一类紧致Khler流形上的Harnack估计

给出了一些紧致Khler流形上具有和时间相关的位势热方程的正解的Hanack估计.作为应用,得到了两个Khler-Ricci流下具有非负双截面曲率的单调熵.     

Khler-Ricci流下带有位能的热方程的微分Harnack不等式

主要研究了在Khler-Ricci流下的Khler流形上具有位能热方程的微分Harnack不等式,并利用它们得到了对应的W泛函和F泛函的单调性.     

完备Khler流形上Khler-Ricci流的局部Harnack估计

本文首先给出非正规化Khler-Ricci流下曲率的发展方程,然后得到了关于曲率的Harnack量在满足曲率局部条件下所产生的一个特殊项CNS.通过对CNS的估计,得到了完备Khler流形上关于Khler-Ricci流的局部Harnack不等式.最后,作为主要定理的应用,我们将结果推广到数量曲率的情形.     

流形上的微分Harnack 估计

In the thesis, we study the differential Harnack estimate for the heat equation of the Hodge Laplacian deformation of (p, p)-forms on both fixed and evolving (by Kähler-Ricci flow) Kähler manifolds, which generalize the known differential Harnack estimates for (1, 1)-forms. On a Kähler manifold, we define a new curvature cone C_p and prove that the cone is invariant under Kähler-Ricci flow and that the cone ensures the preservation of the nonnegativity of the solutions to Hodge Laplacian heat equation. After identifying the curvature conditions, we prove the sharp differential Harnack estimates for the positive solution to the Hodge Laplacian heat equation. We also prove a nonlinear version coupled with the Kähler-Ricci flow after obtaining some interpolating matrix differential Harnack type estimates for curvature operators between Hamilton’s and Cao’s matrix Harnack estimates. Similarly, we define another new curvature cone, which is invariant under Ricci flow, and prove another interpolating matrix differential Harnack estimates for curvature operators on Riemannian manifolds.     

黎曼流形上薛定谔方程的Harnack估计

推导了薛定谔方程正解的一种新的整体梯度估计和Harnack不等式,推广了一些有关热方程的结论,并且得到了一个关于薛定谔算子的刘维尔定理.     

Kahler流形上的Lagrange力学

讨论了Kahler流形上的Lagrange力学,并给出Lagrange算子、Lagrange方程、作用泛函、Hamilton原理和Hamilton方程等复的数学形式.     

Kahler流形上的Hamilton力学

利用力学原理、现在微分几何理论和高等微积分把Hamilton力学推广至Kahler流形上,建立Kahler流形上Hamilton力学,并得到Hamilton向量场、Hamilton方程等复的数学形式.     

带权流形上热方程的Harnack估计

利用两种不同的方法讨论了带权流形上热方程和Schrodinger方程解的Harnack估计,先利用最大模原理证明热方程解的梯度估计,从而得到解的Harnack估计,另外利用算子半群的方法证明位势函数为常数的Schrodinger方程解的Harnack估计.     

Yamabe流下黎曼流形上热方程的梯度估计

研究了在Yamabe流下演化的一个完备非紧黎曼流形,对流形上热方程的正解给出了两种局部的梯度估计.作为应用,可以得到这个热方程的Harnack不等式.     

完备流形上带位势的热核估计

在完备非紧流形上获得了关于带位势热方程正解的梯度估计；接着，利用测地线的技巧获得了Harnack不等式；进一步，建立了两个积分不等式，综合Harnack不等式获得了热核的上下界；最后，利用函数的结果来控制p形式的热核。     

The K¨ahler-Ricci Flow on K¨ahler Manifolds with 2-Non-negative Traceless Bisectional Curvature Operator

The authors show that the 2-non-negative traceless bisectional curvature is preserved along the Kahler-Ricci flow. The positivity of Ricci curvature is also preserved along the Kahler-Ricci flow with 2-non-negative traceless bisectional curvature. As a corol- lary, the Kahler-Ricci flow with 2-non-negative traceless bisectional curvature will converge to a Kahler-Ricci soliton in the sense of Cheeger-Cromov-Hausdorff topology if complex dimension n ≥ 3.     

加权黎曼流形上加权非线性反应扩散方程的微分Harnack估计（英文）

本文研究了黎曼流形上的微分Harnack估计问题.利用最大值原理和加权的p-Bochner公式的方法,在CD(0, N)条件下,获得了加权黎曼流形上加权非线性反应扩散方程的Li-Yau型和Hamilton型微分Harnack估计,推广了作者在不加权时非负Ricci曲率条件下成立的结果.     

黎曼流形上一类指数调和型热方程的梯度估计

本文我们推到了黎曼流形上指数调和型热方程的一个Hamilton-Souplet-Zhang型梯度估计. 利用这个估计, 我们得到了一个Liouville型定理.     

复乘积流形上Berwald度量与强Khler-Finsler度量的构造(英文)

在一般的复乘积流形上构造了一类光滑的Finsler度量,证明了该度量是Berwald度量.得到了该度量的全纯曲率并在一定条件下证明了所构造的度量是强Kahler-Finsler度量.     

Riemann流形上改进的p-Laplace方程的梯度估计

本文研究Riemann流形上的改进的p-Laplace方程,运用截断函数的估计、Hessian比较定理和Laplace比较定理,得到该方程正解的梯度估计.并应用该结论,得到在Riemann流形上关于改进的p-Laplace方程正解的Harnack不等式和Liouville型定理.     

黎曼流形上一类非线性抛物方程的Hamilton 梯度估计

本文我们得到了黎曼流形上一类非线性抛物方程的局部Hamilton梯度估计. 利用这个局部估计,我们得到了一个Harnack型不等式和一个Liouville型定理.     

紧Riemann流形上的第一特征值估计

本文证明了[2]中提出的一个猜测设M是紧Riemann流形,其Ricci曲率具有负下界-K(K=const＞o),d是M的直径,则有λ1≥π2-d2-1/2K.为此,还给出了第一特征值下界的一个新估计     

光滑度量测度空间上的加权扩散方程的梯度估计

本文主要考虑了一类加权非线性扩散方程正解的梯度估计.在m-维Bakry-(E)mery Ricci曲率下有界的假设下,得到加权多孔介质方程(γ＞1)正解的Li-Yau型梯度估计,此外对于加权快速扩散方程(0＜γ＜1),证明了Hamilton型椭圆梯度估计,结论分别推广了Lu,Ni,Vázquez and Villani在文[1]和Zhu在文[2]中的结果.     

一类Khler流形上的全纯映射

本文利用Ｋａｈｌｅｒ流形上的Ｌａｐｌａｃｅ算子,给出了一类全纯映射的增长性结论