新题征展(116)

A 题组新编 1.(胡寅年)设{an}是首项为1的正项数列,且n+1a2n+1-na2n+an+1an=0. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(ln(1+an))/(an),证明:①bn≤bn+1;②ln2≤bn相似文献   

找准错因,防止再错

我校2011届高三高考模拟卷中有这样一道数列题:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;(2)设cn=3bn-λ.2an3(λ∈R),若数列{cn}     

也谈加强不等式在解题中的应用

题目 设数列{an}满足:a1=1,an+1=1/16(1+4an+√1+24an)(n∈N*).(1)求a2,a3;(2)令bn=√1+24an,求数列{bn}的通项公式;(3)已知f(n)=6an+1-3an,求证f(1)·f(2)·…·f(n)＞1/2.     

一道联考试题的解法探究——记加强不等式在解题中的运用

题目(2010年湖北省六市高三联考理科第21题)设数列{an}满足:a1=1,an+1=1/16(1+4an+√1+24an)(n∈N*). (1)求a2,a3; (2)令bn=√1+24an,求数列{bn}的通项公式; (3)已知f(n)=6an+1-3an,求证:f(1)·f(2)·...·f(n)>1/2. 解 (1),(2)略.     

一道高考题的另一解法

2007年高考全国卷(Ⅰ)理科第22(Ⅱ)题也可以用“辅助数列法”求出通项bn,然后证明.题:已知数列{an}中a1=2,an 1=(2-1)(an 2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn 1=23bbnn 34,n=1,2,3,….证明:2相似文献   

2011年广东高考数列综合题的探究

2011年广东普通高考文科、理科考的数列综合题如下.例1 (文科)设b＞0,数列｛an｝满足a1=b,an=nban-1/an-1+n-1(n≥2),(1)求数列:｛an｝的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,2an≤bn+1+1.     

再探三角形的一种边角关系

以下用a ,b ,c分别表示△ABC中角A ,B ,C的对边 ,文 [1 ]已证得 .定理 1　若an,bn,cn(n =1 ,2 ,3,4 )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .定理 2　若an,bn,cn(n∈Z)成等差数列 ,则B≤ 6 0°.实际上 ,还可将定理 2推广为 :定理 3　若an,bn,cn(n <0 )成等差数列 ,则B≤ 6 0°.证　因为a ,b ,c∈R+,an+cn2 =bn,所以bn≥ancn .又n <0 ,所以b2 ≤ac ,得(a -c) 2 ≥ 0≥b2 -ac,a2 +c2 -b2 ≥ac ,cosB =a2 +c2 -b22ac ≥12 ,B≤ 6 0° .猜想 1　若an,bn,cn(n≤ 4 ,n∈R )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .下面是对猜想 1的研究 :由an+cn=2bn,可不妨设an≥bn≥…     

一道综合题的新解及推广

《数学通讯》2 0 0 1年第1 5期的“综合题新编”题1 4是一道不可多得的数列综合题,但吴伟朝老师在原稿中提供的解法不容易想到,笔者曾花了很长时间才弄懂.后来,笔者经过思索,找出一种更简明易懂的解法.在此提出来,若有不足之处,还望大家斧正.原题　在数列{an}中,a1=1 ,an +1=2an+n2 (n =1 ,2 ,3,……) ,求通项an.解　设an +1+ (n + 1 ) 2 +k(n + 1 ) +c=2 (an+n2 +kn +c) ,∵an +1=2an+n2 ,代入上式比较系数,得　　k =2 ,c=3.∴an +1+ (n + 1 ) 2 + 2 (n + 1 ) + 3=2 (an+n2 + 2n + 3) .令bn=an+n2 + 2n + 3,则{bn}是公比为2的等比数列,且b1…     

用待定系数法求解一类数列的通项

2005年重庆高考数学卷第22题,原题为:数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n≥1),记bn=1/an-1/2,要求根据计算b1,b2,b3,b4的值再求数列{bn}的通项公式.……     

新题征展(35)

A　题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B　藏题新掘3.在边长为 1的正△ …     

利用构造法巧解一道高考题

(1998年全国理科试题)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1 b2 … b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{bn}的通项an=loga(1 1/b)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与1/3logabn 1的大小,并证明你的结论. 解(1)易求得bn=3n-2. (2)由(1)可得     

对2000年一道高考试题的研究与推广

今年全国高考数学理科第 (2 0 )题为 :( )已知数列 { cn} ,其中 cn =2 n + 3n,且数列 { cn+ 1 - pcn}为等比数列 ,求常数 p:( )设 { an}、{ bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn =an + bn,证明数列 { cn}不是等比数列 .这是一道“主要考查等比数列的概念和基本性质 ,推理和运算能力”的好题 .从本校许多考生的信息反馈来看 ,该试题起点低 ,入手宽 ,且具有一定的难度和较好的区分度 .经研究 ,笔者发现该试题所述的两个问题可归结为同一个模型 ,从而可用统一的方法加以解决 .定理　设 a、b、c、r、s、t均为实常数 ,则等式　　　 arn-1 + b sn-1 =c tn-1 (* )对任意的 n∈ N恒成立的充要条件为　　　　 a =b=c=0 ;(1)或　　 a + b=c=0 ,r=s;(2 )或　　 a =0 ,b =c,s=t;(3)或　　 b =0 ,a =c,r=t;(4 )或　　 a + b=c,r=s=t. (5 )证明　 (充分性 )逐一验证 (1)～ (5 )知它们均可分别使 (* )对任意的 n∈ N恒成立 ,故“充...     

综合题新编选登

题61 已知函数f(x)(0,1)上是增函数.1)求实数a的取值范围;2)若数列{an}满足a1=c∈(0,1)且an+1=ln(2-an)+an(n∈N*),证明0相似文献   

课外练习

高一年级1.已知:函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在x∈[-3/2,2]上的最大值为3,求实数a的值. (山东汶上县一中(272500)张宪铸)2.解关于x的不等式|loga(ax2)|<|logax|+2. (江苏张家港职业教育中心校 (215600) 周文国)3.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=anxn(x∈R),求数列{bn}前n项 和的公式. (江苏如东县掘港钲北街274号 (226400) 童枚     

2006年一道高考题的引申

(2006年江苏高考第21题)设数列{an},{bn},{cn},满足:bn=an-an 2,cn=an 2an 1 3an 2(n=1,2,3,…),证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn 1(n=1,2,3,…)此题的必要性易证,充分性的一个证明思路是:根据等差数列{cn}的性质有cn 2-cn为常数,结合bn≤bn 1得到bn     

一道高中数学预赛题的多向推广

众所周知,等差数列存在一些美妙的性质,列出如下. 性质1 等差数列{an｝的前n项之和An=an2+bn. 性质2 若等差数列{an｝与等差数列{bn｝前n项之和分别为An,Bn,则An/Bn=an+b/cn+d. 证明:设{an｝,{bn｝的公差分别为d1,d2,由An=na1+n(n-1)d1,Bn=nb1+n(n-1)d2,得An/Bn=d1/2n+(a1-d1/2)/d2/2n+(b1-d2/2)=an+b/cn+d,其中a=d1/2,b=a1-d1/2,c=d2/2,d=b1-d2/2.     

对一道试题的研讨

<正>最近,广州市几个区联合举行了调研考试(即期中区统考),我们也参加了这次考试,有一道数列解答题的第三问,我们区没有一人做对(听教师说).题目如下:在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-kan(k≠0)对任意n∈N*成立,令bn=an+1-an,且{bn}是等比数列.(1)求实数k的值;(2)求数列{an}的通项公式;     

一类数列求和的方法

题目设数列{an}的通项公式为an=(n2 n)·3n,求Sn.分析乍看,使用错项相减法不能求得,不符合使用错项相减求和数列特征,因为使用该法时,数列an=bncn中有一个是等差数列,另一个为等比数列.本题cn=3n为等比数列,bn=n2 n不是等差数列.但该数列后半部分又确实成等比数列,前半部分又可     

对一个正项等差、等比数列不等式的探究

一、引子 文[1]将文[2]中的定理2作如下的推广. 推广 已知数列{bn}是正项非减少的等差数列,数列{cn}是正项等比数列,则有 Cn0/b1c1+Cn1/b2+c2+Cn2/b3+c3+…+Cna/bn+1+cn+1≥4n/2n-1(2b1+nd)+21-n(c1+cn+1).     

用导数求解一类数列问题的思维探源

1.问题的提出由公差为d(d≠0)的等差数列{an}与公比为q(q≠1)的等比数列{bn}的对应项的积构成数列{an·bn},求数列{an·bn}的前n项和Sn.