关于复合函数的三个问题

复合函数是形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的函数 ,如 ｙ =ｌｏｇ3(ｘ2 -2ｘ 3 )由 ｙ =ｌｏｇ3ｕ ,ｕ =ｘ2-2ｘ 3复合而成 ;ｙ =( 3ｘ 1) - 13是由 ｙ =ｕ- 13,ｕ =3ｘ 1复合而成 ,ｙ =ａｓｉｎｘ(ａ >0且ａ≠ 1)由ｙ =ａｕ,ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 ,其中ｇ(ｘ) 称为内层函数 ,ｙ =ｆ(ｕ)称为外层函数 ,且均为基本函数 .关于复合函数一般有三个问题要研究 .1　已知 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式 ,求 ｆ(ｘ)的表达式 .例 1　已知 ｆ( 2ｘ -1) =ｘ2 (ｘ∈Ｒ) ,求ｆ(ｘ) 的表达式 .解法 1　 (换元法 )令 2ｘ -1=ｔ ,则ｘ =ｔ 12 .∴ ｆ(ｔ) =14 (ｔ 1) …     

对一道试题的剖析

有这样一道题 :已知ｆ(ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ17ｘ ,则ｆ( 12 )= .在解答时 ,我令ｓｉｎｘ =12 ,解出ｘ =ｋπ ( - 1) ｋπ6(ｋ∈Ｚ) ,然后将ｘ代入原式右边 ,求得ｆ( 12 ) =±32 .但是 ,根据函数的定义 ,当自变量取 12 时 ,在值域中只有唯一的值与之对应 ,现在却有± 32 两个函数值 ,这是怎么一回事呢 ?剖析　 1)上述的解法有错吗 ?由于函数 ｙ =ｆ(ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ17ｘ可以看作由外层函数 ｙ =ｆ(ｕ)与内层函数ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 .而ｕ =ｓｉｎｘ是多对一的函数 ,当ｕ =12 时 ,可得到多个ｘ值(ｘ =ｋπ ( - 1) ｋ π6,ｋ∈Ｚ) .上述解…     

反函数

反函数河北秦皇岛一中申晓群武汉市桥口区教研室徐川［基本概念］如果对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）的每一个确定的值ｙ０，自变量ｘ都有唯一确定的值ｘ０和ｙ０对应，那么，就可以得到一个以ｙ为自变量，以对应的ｘ值为函数的函数，记为ｘ＝ｆ－１（ｙ），这个函数叫做原来函数ｙ...     

一类最值互嵌问题的简捷解法

文 [1 ]探讨了最值互嵌问题 ,其中例 2涉及问题　设函数 ｆ(ｘ ,ｙ)对一切ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｂ有定义 ,求互嵌最值ｍｉｎｙ∈Ｂ ｍａｘｘ∈Ａｆ(ｘ ,ｙ) .通常是先确定Ｍ (ｙ) =ｍａｘｘ∈Ａ ｆ(ｘ ,ｙ)的解析式 ,再据此求最值 .但如文 [1 ]所述 ,确定Ｍ(ｙ)需经繁琐的分类讨论 ;当Ｍ (ｙ)较复杂时 ,求其最值亦非易事 .能否回避Ｍ (ｙ)而由 ｆ(ｘ ,ｙ)直接求解 ?本文提出一种有效方法 ,基于下述定理　设ａ∈Ａ ,ｂ∈Ｂ使一切ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｂ满足ｆ(ｘ ,ｂ)≤ｆ(ａ ,ｂ)≤ｆ(ａ ,ｙ) (1 )则函数 ｆ(ｘ ,ｙ)必有互嵌最值ｍｉｎｙ∈Ｂ ｍａｘｘ∈Ａｆ…     

复合函数求导法则的又一证明

复合函数的求导法则是求导运算的重要法则;对于ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,复合函数ｙ＝ｆ〔ｇ（ｘ）〕的求导法则的证明有一个很自然的想法：ΔｙΔｘ＝ΔｙΔｕ·ΔｕΔｘ,ｌｉｍΔｘ→０ΔｙΔｘ＝ｌｉｍΔｕ→０ΔｙΔｕ·ｌｉｍΔｘ→０ΔｕΔｘ;但是,当Δｘ→０时,Δｕ可能等于０,此时ΔｙΔｕ没有意义,所以上面很直接的想法行不通;一般的证明采取另外的方法［１］,［２］;本文仍从上面直观的想法出发,加以改进,得到了又一个证明;定理　若ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ可导,函数ｕ＝ｇ（ｘ）在ｘ可导,则复合函数ｙ＝ｆ〔ｇ（ｘ）…     

一类不宜提倡的问题

参考资料上常见如下类型的题目 :“若函数 ｙ =ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],则 ｙ=ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 .”本题目的实质是“已知ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,再求ｆ[(ｘ) ]的定义域”的问题 .其解法是∵ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],∴ - 2≤ｘ≤ 3.∴ｘ 1∈ [- 1,4 ].又由 - 1≤ 2ｘ - 1≤ 4　得 0≤ｘ≤ 52 .∴ｙ =ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 [0 ,52 ].上述解答中 ,由ｆ[ｇ(ｘ) ]定义域求ｆ(ｘ)定义域的过程中 ,用到了如下假设 :即内函数 ｇ(ｘ)的值域与外函数ｆ(ｘ)的定义域相等 .而此假设在复合函数中是不恒成立的 .众…     

一道反函数题从错解到简解

由错解、一般解到简解是一个辩明是非 ,逐步地认清概念 ,使思维不断优化的过程 .以下反函数问题便是一例 .题目　已知ｆ(ｘ) =2ｘ + 3ｘ -1,函数ｙ =ｇ(ｘ)的图像与ｙ =ｆ- 1 (ｘ + 1)的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,则ｇ(3 )等于 (　　 ) .(Ａ) 3　 (Ｂ) 72 　 (Ｃ) 92 　 (Ｄ) 113错解 1　∵　ｆ(ｘ) =2ｘ + 3ｘ -1且由已知得ｙ =ｇ(ｘ)与ｙ =ｆ- 1 (ｘ + 1)互为反函数 ,∴　ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ + 1) =2 (ｘ + 1) + 3(ｘ + 1) -1=2ｘ + 5ｘ ,故ｇ(3 ) =113 ,选 (Ｄ) .错解 2　∵　ｆ(ｘ + 1) =2 (ｘ + 1) + 3(ｘ + 1) -1,又ｙ =ｇ(ｘ)与ｙ =ｆ- 1 (…     

抽象函数的解法

一般常见的初等函数有解析式 ,把未给出解析式的函数称为抽象函数 .1　定义法　对于抽象函数及其应用的研究 ,常有如下方法 .从函数的单调性、奇偶性、周期性等定义出发来研究函数的性质 .例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ 时 ,ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) ,当ｘ >1时 ,ｆ(ｘ) >0 ,求证 :ｆ(ｘ) 在Ｒ 上为增函数 .分析 :从增函数的定义着手 ,结合关系式 ｆ(ｘｙ)=ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) 及已知条件导出结论 .证　在Ｒ 上任取ｘ1,ｘ2 ,且 0 <ｘ1<ｘ2 ,则 ｘ2ｘ1>1.∵ｘ >1,ｆ(ｘ) >0 ,ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) (1)∴ ｆ(ｘ2ｘ1) =ｆ(ｘ2 ·1ｘ1) =ｆ(ｘ2 ) …     

两类易混淆的含参问题辨析

说明 :解中 2 )和 3)用到一个基本原理 :若函数ｆ(ｘ) 在其定义域Ｄ上有最小值ｆ1和最大值 ｆ2 ,则ｆ(ｘ) <ｇ( ｙ) 在Ｄ上恒成立的充要条件是ｆ2 <ｇ( ｙ) ;ｆ(ｘ) >ｇ( ｙ)在Ｄ上恒成立的充要条件是ｆ1>ｇ( ｙ) .而要运用这一原理解决问题 ,关键在于要先分离变量 ,即将主变元与参数分离 ,化Ｆ(ｘ ,ｙ) >0型为ｆ(ｘ) >ｇ( ｙ) 或ｆ(ｘ) <ｇ( ｙ) 型 ,犹如例 1解中化原不等式为ｍ <2ｘ - 1ｘ2 - 1 或ｍ >2ｘ - 1ｘ2 - 1一样 .例 2　已知ｆ(ｘ) =- 3ｘ2 ｍ( 6 -ｍ)ｘ ｎ ,且ｆ(ｘ) =0的一根大于 1而另一根小于 1 .当常数ｎ >- 6时 ,求ｍ的取…     

求解带非线性边界条件的反应扩散方程数值解的组合迭代方法

1　引　　言我们首先考虑如下抛物型方程ｕｔ-ＤΔｕ =ｆ(ｘ ,ｔ ,ｕ) (ｔ∈ ( 0 ,Ｔ],ｘ∈Ω ) ｕ/ ν+ βｕ =ｇ(ｘ ,ｔ ,ｕ) (ｔ∈ ( 0 ,Ｔ],ｘ∈ Ω )ｕ(ｘ ,0 ) =ψ(ｘ) (ｘ∈Ω )( 1 .1 )其中Ｔ为正常数 ,Ω 是ＲＰ 空间的有界区域 记ＱＴ=Ω × ( 0 ,Ｔ],ＳＴ= Ω × ( 0 ,Ｔ],假设在ＱＴ上Ｄ≡ｄ(ｘ ,ｔ) >0 ,在ＳＴ 上β≡β(ｘ ,ｔ)≥ 0 又设 ｆ(ｘ ,ｔ,ｕ) ,ｇ(ｘ ,ｔ,ｕ)为关于ｕ的非线性函数 ,且对ｘ ,ｔ各参数满足Ｈ¨ｏｌｄｅｒ连续条件 将 ( 1 .1 )离散化之后我们得到相应的有限差分系统 ,当 ｇ(ｘ ,ｔ,ｕ)为ｕ的线性…     

综合题新编选登

题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

复合函数的性质及应用

复合函数这一概念,现行高中课本未直接定义．而复合函数的应用实例,在现行高中课本《代数》上册（以下简称课本）中大量出现．如　ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３）（课本Ｐ１００）;ｙ＝１６－５ｘ－ｘ２（课本Ｐ１０８）;ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（课本Ｐ１７８）;ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）（课本Ｐ３００）．在全国高考数学试题中,复合函数的应用问题成为命题热点．本文试对复合命题的性质作点介绍．设ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,则ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为复合函数．根据函数单调性的定义,容易得出下列结论．（１）若ｙ＝ｆ（ｕ…     

综合题新编选登

题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

一道错题的辨析

在高三复习中 ,我们遇到了下面一道题目 :设奇函数 ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ ,且 ｆ(1+ｘ) =ｆ(1-ｘ) ,当ｘ∈ (4,6 )时 ,ｆ(ｘ) =2 ｘ+ 1,则 ｆ(ｘ)在区间 (- 2 ,0 )上的表达式是 (　　 )(Ａ) ｙ =2 ｘ+ 4 . (Ｂ) ｙ =1- 2 4 -ｘ.(Ｃ) ｙ =- 2 ｘ- 1. (Ｄ) ｙ =- 2 4 -ｘ- 1.同学们得到两种答案 ,现介绍如下 .解法 1　由 ｆ(1+ｘ) =ｆ(1-ｘ) ,得 ｆ(ｘ) =ｆ(2-ｘ) .又由 ｆ(ｘ)是奇函数知 ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ) ,∴ｆ(2 +ｘ) =ｆ(-ｘ) =- ｆ(ｘ) (1)ｆ(4+ｘ) =ｆ(ｘ) (2 )当ｘ∈ (- 2 ,0 )时 ,6 +ｘ∈ (4,6 ) ,∴ｆ(6 +ｘ) =2 6 +ｘ+ 1.又由 (1) ,(2…     

“恒成立”与“恒有解”

1　含参数的式子 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下“在Ｒ上恒成立”与“在Ｒ上恒有解”是有区别的“ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下对于任意实数ｘ恒成立”是求此式在Ｒ上成为恒等式的条件 ,即参数的范围 .用函数的观点看 ,命题等价于“在什么条件下 (即参数取什么范围内的值时 ) ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)与函数 ｙ =ｇ(ｘ) 在Ｒ上是同一函数” .“ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下在Ｒ上恒有解”是求关于ｘ的方程有实数解的条件 .用函数的观点看 ,命题等价于“在什么条件下 (即参数的范围 ) ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) 与 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象总有交点” .显然 ,可以将…     

反函数的性质及应用

反函数是高中数学的重要知识点 ,也是难点 .本文主要系统介绍反函数的性质 ,并巧妙运用这些性质去解答相关的问题 .性质 1　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的定义域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的值域 ;函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的值域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的定义域 .性质 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象和它的反函数 ｙ=ｆ- 1(ｘ)的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .性质 3　若单调函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 互为反函数 .性质 4　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 若是单调函数 ,则它的反函数 ｙ =ｆ- 1(…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦函数、不等式、数列

(接第 1 8期Ｐ48)　　解答题1.由 ｆ(2 ) =ｇ(2 ) - 1知点 (2 ,1)是两函数图象的公共点 .假定 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ)的图象还有一个公共点(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｆ(ｘ0 ) =ｇ(ｘ0 ) =ｙ0 (1) ,ｌｇ3(1+ｘ0 ) =ｌｏｇ2 ｘ0 (ｘ0 >0 )即 1+ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,即 1+ 2 ｌｏｇ2 ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,令ｔ =ｌｏｇ2 ｘ0 ,∴ 1+ 2 ｔ=3ｔ,∴ (13) ｔ+ (23) ｔ=1(2 ) ,而 (13) ｔ+ (23) ｔ 为单调递减函数 ,故 (2 )仅一解ｔ =1,从而 (1)只有唯一解ｘ0 =2 .2 .1)由已知 ,将函数 ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ + 1)进行坐标变换ｘ→ｘ + 1,ｙ→ ｙ2 . 得 ｙ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 1…     

关于函数图象对称问题的相关命题研究

函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1　图象关于点对称问题的相关命题定理　奇函数ｙ=ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ｒ的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足ｆ(-ｘ)= -ｆ(ｘ)可写为ｆ(0 +ｘ) +ｆ(0 -ｘ) =0 ,ｘ∈Ｒ .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1　若一个函数ｙ =ｆ(ｘ)对任意ｘ∈Ｒ满足ｆ(ａ -ｘ) +ｆ(ａ+ｘ) =2ｂ,当且仅当它的图象关于点 (ａ,ｂ)成对称图形 .证明　设点Ｍ(ｍ ,ｎ)为函数ｆ(ｘ)图象上任意一点 ,它关于点 (ａ ,ｂ)的对称…     

高三复习综合测试题

选择题 (共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .每小题给出四个选项 ,只有一项符合题目要求 )1　“ｘ∈Ａ∩Ｂ”不成立的意思是指 (　　 )(Ａ)ｘ Ａ且ｘ Ｂ . (Ｂ)ｘ Ａ∪Ｂ .(Ｃ)Ａ∈Ａ∪Ｂ . (Ｄ)ｘ∈Ａ但ｘ Ｂ .2　曲线Ｃ是定义在Ｒ上的奇函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象 ,则下列说法正确的是 (　　 )(Ａ)曲线Ｃ与直线ｘ =1可能有两个交点 .(Ｂ)曲线Ｃ与直线ｘ =1有且只有一个交点 .(Ｃ)曲线Ｃ与直线 ｙ =1不可能有两个以上交点 .(Ｄ)曲线Ｃ与直线 ｙ =1有且只有一个交点 .3　设 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的任一增函数 ,Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) -ｆ(-ｘ) ,那么…