运用数列极限运算法则解题的两点注意

数列极限运算法则 ,是中学生求数列极限的基础 .为了更好地掌握求数列极限的方法 ,学生在运用此法则时应注意以下两点 .1)如果ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=Ａ .ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=Ｂ ,那么ｌｉｍｎ→∞(ａｎ±ｂｎ) =Ａ±Ｂ .此法则只适用于求有穷数列的极限 ,不能用于求无穷数列的极限 .例 1　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1) .分析 :此题为有穷数列求极限 ,故可直接运用极限运算的加法法则 .解　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1)　 =ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 1 ｌｉｍｎ→∞2ｎ2 1 … ｌｉｍｎ→∞30ｎ2 1　 =0 0 … 0　 =0…     

“众所认可”的就一定是“正确”的吗？

数学是思维的体操,而问题是数学的心脏;作为教师,我们在研究或讲授某种数学知识的时候,哪怕是对一些人已经形成的共同认识,也要积极地开动脑筋,慎密思考,以免误己误人;清楚地记得,在一次公开课评比中,有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时,曾举了这样一个例子：例　已知ｌｉｍｎ→∞（２ａｎ＋３ｂｎ）＝５,ｌｉｍｎ→∞（ａｎ－ｂｎ）＝２求ｌｉｍｎ→∞（ａｎ＋ｂｎ）当时有位学生提出这样一种解法：解　设ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝Ａ,ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝Ｂ,则由题设可知,ｌｉｍｎ→∞（２ａｎ＋３ｂｎ）＝２ｌｉｍｎ→∞…     

数列极限、数学归纳法

选择题1　下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,则ｌｉｍｎ→∞ａ2 ｎ=α2 .(Ｂ)若ｌｉｍｎ→∞ ａ2 ｎ=α2 ,则ｌｉｍｎ→∞ａｎ=±α.(Ｃ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=β,则ｌｉｍｎ→∞(ａｎｂｎ) =αβ .(Ｄ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=∞ ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=0 ,则ｌｉｍｎ→∞ ａｎ·ｂｎ=0 .2　若 |ａ 2 | 2ｂ - 1=0 ,ａ ,ｂ∈Ｒ ,则无穷等比数列ａｂ ,ｂ ,ｂａ ,…的各项和为 (　　 )(Ａ) - 2 .　 (Ｂ) - 23.　 (Ｃ) 34 .　 (Ｄ) 2 .3　若ｌｉｍｎ→∞[12 - (ｒ1 ｒ) ｎ]=12 ,则ｒ的取值范围是(　　 )(…     

数列极限教学中的若干思考

在中学阶段渗透近代数学的基础知识是课程教材改革的要求之一.高中数学教材把数列极限作为必修内容,其目的是在中学阶段渗透极限思想,使学生初步接触用有限刻划无限,由已知认识未知,由近似描述精确的数学方法.本文对数列极限的教学提出几点思考,谨供大家参考.(一)基本概念、基础知识的正确理解与掌握1.数列极限的定义数列极限概念是教学上的难点,教材采用描述法定义数列极限.对数列极限定义的正确理解,是学习本章内容的基础例1等差数列{an}中,首项a1=60,公差d=-2,记Sn=a1 a2 … an,Tn=|a1| |a2| … |an|,求li mn→∞SnTn.错解:Sn=na1 n(n2…     

归纳、猜想、证明——求数列通项的一种思路

数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题的一种方法 .在解数列题中 ,我们可用数学归纳法得到所求数列的通项 ,当然 ,先要进行观察、归纳与猜想 .例 1　设无穷数列 {ｂｎ}的前ｎ项和为ｃｎ,且ｂｎ+ｃｎ=ｎ (ｎ∈Ｎ) .(1)求证 :数列 {1-ｂｎ}为等比数列 ;(2 )求ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 (ｃ1 +ｃ2 +… +ｃｎ) .分析　首先观察 :ｎ =1时 ,ｂ1 +ｃ1 =2ｂ1 =1有ｂ1 =12 ;ｎ =2时 ,ｂ2 +ｃ2 =ｂ1 + 2ｂ2 =2 ,有ｂ2=34;ｎ =3时 ,ｂ3+ｃ3=ｂ1 +ｂ2 + 2ｂ3=3 ,有ｂ3=78,……由 (1)提示知 1-ｂ1 =12 ,1-ｂ2 =14 ,1-ｂ3=18,……故猜想 1-ｂｎ=(12 ) ｎ,即　ｂｎ=1…     

关于Cauchy——D′Alembert判别法

直接使用Ｃａｕｃｈｙ判别法或者Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法来判别数项级数的敛散性时 ,有时计算极限难度大 .为了计算极限简单 ,本文提出灵活使用Ｃａｕｃｈｙ判别法和Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法的方法 .1　Ｃａｕｃｈｙ———Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法定理 (Ｃａｕｃｈｙ———Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法 )对数项级数 ∑∞ｎ =1ａｎｂｎ(ａｎ >0 ,ｂｎ >0 ,ｎ∈Ｎ)有ｌｉｍｎ→∞ｎｂｎ =ｂ ,ｌｉｍｎ→∞ａｎ 1 ａｎ =ａ(或ｌｉｍｎ→∞ｎａｎ =ａ ,ｌｉｍｎ→∞ｂｎ 1 ｂｎ =ｂ) .(1 )若ａ <ｂ ,则数项级数 ∑∞ｎ=1ａｎｂｎ 收敛 …     

求lim from(n→∞)(Sn)的方法

在求数列极限时 ,我们经常遇到求limn→∞ Sn 问题 ,灵活把握住以下两点将能快速求解 ,下面结合高考题加以说明 .1　不必求Sn对于所给数列是无穷等比递缩数列 (即公比q≠ 0 ,且 |q|<1) ,可以不必先求Sn,直接利用公式limn→∞ Sn=S =a11-q简捷解决 .例 1　 (2 0 0 3年北京高考题 )若数列 {an}的通项公式为an=3-n+2 -n+(- 1) n(3-n- 2 -n)2 ,n =1,2 ,… ,则limn→∞(a1+a2 +a3 +… +an)等于 (　　 )(A) 112 4 .　　 (B) 172 4 .　　 (C) 192 4 .　　 (D) 2 52 4 .解　 (不必先求Sn)原通项公式可以改写为an=12n,n为奇数 ,13n,n为偶数 ,于是…     

求数列极限的一个定理

本文介绍一个有关求数列极限的定理,利用它可以较方便地求出一些数列的极限. 定理对于数列{x_n},若存在一个小于1的正数Υ,使不等式 |x_(n+1)-α|≤Υ|x_n-α| 对一切大于某自然数N的n都成立,则 limα_n=α.n→∞     

关于学生数学分析理解思考能力的一次测试试题

1 λ =supA且λ A ,则以下正确的是 :(A)存在单调增加数列an∈A使得limn→∞an=λ ;　 (B)存在数列an=λ -1n ∈A使得limn→∞an=λ ;(C)存在单调减少数列an∈A使得limn→∞an=λ ;　 (D)存在数列an=λ+1n ∈A使得limn→∞an=λ。2 数列 {an}满足 :对任意正数N ,存在正数ε,当n N时有 |an-a| ε,那么(A)数列 {an}收敛 ;　　　　　　　　　 (B)数列 {an}恒为常数 ;(C)数列 {an}当n充分大时恒为常数 ;(D)数列 {an}有界。3 limn→∞1nn !=0的证明 :(1 )对任意正数ε,limn→∞1n !εn=0 ;(2 )所以 ,存在N ,当n N时 ,1n !εn 1 ;(3 …     

微积分中几种问题的处理方法

在微积分的教学中 ,有些计算题或证明题经常会有学生反映不知如何下手 ,为此给出这几种问题的处理方法 .1　一类数列的极限问题极限的运算中 ,有一类数列的极限我们常遇到 .例如 :( i) limn→∞a· ( a+ 1 ) ( a+ 2 )… ( a+ n)b· ( b+ 1 ) ( b+ 2 )… ( b+ n) ( 0 相似文献   

数列的极限,数学归纳法

1　考点简析本单元中的数列极限是中学数学的难点 ,数学归纳法是中学数学中唯一的以专题形式来讲授的推理方法 ,都是今后学习高等数学的基础 ,因此是高考的必考内容 .在高考中所占全卷的比例约1 0 % ,难度一般为中等题 ,也有和不等式综合构成的较难的探索题和应用题 ,目的是为了考查这部分基础知识及应用基础知识解决问题的能力 ,在教学过程中只须把握基本知识 ,适当地掌握一些基本方法 ,重在分析问题 .不要拔高教学高度 ,不随意增加学生学习该部分的难度 .本单元在高考中常考的知识点有 :数列极限的四则运算 ,常用的数列极限值 ,ｌｉｍｎ→…     

关于无穷大量的等价

理工科的大学生在进入大学之后不久 ,便会学到“数列的极限”.如果 { an}是一个数列 ,对于任意给定的正数 K,如果存在自然数 N,凡是 n>N时便有 | an| >K,这时我们称 { an}是一个无穷大量 ,简称无穷大 ,或者说当 n→∞时 ,{ an}趋向无穷 .当 n→∞时 ,不同的无穷大量趋于无穷的快慢是不一样的 ,从一开始就让学生认识这种快慢是十分重要的 .本文是对刚进大学不久的学生的一次讲座 ,目的是 :1 .提高学生的学习兴趣 ;2 .让他们从一开始对无穷大、无穷小的阶有一种自觉的认识 .设 { an} ,{ bn}是两个无穷大 .如果 limn→∞anbn=1 ,那么称 { an}…     

例说n项和数列极限的几种求法

有限个数列和的极限一般可用"数列和的极限等于数列极限的和"的运算法则来计算,而对于n项和数列的极限不能采用和的运算法则.针对此问题,文中利用迫敛性、定积分、幂级数和函数性质以及Fourier级数和函数得到了求此类极限的方法.     

一个正项级数命题的另一种证明

贵刊 1 990年第 1期与 1 994年第 1 2期分别刊登了李铁烽同志的文 [1 ]与高军同志的文 [2 ].其中文 [2 ]证明了文 [1 ]中提出的正项级数敛散性的新比值判别法要强于拉贝判别法 .这就是文 [2 ]中的命题 1 :若ａｎ >0 ,且ｌｉｍｎ→∞ｎ 1 - ａｎ 1 ａｎ =ｒ,则ｌｉｍｎ→∞ａ2ｎａｎ =ｌｉｍｎ→∞ａ2ｎ 1 ａｎ 1=12 ｒ.证明中用到了泰勒中值公式与欧拉公式 :1 12 … 1ｎ =Ｃ 1ｎｎ εｎ.其中Ｃ为欧拉常数 ,且ｌｉｍｎ→∞εｎ =0 .本文给出另一种证法 ,证明与命题 1相当而更完全一些的命题 2 :设ａｎ >0 ,如果ｌｉｍｎ→∞ ｎ ａｎａｎ 1…     

一个数列极限问题的一般化

利用数列极限存在与无穷级数收敛之间的关系以及中值定理,可将极限lim n→∞（n∑k=1 1/k-1nn）的存在性问题推广到更一般的情形。     

a_(n+1)=p(n)·a_n~2+f(n)·a_n+r型数列的求解方法

数列问题的背景新颖 ,能力要求高 ,内在联系密切 ,思维方法灵活 ,因此倍受命题者的青睐 .解答数列问题要求熟练掌握数列的基础知识 ,灵活运用基本数学思想方法 ,善于转化 .ａｎ +1=ｐ(ｎ)·ａ2 ｎ+ｆ(ｎ)·ａｎ+ｒ(ｐ(ｎ)≠ 0 )型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范 ,难度较大 .求解此类问题的的思维模式是 :观察—归纳—猜想—证明 .求解的主要方法是 :分析法、比较法、消去法、综合法、放缩法、数学归纳法 .例 1　数列ｘ1,ｘ2 ,… ,由ｘ1=12 ,ｘｎ +1=ｘ2 ｎ+ｘｎ(ｎ =1,2 ,… )给出 ,Ｓｎ 与Ｐｎ 分别是数列 ｙ1,ｙ2 ,ｙ3 ,…前ｎ…     

活用公式巧解一道数列题

题目2003年全国高考(文)已知数列{an}满足a1=1,an=3(n-1) a(n-1)(n≥2), (1)求a2、a3; (2)证明:an=(3n-1)/2 本题是一道典型的求数列通项的问题.常见解法是用数学归纳法或迭代法,没有新意. 事实上,对于数列{an},其前n项和为Sn,则an= 认真审题,联想上述求通项公式的结构,     

关于周期函数的最小正周期的存在性

我知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期 ,如ｓｉｎｘ ,ｃｏｓｘ ,ｔａｎｘ ,ｃｏｔｘ等 .但有些周期函数如常值函数、狄利克莱函数等均没有最小正周期 .那么 ,什么样的周期函数一定存在最小正周期呢 ?笔者至今未见有结果 .本文利用极限和函数连续的性质 ,给出了周期函数存在最小正周期的充分条件 .引理 1　设 {ａｎ}为数列 ,且ａｎ >0 ,ｌｉｍｎ∞ａｎ =0 .则对任意实数Ａ ,存在由 {ａｎ}的前ｎ项构成的整系数线性组合数列 {Ａｎ},其中Ａｎ=α1 ａ1 α2 ａ2 … αｎａｎ(ａｉ为整数 ,ｉ=1 ,2… ,ｎ) ,使得ｌｉｍｎ∞ Ａｎ=Ａ .…     

四、数列、极限、数学归纳法

知识要点］本章知识主要包括：数列的一般概念、通项、前ｎ项和公式的意义、数列｛ａｎ｝与｛Ｓｎ｝的关系;等差数列、等比数列的定义、判定、性质及其应用．数列的求和;数列极限的计算;数学归纳法及应用．本章的重点是等差数列和等比数列,有关数列的问题,大多要归结...     

一个极限问题的两种解法

针对第13届美国普特南数学竞赛的一道数列极限题,将原本不具有单调性质的数列转化为单调数列,并利用单调有界原理及数学归纳法,得出其极限,此方法可推广用以解决同类的一般性数列求极限.此外,此题也可采用不动点原理,简化计算过程.