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1.
题目 已知a,b,c是正实数,证明:
(2a+b+c)^2/2a^2+(b+c)^2+(2b+c+a)^2/2b^2+(c+a)^2+(2c+a+b)^2/2c^2+(a+b)^2≤8 ①
这是2003年美国数学奥林匹克竞赛第五题,文[1]及文[2]分别用不同的方法对该题目作出精彩的证明,本文利用“变量标准化”方法给出该竞赛题的别证. 相似文献
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对如下一道日本数学奥林匹克试题:
问题1已知a,b,c〉0,求证:(b+c-a)^2/(b=c)^2+a^2+(c+a-b)^2/(c+a)^2+b^2+(a+b-c)^2/(a+b)^2+c^2≥3/5. 相似文献
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这是第42届IMO第二题:对所有正实数a,b,c,证明:a/√a^2+8bc+b/√b^2+8ca+c/√c^2+8ab≥1.文[1]中宋庆老师将其加强为:若a,b,c,为正数,则a/√a^2+2(b+c)^2+b/√b^2+2(c+a)^2+c/√c^2+2(a+b)^2≥1. 相似文献
5.
文[1]证明了一对有趣的不等式:设a,b,c为正数,且a+b+c=1,则有
(1/b+c-a)(1/c+a-b)(1/a+b-c)≥(7/6)^3,
(1/b+c-a)(1/c+a+b)(1/a+b+c)≥(11/6)^3。
为了推广这两个不等式,文[1]提出下面四个命题,要求证明或否定之. 相似文献
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文[1]给出并证明了如下不等式:
若a,b,c是正数,且a+b+c=1,则有:
(1/b+c -a)(1/c+a -b)(1/a+b -c)≥(7/6)^3 相似文献
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2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是:
设a,b,C是正数,求证:
α^2/b+b^2/c+c^2/α≥α+b+c+4(α-b)^2/α+b+c (1) 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广: 相似文献
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《中学数学》2007年(7)P41证明了如下定理:
若a,b,c,d∈R+,a+b+c+d=1,1/(1+a^2)^2+1/(1+b^2)^2+1/(1+c^2)^2+1/(1+d^2)^2≤824/289. 相似文献
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有这样一道吸引大家眼球的有趣不等式试题:问题1设正实数a,b,c满足abc=1,求证:a2+1(1/2)+b2+1(1/2)+c2+1(1/2)≤2(1/2)(a+b+c)1本刊文[1]通过构造函数f(x)=x2+1(1/2)-2(1/2)x-2(1/2)2lnx(x〉0),借助二阶导数和三元均值不等式给出一个证明.是否有更简单、更初等(即不用导数)的证明呢?笔者经过思考发现,借助平方差公式和二元均值不等式,最终可以获得一个简单、 相似文献
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不等式中的一对姐妹花 总被引:4,自引:0,他引:4
若a,b,c是正数,且a+b+c=1,则有(1/b+c -a)1/c+a-b)(1/a+b -c)≥(7/6)^3当且仅当a=b=c=1/3时取等号。 相似文献
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第33届美国数学奥林匹克第5题为:
设a,b,C均为正实数,证明:
(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)≥(a+b+c)^3. 相似文献
15.
2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题:
若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证:
1〈1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)〈2.
原证 (命题组给出的证明)任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c, 相似文献
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2008年新加坡数学奥林匹克(第二轮)高年级试题中有一题如下:
题目设a,b,c≥0.证明:
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)/(1+a)(1+b)(1+c)≥1/2(1+abc). 相似文献
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第5题 设α,b,c是正实数,证明:(α^5-α^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)≥(α+b+c)^3 (1) 文[2]将(1)推广为: 相似文献
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(a1,a2,…,an是正数,n∈且≥2)解证有关不等式问题,常常无法直接解决,而是先将解证的不等式进行适当的变形,凑出均值不等式的条件,再用均值不等式解决.这时,恰当的变形便成为解题的关键.下面介绍七种常用的变形技巧.1补项例1已知X>-1,且x≠0,n∈N,求证:(1+x)n>1+nx.证明例2设x1,x2,…,xn。都是正数,证明:2拆项例3已知a、b∈R ,且a≠b,求证:证明a5+b5例5已知a、b、c∈R ,且a+b+c=1,求证:证明例8已知a+b+c—1,$证:rt‘+b‘+C‘MM.证明”.”1一(a+b+c)‘一a‘+b’+c’+Zab+Zbc+… 相似文献
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题目(2008年厦门一中竞赛题)正数a,b,c满足a2+b2+c2=1,求证:1-a2(1/2)+1-b2(1/2)+1-c2(1/2)〉3-a-b-c1文[1]给出的证法是:由条件知a∈(0,1),则2a1-a2(1/2)〉0,所以1-a2(1/2)+a=(1-a2(1/2)+a(1/2))2 相似文献
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