飞行管理问题约束条件的线性化

编者按：本文从相对运动出发，给出了两架飞机不碰撞条件的几何描述，得到了两机不碰撞的方向角范围，并对有关条件作了线性化处理，从而使原来的非线性约束化为线性约束。其特点在于：对约束条件的简化，注意了保留在区域内不碰，在区域外碰撞的角度范围，考虑较为全面。当然，对这一条件还可有其他处理方式。此处发表的是该文有关部分的摘录，编者只增添了极少的语句，使文意联贯。则飞机i与j间距离（x_i，y_i）表示第i架飞机在t时刻的坐标（x_10，y_10）表示第i架飞机在t=0时的坐标（i=1，2，3，4,5；j=i＋1，i 2……6）新进入飞机编号为…     

飞行管理问题答卷评述

本题是以空域飞行管理为背景，经简化和整理而成的一个赛题。该问题主要可以归结为非线性规划模型或经一定简化，建立线性规划模型。由于实际的需要，提出的算法应在计算机上快速地实现。一、非线性规划模型及求解设六架飞机在调整时的方向角为θ_i，调整后的方向角为θ’i=θ_i十△θ_i(i=1，2，…，6）。设任意两架飞机在区域内的最短距离为dij(θi，θj，），那么问题的非线性规划模型为使得绝大多数答卷能正确建立模型，有的答卷在建模时，出于某些考虑加强了不碰撞的要求，如要求在调整后的O.22～(1/2)小时内不发生碰撞或永远不允许发…     

空中防撞系统的设计

编者按：本文用相对运动的观点建立飞机两两不相撞的约束条件，将问题归结为一个非线性规划问题，用惩罚函数方法化为无约束极值问题求得最优解。罚函数选取合理，表达清楚。一、符号约定Pi为第i架飞机坐标；θi为第i架飞机方向角；rij为Pi和Pj间距；θij为Pij与X轴的夹角；v为飞机飞行速度。二、问题的分析与求解1．设计目标要设计的防撞系统中，为确保飞机不相撞，应满足如下条件：(1)安全距离要求|Pij|≥8（2）飞机偏离航向不应太远，要求|△θ|i≤30°根据上述条件及题目的要求，防撞系统的目标是达到总航向的改变最小。即min(∑|△…     

飞行管理问题的线性规划模型

编者按：这份答卷的作者没有参加全国的竞赛，而是按照同样的题目和要求参加了学校的竞赛。全国评委会的同志在评阅完全国的优秀答卷后审阅了本文，一致认为该文很有特色，特予发表。对本题一般都是建立了非线性规划模型，直接求解很困难。该文不仅运用相对速度将不相撞的约束条件线性化（对调整角改变量线性），而且经过合理的选择将目标函数也线性化，从而将整个问题成功地简化为线性规划模型。另外该文表述清晰，证明简洁。一、数学模型1．模型假设1）新飞机进入边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作方向角改变（…     

平面向量中常见的概念性错误剖析

由于向量不同于数量,它有自己的一套运算体系.同学们在学习时,常常将向量与数量等同起来.因此经常发生一些概念性错误.本文分析几例,以提醒同学们重视. 例1 一架飞机向西飞行 100 km,然后改变方向向南飞行 100 km,则飞机两次位移的和为_. 错解 100 2~(1/2)km. 分析位移是一个向量,既有大小,又有     

网络优化中一个组合问题的探讨

文[4]提出了网络优化中若干有待解决的组合问题，本文围绕其中之一“减小直径问题”进行了探讨．设P（n，t）表示长为n的路径增加t条边后所得图直径的最小值，C（n，t）表示长为n的圈增加t条边后所得回直径的最小值．本文取得如下进展：1）给出P（n，2），P（n，3）及C（n，2）的精确值，并得出P（n，4）的一更精细的上界及一种更好的加边方式．上述结果均满足小极大度原则．2）在有极大度限制的条件下，分别对t为偶数和奇数给出了P（n，t）的上界．     

第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

1．乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10．40元．行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1．60元．行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2．40元．途中因红灯等原因而停车等侯，每等侯5分钟收车费1．60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x（公里）满足12≤x＜12．5时，按12．5公里计价；当12．5≤x＜13时，按13公里计价．等候时间每2．5分钟计一次价，例如，等候时间t（分钟）满足2．5≤t＜5时，按2．5分钟计价；当5≤t＜7．5时，按5分钟计价．请回答下列问题．（1）若行驶12公里，停…     

关于函数平均值的一个例注

设y=f（x）是［a，b］上的一个可积函数。我们知道，f（x）在［a，b］上的平均值定义f［x（t）］在［a，B］上的平均值一般来说是不同于f（x）在［a，b］上的平均值，在具体问题的平均值计算中需要注意。以下举例说明：例求摆线的第一拱（0＜t＜2。）上点到原点距离平方的平均值。解法一距离平方为d’二x’＋y’一（t－SISt）’＋（l－COSt）’一t‘＋2－ZCOSt－Ztsiflt（0＜t＜2。）若取t为自变量，则平均值解法二若取x为自变昌（0＜x＜2。）则解法三取弧长S为自变量（（0＜S＜8），孤长S与参数t的关系为：当t—2知时，总弧长S一8，…     

线性规划问题分类解析

线性规划问题不仅在现代生产生活中有着广泛的应用，而且在数学领域里也潜藏着深厚的文化底蕴，题型千变万化，从而成为高考命题的重点和热点．常见题型为：①二元一次不等式（组）所表示的平面区域；②简单的线性规划问题；③运用线性规划问题解决生产生活中的一些实际问题。特别是实际生活中涉及的整数解问题；④其它问题．     

最优化中的几个问题解的等价性

考虑如下非线性规划问题：众所周知，问题（NP）的解法主要有三类：1．直接处理约束，2．将约束最优化问题化为 无约束最优化问题来处理，3．将（NP）化为简单的约束最优化问题如线性规划或二次规划等来处理，而将约束最优化问题化为无约束最优化问题的主要手段是利用如下的Lagrange函数：L（X，X，X）一八X）＋（X，g（X》十（X，h（X》（1．I）定义1．1称点卜”，V”撤足互补性条件，如果对”（X）一ojE【I：c］（亚．2）根据Lagrange函数（1．1）定义如下问题：（SPP）：求点k”，u”，v」6H””，m二。；＋c，使b“，u“，v」…     

纠错二例

化归是中学数学基本的思想方法之一，数学研究的过程自始自终贯穿着“化生为熟、化繁为简”，再复杂的数学问题都可以通过化归使问题得到解决，它既是一种数学思想，也是一种数学能力，但在化归时常出现：（一）转化方向错误，（二）转化本质上的不等价，如何防止转化的失误要注意两点：（一）转化中注意条件的充分性和必要性，（二）注意已知条件的范围是否扩大或缩小。     

排序问题的线性规划松弛方法

本文研究排序问题的线性规划松弛方法，对单台机器排序问题1｜prec｜∑wjCj介绍基于三个确定性线性规划松弛的2一近似算法，对平行机排序问题R｜rij｜（wjCj）介绍基于随机线性规划松弛的2-近似算法。这后一个算法对排序问题R｜（wjCj｜是3／2-近似算法．     

排列、组合和二项式定理

分类计数原理和分步计数原理是排列组合的核心内容，它既是推导排列数、组合数公式的基础．也是解决排列组合问题的重要方法．分类是把复杂的问题分解成互相排斥的几类，然后逐类解决，分步是把解决问题的方法分解成几个相互联系且相互独立的步骤，较复杂的排列组合问题的解决常先分类再分步．解决带有附加条件的排列组合问题的方法主要有：（1）特殊元素分析法：优先安排特殊元素，再安排其它元素；（2）特殊位置分析法：优先安排特殊位置，再安排其它位置；（3）去杂法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数；（4）插空法：对于要求某些元素不相邻的问题，可以先排好没有限制条件的元素，然后将要求不相邻的元素插入到排好的元素所产生的空档之中；（5）捆绑法：对于要求某些元素必须排在一起的问题，可以将要求相邻的元素合并为一个大元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也要作排列；（6）先分组后分配即先选后排；（7）隔板法；（8）去序法；（9）列举法，特别要注意利用“树形图”不漏不重地列举；（10）集合法．     

"求线性规划问题可行基的一种方法"的再注记

文[1]给出一个求线性规划问题可行基的方法，文[2]指出其判定条件（3）有误，然而所用的反例并不正确。本文给出三个正确的反例；此外，还给出反例表明文[1]的判定条件（2）也不正确的。     

模拟时滞化学反应系统的自适应τ-Leap算法

本文发展了一种模拟时滞化学反应系统的自适应τ-Leap算法（DAr—Leap）．该算法将后验τ-Leap算法应用到时滞化学反应系统，能够自动调节τ使得在时间区间[t，t＋τ）内发生多次反应事件并且精确地满足Leap条件，从而避免了负分子数目的产生，较大地提高了模拟速度．     

任意阶中立型方程正解存在的充要条件

给出了任意阶中立型微分方程（x(t)-p(t)g(x(τ(t)))^(n) ∫α^βt(t,ξ，x(g1(t,ξ）），x(g2(t,ξ）），…，x(gm(t,ξ）））dη（ξ）=0存在正解x(t)满足x(t)-p(t)g(x(τ(t)))/t^k→正常数（→∞)物条件，作为本文结果的特例，部分地解决了文[5]提出的公开问题2。     

级数sum from n= 1to ∞的求和问题

级数是一个函数项级数。我们连同级数一并考虑。首先这两个级数在（－，＋）内都是绝对收敛、并且是一致收敛的。事实上，取优级数为＞：去，它是收敛的，而：由外尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法可知：都是一致收敛并且绝对收敛。记：下面考虑这两个级数的求和问题。为此在X学0处将函数：展开为余弦级数。f（x，t）的余弦级数为：在X＝0处，（4）式也成立。再将f（x，t）进行t的偶开拓，再周期开拓后，得到的函数广（X，t）在一co＜t＜＋co处处连续。因此（4）式在0＜t＜。上成立。现用t—O及t—知分别代入（4）式，有：将两个级数分别…     

活用一个结论 巧解一类问题

我们知道：若X；，而是一元二次方程axZ＋bx＋c-0的两根测有QxZ＋bx＋C＝Q（一HI）（H一HZ）．由于此结论平常简单，因而常被人们所忽视．其实，灵活恰当地运用它，对解决某些与一元二次方程根有关的问题，常能起到化繁为简的作用．下面举例加以说明，供参考．Ik方程中的参段值例1若方程（X一。）（X一8）一1一o有两个整数根，求a．（199O年全国初中数学联赛题）解设方程的两整数根为工l，工。，则有（一Q）（H一8）一1＝（一HI）（H一Xi）．取l一8时，则（8二11）（8-为）-一1，xl一7，2一9或ZI一9。l。一7．故（x-a）（x--8）一…     

具无限时滞的积分微分方程的周期解的存在性、唯一性及稳定性

1引言考虑如下的Volterra积分微分方程其中t∈R，x∈Rn；A（t），C（t，s），C（t-S）都是n×n连续函数矩阵；f：R→Rn连续．关于方程（1．1）及（1．2）的周期解的存在性问题，已有不少研究工作[1-4]，例如[1]研究了当n＝1时方程（1．1）的周期解的存在性问题．得到了如下结果：定理A[1]如果下列条件满足：（i）A（t＋T），f（t＋T）=f（t），C（t＋T，s＋T）＝C（t；s）对t，s∈R成立，其中T＞0是常数．（ii）方程（1．1）具有“衰退记忆”．（iii）存在着常数K＞1及μ＞0使得A（t）＋K∫t-∞|C（t，s）|ds＜－μ则方程（1．1）…     

线性规划问题的一种新的摄动法

在用单纯形方法解线性规划的问题时，不可避免会出现退化情况，而某些退化情况会导致循环。目前采用的避免循环的方法一共有两类：传统的摄动法（字典序）和Bland方法。本分析了传统摄动法的一些不足，给出了一种新的摄动法。