求辐角主值的三种方法

例　已知ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ( 0 <θ <π2 ) ,求ａｒｇ(ｚ2 -ｚ) .分析 1:由复数的代数式与三角式的关系 :ａ ｂｉ=ｒｃｏｓθ ｉ·ｒｓｉｎθ ,知辐角θ的主值可由ｔｇθ =ｂａ及点 (ａ ,ｂ)所在的象限确定 .笔者首推这一方法 .解法 1　设ｚ2 -ｚ =(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 2 - (ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) =ｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ ｉ(ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθ)的辐角主值为α ,则ｔｇα =ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ=2ｃｏｓ3θ2 ｓｉｎ θ2- 2ｓｉｎ3θ2 ｓｉｎ θ2=-ｃｔｇ3θ2 =ｔｇ( π2 3θ2 ) .由 0 <θ <π2 ,知 π2 <…     

等式sum from n=1 to ∞(1/n~4=π~4/90)的初等证明

本文利用初等方法证明∑∞ｎ =11ｎ4 =π490 .1　几个引理引理 1　 ∑∞ｎ =1ｃｏｔ2 ｎπ2ｍ+1 =13 ｍ(2ｍ-1 ) ,∑ｍｎ ,ｌ =1ｎ<ｌｃｏｔ2 ｎπ2ｍ +1 ｃｏｔ2 ｌπ2ｍ +1=13 0 ｍ (ｍ -1 ) (2ｍ -2 ) (2ｍ-3 ) .其中ｍ、ｌ、ｎ等均表示整数 ,下同 .证明　由ｄｅ·Ｍｏｖｒｅ公式得ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ +1 )α=(ｃｏｓα+ｉｓｉｎα) 2ｍ+1于是 ,ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ+1 )α=∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ2ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) +1αｓｉｎ2ｋα+ｉ∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ+12ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) αｓｉｎ2ｋ+1α. (1 )比…     

正n边形所有对角线与边长的2p次方幂和

关于半径为Ｒ的圆内接正ｎ边形所有对角线和边长的 2 ｐ ( ｐ∈Ｎ)次方幂的和 ,文[1 ]研讨了 ｐ <ｎ且ｎ为大于 3的偶数时的情形 ,文 [2 ]进一步得到 ｐ <ｎ时的情形 ,但当 ｐ≥ｎ时的情形 ,没有解决 ,本文给出 ｐ∈Ｎ时的情形 .引理　设ｄ表示半径为Ｒ的圆内接正ｎ边形Ａ1Ａ2 Ａ3 …Ａｎ 的任意一个顶点到其余各顶点距离的 2 ｐ ( ｐ∈Ｎ)次方幂的和 ,则ｄ =ｎＲ2 ｐ ∑[ｐｎ]ｔ=- [ｐｎ]( - 1 ) ｔｎＣｐ -ｔｎ2 ｐ .证　∵顶点Ａｎ 按逆时针方向到顶点Ａｋ(ｋ =1 ,2 ,3,… ,ｎ - 1 )的弧ＡｎＡｋ所对的圆周角为ｋπｎ,由正弦定理 ,得Ａｎ…     

组合数的又一性质——由《概率论》中离散型随机变量的分布列的性质想到的

初等数学中关于组合数有两条性质 :Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 及Ｃｍｎ+1 =Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1 ｎ ,组合数还有如下性质 :定理　若ｍ ,ｎ ,ｋ∈Ｎ ,且ｍ≤ｎ ,ｍ≤ｋ ,则有Ｃｍｎ+ｋ =∑ｉ+ｊ=ｍＣｉｎＣｊｋ这里先回顾一下《概率论》中离散型随机变量的分布列所具有的性质 :设 ζ为一离散型随机变量 ,它所有可能取的值为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,事件 { ζ=ｘｉ}的概率为ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .即Ｐ{ ζ=ｘｉ} =ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ①式①为离散型随机变量 ζ的分布列 ,它可用表格的形式绘出 (表 1 )表 1ζ ｘ1 ｘ2 … ｘｎＰ ｐ1 ｐ2 … ｐｎ　　任一…     

构造法分析一高考函数题的单调性

20 0 0年高考 (理工农医类 )第 19题第Ⅱ问 :“设函数ｆ(ｘ) =ｘ2 1-ａｘ ,其中ａ >0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ)在 [0 , ∞ )上是单调函数 .”1　转化为等价问题处理若令ｘ =ｔｇθ ,θ∈ (-π2 ,π2 ) ,则高考题等价于 :设函数ｇ(θ) =(1-ａｓｉｎθ)ｃｏｓθ ,其中ａ>0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｇ(θ)在 [0 ,π2 )上是单调函数 .下面用构造法比较直观地给出等价问题的分析 :ｇ(θ) =(-ａ)·(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ =(-ａ)·ｋ(θ) ,其中ｋ(θ) =(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ ,ａ >0 ,θ∈[0 ,π2 ) .构造两点Ｍ (0 ,1ａ) ,Ｎ (ｃｏｓ…     

分母含组合数的两类幂和的递推求解

文 [1 ]用递推的方法求解了两类幂和∑ｎｋ =1Ｃｋｎｋｍ 与∑ｎｋ =1Ｃｋｎ+ｋｋｍ,本文用类似方法求解另两类有趣的幂和 ∑ｎｋ=1(-1 ) ｋｋｎ/Ｃｋｎ 与 ∑ｎｋ=1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ.定理 1　记Ｓｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1(-1 ) ｋｋｍ/Ｃｋｎ(ｍ ,ｎ∈Ｎ) ,则Ｓｍ(ｎ) =(ｎ+1 ) ∑ｍｉ=0(-1 ) ｉ+1ＣｉｍＳｍ-ｉ- 1(ｎ+1 ) (1定理 2　设Ｔｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ,(ｍ ,ｎ ∈Ｎ) ,则∑ｍｉ=1(-1 ) ｉ(Ｃｉｍ-ｎＣｉ- 1ｍ )Ｔｍ-ｉ(ｎ) =(-1 ) ｍ+1+((-1 ) ｍ-ｎｍ) /Ｃｎ2ｎ (2 )分母含组合数的两类幂和的递推求解@郑德印$淮北煤炭师范学院…     

三角函数的n倍角公式及应用

命题　设ｎ (ｎ≥ 2 )为自然数 ,则　ｓｉｎｎｘ =∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2ｊ 1ｎ ( - 1 ) ｊ　·ｓｉｎ2ｊ 1ｘｃｏｓｎ -2ｊ-1ｘ ( 1 )　ｃｏｓｎｘ =∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2 ｊｎ( - 1 ) ｊｓｉｎ2 ｊｘｃｏｓｎ -2 ｊｘ( 2 )　ｔｇｎｘ =∑0≤ｊ≤ ｍ2( - 1 ) ｊＣ2ｊ 1ｎ ｔｇ2ｊ 1ｘ∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2 ｊｎ( - 1 ) ｊｔｇ2 ｊｘ ( 3)证　ｃｏｓｎｘ ｉｓｉｎｎｘ =(ｉｃｏｓｘ ｓｉｎｘ) ｎ　 =∑0≤ｋ≤ｍ Ｃｋｎｉｋｓｉｎｋｘｃｏｓｎ -ｋｘ　 =∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2ｊｎ( - 1 ) ｊｓｉｎ2ｊｘｃｏｓｎ -2ｊｘ　　 (∑0≤ｊ≤ ｍ2Ｃ2ｊ 1ｎ ( - 1…     

关于组合数的一项性质

对于∑ｎｉ =0(- 1 ) ｉＣｉｎ =0相信大家都很熟悉 ,但笔者发现 ,该式可推广成 ∑ｎｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｎ =0 (ｋ≤ｎ - 1且ｋ∈Ｎ) .证明　 (1 )当ｎ=2时 ,ｋ=1左边 =∑2ｉ=0ｉ(- 1 ) ｉＣｉ2 =- 2 2 =0 =右边等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｔ时 ,对于 1≤ｋ≤ｔ- 1　ｋ∈Ｎ等式均成立 ,那么当ｎ=ｔ 1时 :左边 =∑ｔ 1ｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｔ 1=∑ｔ 1ｉ=1ｉｋ(- 1 ) ｉｔ 1ｉ Ｃｉ- 1 ｔ 0=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(ｊ 1 ) ｋ- 1 · (- 1 ) ｊＣｊｔ(令ｊ =ｉ- 1 )=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(∑ｋ-1ｕ =0(Ｃｕｋ- 1 ·ｊｕ)·(- 1 ) ｊＣｊｔ=- (ｔ…     

数学问题解答

20 0 3年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 1　求大于 1的整数ｋ,使ｆ(ｘ) =ｓｉｎｋｘ·ｓｉｎｋｘ+ｃｏｓｋｘ·ｃｏｓｋｘ-ｃｏｓｋ2ｘ为常值函数 .(湖北省襄樊市一中　王必廷　 441 0 0 0 )解　取ｘ=0 ,得ｆ(0 ) =0 ,故ｆ(ｘ) =0取ｘ =π/ｋ ,则ｓｉｎπ·ｓｉｎｋ πｋ +ｃｏｓπ·ｃｏｓｋ πｋ -ｃｏｓｋ2πｋ =0所以 -ｃｏｓｋ πｋ =ｃｏｓｋ2πｋ所以ｋ为奇数 ,且 -ｃｏｓ πｋ =ｃｏｓ2πｋ所以ｃｏｓ2πｋ =ｃｏｓπ - πｋ所以π- πｋ =2ｎπ±2πｋ所以 1ｋ =2ｎ - 1或3ｋ =1 - 2ｎ　　ｎ∈ｚ所以ｋ=1或 3经检验知…     

一个三角函数的最小上界

第 1 9届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题 :求证 :对任意的实数ｘ,ｙ,ｚ,有下面的不等式ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ+ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<32 (1 )成立 .文[1 ]对(1 )做了推广 ,给出一个一般性的结果 :命题 1　设ｘ,ｙ,ｚ∈ 0 ,π2 ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,则ｓｉｎｍｘｃｏｓｎｙ+ｓｉｎｍｙｃｏｓｎｚ+ｓｉｎｍｚｃｏｓｎｘ<1 +ｍｍｎｎ(ｍ+ｎ) ｍ+ｎ (2 )并根据 (2 )将 (1 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ +ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ +ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<1 +2 39≈ 1 3 85 (3 )本文进一步将 (3 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉ…     

一道全国联赛题的别解

1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数ａ ,ｂ ,ｃ .已知复数ｚ1 ,ｚ2 ,ｚ3满足 :|ｚ1 |=|ｚ2 |=|ｚ3|=1.ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式ｅｉθ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解　令ｚ1 =ｃｏｓθ1 ｉｓｉｎθ1 ,ｚ2 =ｃｏｓθ2 ｉｓｉｎθ2 ,ｚ3=ｃｏｓθ3 ｉｓｉｎθ3,则ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=ｃｏｓ(θ1 -θ2 ) ｃｏｓ(θ2 -θ3) ｃｏｓ(θ3-θ1 ) [ｓｉｎ(θ1 -θ2 ) ] ｓｉｎ(θ2-θ3) ｓｉｎ(θ3…     

关于无穷级数等式sum from n=1 to ∞( 1/n~2)=π~2/6的证明

无穷级数是数学分析、微积分、高等数学等课程的重要组成部分 ,它在组合数学、近似计算、敛散性判断等领域中起着不可估量的作用 .本文按照初等数学与高等数学相结合的原则 ,收集整理了无穷级数∑∞ｎ =11ｎ2 =π26 的二种证明方法 ,为同学们学习提供一些参考 .证法一　棣莫佛公式法 (ＤｅＭｏｉｖｅｒ)将ＤｅＭｏｉｖｅｒ公式 (ｃｏｓα+ｉｓｉｎα) ｋ =ｃｏｓｋα+ｉｓｉｎｋα按二项式定理展开为ｃ0ｋｃｏｓｋα +ｃ1 ｋｃｏｓｋ- 1 α·ｉｓｉｎα -ｃ2 ｋｃｏｓｋ- 2 α·ｓｉｎ2 α +… +ｃｋｋ(ｉｓｉｎα) ｋ =ｃｏｓｋα+ｉｓｉｎ…     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

一道三角函数求值题

一道题从不同的角度出发 ,会有不同的解法 ,这样做有利于开阔解题思路 ,总结解题规律 .下面是本人对一道三角函数求值问题的多种解法 .题目　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =15,θ∈ [0 ,π]那么ｃｔｇθ = .思路 1　最容易想到的是知道角的大小求值 .解法 1　由 15=ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2ｓｉｎ(θ π4 )得θ =ｋπ - π4 ( - 1) ｋａｒｃｓｉｎ 210 ,∵θ∈ ( 0 ,π) ,∴θ =34π -ａｒｃｓｉｎ 210 .∴ｃｔｇθ=ｃｔｇ( 34π -ａｒｃｓｉｎ 210 ) =- 34.本人认为 ,这种解法计算繁琐 ,容易出错 ,一般不采用 .思路 2　另一种直接的方法是从定…     

一道竞赛题的又一解法

题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,不等式ｘ2 ｃｏｓθ -ｘ( 1-ｘ) ( 1-ｘ2 )ｓｉｎθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .这是 1999年高中联赛一试中的第三题 ,属于带有参数的不等式在某区间上恒成立的问题 .参考答案给出一构造性的解法 ,但湖北赛区未发现一人按此法解答 .下面给出一种更自然 ,让学生容易上手的解法 .图 1　例题图解　将ｘ2 ｃｏｓθ -ｘ( 1-ｘ) ( 1-ｘ) 2 ｓｉｎθ >0整理得( 1 ｓｉｎθ ｃｏｓθ)ｘ2 ( -1-2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ >0 .设ｆ (ｘ) =( 1 ｓｉｎθ ｃｏｓθ)ｘ2 ( -1-2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ .∵原不等式在ｘ∈ […     

高一期末复习自测题

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.角θ满足条件ｓｉｎ2θ <0 ,ｃｏｓθ -ｓｉｎθ <0 ,则θ在 (　　 )(Ａ)第一象限 .　　 (Ｂ)第二象限 .(Ｃ)第三象限 .　　 (Ｄ)第四象限 .2 .已知Ａ(1,- 2 ) ,Ｂ(2 ,1) ,Ｃ(0 ,ｋ)三点共线 ,则ｋ的值为 (　　 )(Ａ) 7.　　　　　　 (Ｂ) - 5 .(Ｃ) 53. (Ｄ) 3.3.已知ｓｉｎθ +ｃｏｓθ =15 ,θ∈ (0 ,π) ,则ｃｏｔθ的值为 (　　 )(Ａ) 34.　　　　　 (Ｂ) - 34.(Ｃ)± 34. (Ｄ) - 43.4 .下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若 | ａ …     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

FTT不等式的一个简单证明及其发现过程

四十多年前 ,Ｋ .Ｆａｎ ,Ｏ .Ｔａｕｓｓｋｙ和Ｊ .Ｔｏｄｄ发现并证明了如下两个优美的初等不等式[1] :设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 皆为实数 ,1°　若ａ0 =ａｎ 1=0 ,则2 (1-ｃｏｓ πｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎ 1ｋ =1(ａｋ-ａｋ- 1) 2 (1)等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .2°　若ａ0 =0 ,则2 (1-ｃｏｓ π2ｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎｋ =1(ａｋ-ａｋ - 1) 2 (2 )等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπ2ｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .1982年 ,Ｇ .Ｖ .Ｍｉｌｏｖａｎｏｖｉｃ和Ｉ.…     

一道高考复数试题的变式研究

1999年全国高考第20题:设复数ｚ=3ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ.求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ值.下面以本题为原型进行变式研究.变式1　设复数ｚ=ａｃｏｓθ ｉｂｓｉｎθ(ａｂ为常数且ａ>ｂ>0).求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.解　?..