⅱ）设数列｛ａｎ｝的通项ａｎ＝ｌｇ（１＋１ｂｎ）,记Ｓｎ是数列｛ａｎ...     

等比数列不等比

等比数列不等比５１４５００广东兴宁田家炳中学李淮光数列｛ａｎ｝中，ａ１＝３，Ｓｎ＋１＋Ｓｎ＝２ａｎ＋１，则此数列是等比数列．．即数列｛ａｎ｝是等比数列．前面证明了｛ａｎ｝是等比数列，后面的验证却不成立，原因何在？附“诡辩”揭底：未注意到数列的首项情况...     

对等差数列两种“等价形式”的认识

对等差数列两种“等价形式”的认识候光林（河南平顶山市教委教研室４６７００１）贵刊９５年１１期《等差数列的若干等价形式》一文，给出了等差数列的“六种”等价形式，其中：“形式之五若数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ；则下列条件相互等价：（１）｛ａｎ｝是等差数列...     

等比数列的等差划分

本文着重对由等比数列划分出的数列的性质进行研究．１高阶等比数列记ｂｎ＝ａｎ＋１÷ａｎ,则｛ｂｎ｝称为数列｛ａｎ｝的一阶商数列,｛ｂｎ｝的一阶商数列称为｛ａｎ｝的二阶商数列等等,可定义｛ａｎ｝的ｋ阶商数列．如数列｛ａｎ｝的ｋ（ｋ∈Ｎ）阶商数列为非１的常...     

复合等差(比)数列的通项公式及其应用

我们看两类函数（１）｛ａｆ（ｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）（２）｛ｆ（ａｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）如果数列（１）、（２）是等差（比）数列,那么我们把它们称为复合等差（比）数列．于是,ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）＋（ｎ－１）ｄ或ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）ｑｎ－１．例１　数列｛ａｎ｝满足２Ｓ２ｎ＝２ａｎＳｎ－ａｎ（ｎ≥２）,ａ１＝２,求ａｎ及Ｓｎ．解　将ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥１）代入等式,得　　　　２ＳｎＳｎ－１＝Ｓｎ－１－Ｓｎ．因为ａ１＝２≠０,故Ｓｎ≠０,上式可变为１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２,∴　数列｛１Ｓｎ…     

一类数列问题的解答辩析

一类数列问题的解答辩析常绪珠王晓刚（湖北钟祥一中４３１９００）很多资料对一类求数列通项的问题的解答是错误的．现举一例，与大家共同商讨．例数列｛ａｎ｝满足２ａＳｎ＝ａｎ＋１，求通项ａｎ．解∵Ｓｎ＝ａｎ＋１，∴ａ１＝１．∵２Ｓ１＝ａｎ＋１，∴４Ｓｎ＝（ａ...     

递归数列与组合公式

递归数列与组合公式１０００５２北京师大附中初三数学班韩蕴哲已知二阶递归数列｛ｙｍ｝满足，且ｙ１＝１，ｙ２＝８，求证｛ｙｍ｝中没有形如３ｍ·５ｍ（ｍ、ｎ为正整数）的项．此题为数学班同余课例题，在单、余红兵合著《不定方程》一书上提及．证法为：对｛ｙｎ｝分...     

1993年日本的大学入学数学考试部分数列试题

１９９３年日本的大学入学数学考试部分数列试题吉林省公主岭市八中赵正奇，赵永春译一、（秋田大学２题２３页）今有一数列，由始项ａ１到第ｎ项ａｎ的和所以数列｛ａｎ｝的始项ａ＋ｂ，公差２ａ的等差数列（证毕）．关键：（ａｎ）为等差数列ｑ为常数）；ａｎ＝Ｓｎ－Ｓ...     

一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...     

星形函数族的一个子族的极值点与支撑点

设Ｆ（｛ｎ｝）＝｛ｆ（ｚ）：ｆ（ｚ）在｜ｚ｜＜１内解析，ｆ（ｚ）＝ｚ－∞ｎ＝１ａｎｚｎ，ａｎ≥０，＋∞ｎ＝２ｎａｎ≤１｝，则Ｆ（｛ｎ｝）是星形函数族的一个子族．许多学者研究了这个函数族．设Ｍ＝｛ｆ（ｚ）：ｆ（ｚ）在｜ｚ｜＜１内解析，ｆ（ｚ）＝ｚ－∞ｎ＝１ａｎｚｎ，ａｎ≥ａｎ＋１≥０，＋∞ｎ＝２ｎａｎ≤１｝．在本文中我们找出了函数族Ｍ的极值点与支撑点．     

一类数列通项问题的求解

一、问题的提出已知两等差数列｛５ｎ＋２｝和｛４ｍ＋１｝（ｍ，ｎ∈Ｎ）试求两数列中相同项组成的新数列的通项公式．在教学中发现，一些学生通过分析，采用归纳猜想的方法取有限项，猜出新数列仍是一等差数列，且它的公差是两已知数列公差的最小公倍数而得解．但问题是，新旧数列公差倍数关系这个结论只是猜想，缺乏必要的理论依据，这里，我们试用二元一次不定方程式求解公式先来探讨这一问题的一般情形．二、结论的导出设两等差数列为｛ａｍ＋ｂ｝和｛ｃｎ＋ｄ｝（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈ｚ）公差分别ａ和ｃ，其相同项组成的新数列为｛Ｘｎ｝…     

关于一个数列问题的完善和证明

命题设ａ１∈Ｎ＋，ａ１≠１０ｎ（ｎ＝０，１，２，…）．现构造数列｛ａｎ｝：ａｋ＋１是ａｋ的各位数字的平方和．如果存在Ｔ∈Ｎ＋，使得ａＴ＋１＝ａ１，则称ａ１是周期为Ｔ的“周期数”．证明：（１）周期数有且只有４，１６，３７，５８，８９，１４５，４２，２０...     

对一道高考试题的一点看法

对一道高考试题的一点看法４３００６２湖北大学数学系严启平１９９６年高考数学（文史类）试题第２１题及参考解答如下：设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓ３＋Ｓ６＝２Ｓ９，求数列的公比ｑ．解若ｑ＝ｌ，则有Ｓ３＝３ａ１，Ｓ６＝６ａ１，Ｓ９＝９ａ１．但ａ１...     

关于一类和式的估值

设｛ａｎ｝为递增的正项等差数列：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，ｎ∈Ｎ，其中ｄ，ａ１＞０，本文讨论和式ｎｋ＝１１ａｋ＝１ａ１＋１ａ２＋…＋１ａｎ的估值，并解决文［１］中遗留的问题．定理１设ｄ≤２ａ１，则对任意ｎ∈Ｎ有ｍｎ≤ｎｋ＝１１ａｋ＜Ｍｎ①其中Ｍｎ...     

数列x_（n＋2）＝x~2_（x＋1）／x_n的周期性

数列ｘ_（ｎ＋２）＝ｘ~2_（ｘ＋１）／ｘ_ｎ的周期性江西赣南师范学院熊曾润设数列｛Ｘｎ｝满足其中．本文探讨这类数列的周期性．引理若数列（Ｘｎ）满足（１）和（２），则它必定满足证明应用数学归纳法．（ｉ）ｎ＝１时，由（１）和（２）可得这表明ｎ＝１时等式（３?..