棱台体积公式的再推导

文 [1 ]运用“斜截三棱柱”的体积公式给出了棱台体积公式的新推导 ,受其启发 ,本文再借助著名的斯坦纳定理给出三棱台体积公式的一种独特新颖的推导方法 .图 1　定理图斯坦纳定理　如图1 ,设四面体ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ａ ,ＣＤ =ｂ ,对棱ＡＢ ,ＣＤ间的夹角为θ ,距离为ｄ ,则其体积为 :　Ｖ =16 ａｂｄｓｉｎθ .(证明详见本刊 1 999年第 1 2期Ｐ11)问题　已知棱台ＡＢＣ ＤＥＦ中 ,Ｓ△ＡＢＣ=Ｓ1,Ｓ△ＤＥＦ=Ｓ2 ,高为ｈ ,试推导三棱台的体积公式 .图 2　解问题用图解　如图 2 ,设ＡＢ =ａ1,ＢＣ =ｂ1,ＤＥ =ａ2 ,ＥＦ=ｂ2 ,∠ＡＢＣ =θ…     

四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…     

例说用补形法求多面体的体积

所谓补形法 ,即以已知的几何体为基础 ,将其补形成为更好利用已知条件的几何体 ,从而使问题获解的方法 .这种方法在求多面体体积时经常用到 .1　将锥体补成锥体例 1　已知两条异面直线段的长分别为ａ ,ｂ ,夹角为θ,距离为ｈ ,求以此两条异面直线段为对棱的四面体的体积 .解　如图 1,四面体ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ａ ,ＣＤ =ｂ ,ＡＢ与ＣＤ的夹角为θ ,距离为ｈ ,过Ｂ作ＢＥ∥ＤＣ ,过Ｃ作ＣＥ∥ＤＢ交ＢＥ于Ｅ ,连ＡＥ ,则∠ＡＢＥ =θ或π -θ .因为ＣＤ∥平面ＡＢＥ ,图 1　例 1解答用图∴ＡＢ与ＣＤ的距离为ｈ ,即点Ｃ到平面ＡＢＥ的距离为…     

一个体积命题的推广与应用举例

命题：如果一个斜三棱柱的一个顶点上的三条棱长分别为ａ、ｂ、ｃ,这三条棱两两所成的角分别为α、β、γ,那么这个斜三棱柱的体积为ａｂｃｓｉｎα＋β＋γ２ｓｉｎα＋β－γ２ｓｉｎβ＋γ－α２ｓｉｎγ＋α－β２．证明：如图１,设斜三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１,ＡＢ＝ａ,ＡＣ＝ｂ,ＡＡ１＝ｃ,∠ＢＡＣ＝α,∠Ａ１ＡＢ＝β,∠Ａ１ＡＣ＝γ．１Ｃ１ＢＣ′１ＡＡ′Ａ图１ＣＢＢ′在侧棱Ａ１Ａ上任取一点Ａ′,在侧面Ａ１Ｂ内作Ａ′Ｂ′⊥Ｂ１Ｂ于点Ｂ′,在侧面Ａ１Ｃ内作Ａ′Ｃ′⊥Ｃ１Ｃ于点Ｃ′,连结Ｃ′Ｂ′,则截面Ａ′Ｂ…     

三角知识在立体几何中的应用

立体几何是研究空间图形的性质的一门学科,在处理线线、线面、面面的位置关系时,常要用到三角的有关知识来解决.1　三角函数性质的应用例1　(北京市高一数学竞赛,1993)在三棱锥ＡＢＣＤ中,∠ＤＡＢ ∠ＢＡＣ ∠ＤＡＣ=90°,∠ＡＤＢ=∠ＢＤＣ=∠ＡＤＣ=90°,若ｃｏｓ70°=0.3420.试证:二面角ＡＢＣＤ的度数大于70°.证　如图,设ＤＢ=ａ,ＤＣ=ｂ,ＤＡ=ｘ.图1　例1图　　　图2　例1展开图剪开ＤＡ,ＤＢ,ＤＣ展开在平面上,则∠Ｄ1ＡＤ2=90°,Ｄ1Ａ=Ｄ2Ａ=ｘ,延长Ｄ1Ｂ,Ｄ2Ｃ交于Ｋ,则ＡＤ1ＫＤ2为正方形.ＢＫ=ｘ-ａ,ＣＫ=ｘ-ｂ,ＢＣ=ａ2 ｂ2,由…     

初三几何第一学期期中自测题

Ａ组一.选择题(每小题3分,共30分)1.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ａ,ｂ,ｃ分别是∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ的对边,下列关系式中错误的是(　).Ａ.ｂ=ｃ·ｃｏｓＢ　　　　Ｂ.ｂ=ａ·ｔｇＢＣ.ａ=ｃ·ｓｉｎＡ　Ｄ.ａ=ｂ·ｃｔｇＢ2.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ＡＣ=3,ＢＣ=4,则ｃｏｓＡ=(　).Ａ.34　　Ｂ.35　　Ｃ.43　　Ｄ.453.当锐角Ａ>60°时,ｓｉｎＡ的值(　).Ａ.小于12　　　　　　Ｂ.大于12Ｃ.小于32Ｄ.大于324.如果∠Ａ为锐角,且ｃｏｓＡ=35,那么(　).Ａ.0°<∠Ａ≤30°　　Ｂ.30°<∠Ａ≤45°Ｃ.45°<∠Ａ≤60°　Ｄ.60°<∠Ａ≤90°5.已和α…     

构造几何模型证明两个三角不等式

题 1　若α、β、γ均为锐角 ,且满足ｃｏｓ2 α+ｃｏｓ2 β +ｃｏｓ2 γ=1.求证 :ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ≥ 32 .证明　如图 1,设以ａ、ｂ、ｃ为三度的长方体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的对角线ＡＣ1 与三条棱ＡＤ、ＡＢ、ＡＡ1 所成角分别为α、β、γ ,则　　ｃｔｇα=ＡＤＤＣ1=ａｂ2 +ｃ2 ,ｃｔｇβ=ＡＢＢＣ1 =ｂａ2 +ｃ2 ,　　ｃｔｇγ=ＡＡ1 Ａ1 Ｃ1=ｃａ2 +ｂ2 ,∴　ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ　 =ａ2ｂ2 +ｃ2 +ｂ2ａ2 +ｃ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2　 =ａ2 +ｂ2 +ｃ2ｂ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2 -3　 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) ( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　 =12 [(ｂ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｂ2 ) ]&;#183;( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　≥ 12 [(ｂ2 +ｃ2 )&;#183; 1ｂ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｃ2 )&;#183; 1ａ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｂ2 )&;#183; 1ａ...     

延展平面 完善图形 突破难点

20 0 1年全国高考立体几何题如下 :高考题　如图 1,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 .1)求四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的体积 ;2 )求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成的二面角的正切值 .笔者参加了安徽省 2 0 0 1年高考阅卷工作 ,发现不少学生在解答本题第二问时 ,采用了如下解法 .图 1　高考题图解法 1:先证△ＳＡＢ是△ＳＤＣ在面ＳＡＢ上的射影 ,再求出△ＳＡＢ ,△ＳＤＣ的面积 ,利用射影面积公式ｃｏｓθ =Ｓ△ＳＡＢＳ△ＳＤＣ,求得ｃｏｓθ ,最后求出正切值 .图 2　高考题解…     

一道立体几何习题的引伸

统编教材《立体几何》习题八中有这样一道题 ,求证 :平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得截面是平行四边形 .此题易用直线与平面平行的性质证明 .下面通过此题的演变发现其与一道数学竞赛题的联系 ,从中领悟基础与能力、课内与课外的关系如何处理 .图 1　例 1图例 1　四面体ＡＢＣＤ中 ,已知对棱ＡＢ ,ＣＤ的长分别为ａ ,ｂ,ＡＢ ,ＣＤ所成角为θ ,截面ＥＦＧＨ平行于对棱ＡＢ和ＣＤ(Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ在其它四条棱上 ) .1)试求截面在什么位置时面积最大 ?2 )求截面周长的取值范围 .(如图 1)1)解法 1　由习题知截面ＥＦＧＨ为平行四边…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

初二几何第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ＡＢＣＤ的面积是 16ｃｍ2 ,Ｐ是ＡＢ边上的任意一点 ,△ＣＰＤ的面积是 .2 .已知ａ =1,ｂ =2 ,ｃ=3,它们的第四比例项ｄ =;ａ ,ｃ的比例中项ｘ =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12ｃｍ2 ,则菱形的周长为 .4 .已知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线 ,△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的面积的比是 2∶3,则ＡＢ∶ＡＣ =.5.已知 :如图 1,在△ＡＢＣ中 ,Ｅ ,Ｆ分别是ＡＢ ,ＡＣ的中点 ,延长ＢＣ到Ｄ ,使ＣＤ =13ＢＣ ,ＤＥ交ＡＣ于Ｏ ,则ＣＤ∶ＥＦ =,ＯＣ∶ＯＡ =.6 .如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

2002年第四期初中数学问题解答

一、已知ａ <0 ,-1 <ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <ｂ <0 ,∴ｂ<ｂ2 <1 .又ａ<0 ,　∴ａｂ >ａｂ2 >ａ .二、如果二次不等式ａｘ2 +8ａｘ+2 1 <0的解是 -7<ｘ <-1 ,求ａ的值 .解 :考虑二次函数ｙ =ａｘ2 +8ａｘ +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ｏｘ轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1ａ .∴ａ=3 .答 :略 .三、在△ＡＢＣ中 ,∠ＣＢＡ =72° ,Ｅ是边ＡＣ的中点 ,Ｄ在ＢＣ边上且 2ＢＤ =ＤＣ ,ＡＤ与ＢＥ交于Ｆ ,求△ＢＤＦ和四边形ＦＤＣＥ的面积之比 .解 :过Ｅ作ＥＧ∥ＡＤ交…     

一道不等式的几何证法

题 1　在锐角三角形ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1　证法 1图证 [方法 1]　设△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ(由于△ＡＢＣ为锐角三角形 ,Ｏ在△ＡＢＣ内部 ) ,设其直径为 1,连结ＡＯ ,ＢＯ ,ＣＯ并延长交⊙Ｏ分别于Ｄ ,Ｅ ,Ｆ .顺次连结Ａ ,Ｆ ,Ｂ ,Ｄ ,Ｃ ,Ｅ ,Ａ .设△ＡＢＣ三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ.∠ＢＡＣ ,∠ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ简记为∠Ａ ,∠Ｂ ,∠Ｃ .∵∠Ａ =∠ＢＥＣ ,在Ｒｔ△ＢＥＣ中 ,ｓｉｎ∠ＢＥＣ =ａ ,ｃｏｓ…     

名校基础知识自测

★高一年级一、选择题1 .已知△ＡＢＣ中 ,若ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ ,则必有 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ　　　 (Ｂ)ｃｏｓＡ >ｃｏｓＢ(Ｃ)ｃｏｓＡ <ｃｏｓＢ (Ｄ)ｔａｎＡ >ｔａｎＢ或ｔａｎＡ <ｔａｎＢ2 .在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＣ =1 ,Ｓ△ＡＢＣ =3 ,则ａ +ｂ +ｃｓｉｎＡ +ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ=(　　 ) .(Ａ) 3 3　 (Ｂ) 2 3 93 　 (Ｃ) 2 633 　 (Ｄ) 3 923 .已知△ＡＢＣ中的三边为ａ ,ｂ ,ｃ,且ａ -ｂ =Ｃ·ｃｏｓＢ-Ｃ·ｃｏｓＡ ,则△ＡＢＣ为 (　　 ) .(Ａ)直角三角形　　　 (Ｂ)等腰三角形(Ｃ)等腰直角三角形　 (Ｄ)等腰或直角三…     

值得注意的一点

题　已知△ＡＢＣ的外接圆半径为 6 ,ａ ,ｂ ,ｃ分别是角Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对应的边 ,角Ｂ ,Ｃ和面积Ｓ满足条件Ｓ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 且ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ =43,求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解　由余弦定理 ,得ａ2 =ｂ2 +ｃ2 -2ｂｃｃｏｓＡ ,即ａ2 =(ｂ -ｃ) 2 + 2ｂｃ( 1 -ｃｏｓＡ) ( 1 )又∵Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　ｓｉｎＡ =4 ( 1 -ｃｏｓＡ) ,∴1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,∴ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又∵ｓｉ…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

对一道习题答案的思考

高中数学课本 (试验修订本 )第一册 (下 )第 10 3页第 7题 :已知向量ａ→ ,ｂ→ ,求作向量ｃ→ ,使得ａ→ +ｂ→ +ｃ→=0 →,表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形吗 ?教参给出的答案是可以构成三角形 ,严格地说 ,答案是错误的 .图 1　辨析用图如图 ,令ＯＡ =ａ→ ,ＡＢ→=ｂ→ ,ＢＯ→ =ｃ→ .此时向量ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 共线 ,虽然满足ａ→ +ｂ→ +ｃ→=ＯＡ +ＡＢ +ＢＯ =0 →,但显然有向线段ＯＡ ,ＡＢ ,ＢＯ不能构成三角形 ,所以答案应该是不一定构成三角形 .那么若表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形 ,图 2　辨析用…