“由反函数的定义域求给定函数的值域法”是错误的

若已知函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)是函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,那么 ,由函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)的定义域求得函数ｙ=ｆ(ｘ)的值域是无可非议的 .但是现在许多高中数学课外读物 (甚至教材[1 ] 上所介绍的“由反函数的定义域求给定函数的值域”法却值得商榷 .1　“由反函数的定义域求给定函数的值域法”在理论和实践上的失误以下两例 (或类似的例题 )常常被引为“由反函数的定义域求给定函数的值域法”的典型例题 :例 1　求函数ｙ =2ｘｘ 2 (ｘ≠- 2 )①的值域 .解　因为函数①的反函数是ｙ=2ｘ2 -ｘ它的定义域是 :(-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ ) .所以函数①的值…     

反函数的性质及应用

反函数是高中数学的重要知识点 ,也是难点 .本文主要系统介绍反函数的性质 ,并巧妙运用这些性质去解答相关的问题 .性质 1　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的定义域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的值域 ;函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的值域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的定义域 .性质 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象和它的反函数 ｙ=ｆ- 1(ｘ)的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .性质 3　若单调函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 互为反函数 .性质 4　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 若是单调函数 ,则它的反函数 ｙ =ｆ- 1(…     

反函数教学问答

现将反函数教学中学生感到困惑的一些问题,作一些回答。不对之处望指正。一、问:函数x=∫~(-1)(y)和函数y=∫~(-1)(x)是同一个函数,还是两个不同的函数? 答:是同一个函数。因为函数三要素是定义域、值域及定义域对值域上的映射。而对使用什么字母作自变量,什么字母表示函数并没有限制。当没有指明函数的定义域时.一般是指使表达式有意义的自变量构成的集合。在函数x=∫~(-1)(y)和函数y=∫~(-1)(x)中,定义域都是使其有意义的实数的集合,从而相等,且映射相同,值域也就相同了。但是,如果将x=∫~(-1)(y)和y=∫~(-1)(x)作为方程看,这两者就不是同一个方程了,若x=u y=v是x=∫~(-1)(y)的解,则x=v y=u才是y=∫~(-1)(x)的解。     

关于反函数教学的若干思考

关于反函数教学的若干思考高吉全（上海市松江四中２０１６０１）１关于反函数的概念什么是反函数？人教版统编高中教材《代数》上册指出：“一般地，式子ｙ＝ｆ（ｘ）表示ｙ是自变量ｘ的函数，设它的定义域为人值域为Ｃ，我们从式子ｙ＝ｆ（ｘ）中解出ｘ，得到式子如果对...     

论函数与其反函数的图象的公共点

我们知道 ,单调函数都存在反函数 ,且反函数与原函数具有相同的增减性 ;互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,但是它们的图象不一定有公共点 ,如函数ｙ =2 ｘ 与ｙ =ｌｏｇ2 ｘ的图象就没有公共点 .如果互为反函数的两个函数的图象有公共点 ,那么公共点是否一定在直线 ｙ =ｘ上呢 ?例 1　求下列函数的反函数 ,以及原函数与其反函数的图象的公共点 .1) ｆ(ｘ) =ｘ3 ;( 2 ) ｇ(ｘ) =-ｘ3.解　 1)由 ｙ =ｘ3,得ｘ =3 ｙ.因此函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 的反函数为 ｆ-1 (ｘ) =3 ｘ .解方程组 ｙ =ｘ3,ｙ =3 ｘ .消去ｙ ,得 :ｘ3 =3 ｘ .两边…     

一类不宜提倡的问题

参考资料上常见如下类型的题目 :“若函数 ｙ =ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],则 ｙ=ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 .”本题目的实质是“已知ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,再求ｆ[(ｘ) ]的定义域”的问题 .其解法是∵ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],∴ - 2≤ｘ≤ 3.∴ｘ 1∈ [- 1,4 ].又由 - 1≤ 2ｘ - 1≤ 4　得 0≤ｘ≤ 52 .∴ｙ =ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 [0 ,52 ].上述解答中 ,由ｆ[ｇ(ｘ) ]定义域求ｆ(ｘ)定义域的过程中 ,用到了如下假设 :即内函数 ｇ(ｘ)的值域与外函数ｆ(ｘ)的定义域相等 .而此假设在复合函数中是不恒成立的 .众…     

对中学数学中函数值域问题的思考

1　问题的提出我们先从两个例子谈起例 1　求函数ｙ=(2ｘ 1 ) / (ｘ- 1 )的值域解　ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )的反函数是ｙ=(ｘ 1 ) / (ｘ- 2 ) ,反函数的定义域是 {ｘ｜ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 2 } ,所以函数ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )的值域是 {ｙ｜ｙ∈Ｒ ,ｙ≠ 2 } .例 2　求函数ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )的反函数解　由ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 )得ｘ=(ｙ 1 ) / (ｙ- 2 ) ,又ｙ =(2ｘ 1 ) / (ｘ - 1 ) =2 3/ (ｘ- 1 )≠ 2 ,原函数的值域是 (-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ )即为反函数的定义域 ,所以要求的反函数是 :ｙ=(ｘ 1 ) / (ｘ- 2 ) (ｘ≠ 2 ) .这…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

自反函数初探

本文探讨反函数为其自身的函数的特征与构造．１定义：定义域为Ａ的函数ｙ＝ｆ（ｘ）存在反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,若对任意ｘ∈Ａ,恒有ｆ（ｘ）＝ｆ－１（ｘ）,则称函数ｙ＝ｆ（ｘ）为自反函数．显然,自反函数的定义域与值域相等．２特征定理１：若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在...     

例说分段函数若干问题的求解

所谓“分段函数” ,是指在其定义域中 ,对于自变量的不同取值范围 ,对应法则不同的函数 .分段函数是一个函数 ,而不是几个函数 ,其定义域是各段定义域的并集 ,值域也是各段值域的并集 .1　如何求分段函数的函数值这个问题的关键是先要确定所给自变量的值在定义域中的哪一段内 ,再按相应的对应法则求值 .例 1　设 ｆ(ｘ) =3ｘ2 - 4π0　(ｘ >0 ) ,(ｘ =0 ) ,(ｘ <0 ) ,求 ｆ( - 2 ) ,ｆ( 1 ) ,ｆ[ｆ( - 1 ) ],ｆ[ｆ( 2 ) ],ｆ{ｆ[ｆ( - 5) ]}.解　由 - 2 <0 ,得 ｆ( - 2 ) =0 ,由 1 >0 ,得 ｆ( 1 ) =3·1 2 - 4=- 1 ,由 ｆ( - 1 ) =0 ,得 ｆ[…     

y=f(x+1)与y=f~(-1)(x+1)互为反函数吗?

从图象上看　ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象是分别将 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的图象向左平移一个单位所得 ,因 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)图象关于 ｙ =ｘ对称 ,将 ｙ =ｘ向左平移一个单位得 ｙ =ｘ + 1,所以函数 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象关于 ｙ =ｘ + 1对称 ,因而 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)不一定互为反函数 .从求反函数过程看　由 ｙ =ｆ(ｘ + 1)有ｘ + 1=ｆ- 1(ｙ)即ｘ =ｆ- 1(ｙ) - 1,互换ｘ ,ｙ ,有 ｙ =ｆ- 1(ｘ)- 1,所以 ｙ =ｆ(ｘ + 1)的反函数为 ｙ =ｆ- 1(ｘ) - 1.记号 ｙ =ｆ- 1(…     

略述一类求参数取值范围问题的共同解法--兼论数学教师在教与学活动中的主体地位

考察这样的问题 :已知函数ｙ=ｘ-ａ的图象与其反函数的图象有公共点 ,求实数ａ的取值范围 .避开具体教法不谈 ,樊老师在文 [1 ]中引导学生得到下面一种解法 ,这就是ｙ=ｘ-ａ(ｘ≥ａ)在 [ａ ,+∞ )上是增函数 ,它有反函数因为如果ｙ=ｆ(ｘ)单调增 ,且ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ=ｆ- 1 (ｘ)有公共点 (ａ ,ｂ) ,那么ａ =ｂ所以已知函数ｙ=ｘ-ａ 的图象与其反函数的图象有公共点 ,则该公共点必在直线ｙ=ｘ上 .所以 ｙ=ｘ-ａｙ=ｘ 　 ｘ2 =ｘ-ａ有解 Δ ≥ 0 .从而ａ≤ 14.本人以为 ,这样做没有揭示出问题的本质特征 .试问 :若函数ｙ=ａ-ｘ的图象与其反函…     

湖南省2002年高中数学竞赛试题及解答

一、选择题 (本大题共 6个小题 ,每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数 ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是 ｙ =ｆ- 1(-ｘ) ,则 (　　 )(Ａ) ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ) ｙ =ｆ(ｘ)是偶函数 .(Ｃ) ｙ =ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数 .(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .解　由 ｙ =ｆ- 1(-ｘ)得 ｆ(ｙ) =-ｘ ,故 ｙ =- ｆ(ｘ) 是 ｙ =ｆ- 1(-ｘ)的反函数 ,即 - ｆ(ｘ) =ｆ(-ｘ) ,ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数 ,选 (Ａ) .注　也可以先求得 ｙ =ｆ(-ｘ) 的反函数为 ｙ =-ｆ- 1(ｘ) .进而知ｙ =ｆ- 1(ｘ)是奇函数 ,故ｙ =ｆ(ｘ) 是奇函数 .图 1　…     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

浅议函数的概念

有关函数及其图象的问题,常存在一些不科学的提法,例如：１．“函数在其定义域内没有反函数,而在它的单调区间上存在反函数”．２．“在同一坐标系中,函数ｙ＝ｆ（ｘ）和它的反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）的图象本来是同一个图象,当我们改为习惯写法ｙ＝ｆ－１（ｘ）之后,...     

关于f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数的一个结论

1999年全国“希望杯”竞赛题 (高一 )中有一题为 :已知函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ ,它的反函数为ｆ- 1 (ｘ) ,如果ｆ- 1 (ｘ 1 )与ｆ(ｘ 1 )互为反函数且ｆ(1 ) =2 ,则ｆ(2 )等于 (　 ) .Ａ 2　　Ｂ 1　　Ｃ 0　　Ｄ - 1解　因为ｆ(1 ) =2所以函数ｆ(ｘ)图象上有一点 (1 ,2 ) .故ｆ(ｘ)的反函数ｆ- 1 (ｘ)图象上有一点 (2 ,1 ) .所以函数ｆ- 1 (ｘ 1 )图象上有一点 (1 ,1 ) .又函数ｆ- 1 (ｘ 1 )与ｆ(ｘ 1 )互为反函数 ,所以函数ｆ(ｘ 1 )图象上必有一点 (1 ,1 ) .所以ｆ(2 ) =1 .　　　故选 (Ｂ) .该题结果虽然选出来了 ,然而总感到意犹未尽 …     

奇偶函数若干命题真假性的辨析

众所周知 ,给定函数ｆ(ｘ) ,如果对于这个函数定义域内的任意一个ｘ ,总有ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ) (ｆ(-ｘ) =ｆ(ｘ) ) ,则称ｆ(ｘ)是奇 (偶 )函数 ,奇函数的图像关于原点对称 ,偶函数的图像关于ｙ轴对称 .本文通过对十个命题的辨析来进一步巩固奇、偶函数的定义和性质 .命题 1　函数的定义域关于原点对称 ,是函数为奇函数或偶函数的充分非必要条件 .辨析　定义域关于原点对称 ,并不能保证函数为奇函数或偶函数 ,如ｆ(ｘ) =ｘ + 2 ,其定义域为Ｒ ,但ｆ(ｘ)是非奇非偶函数 .反之 ,如果定义域不关于原点对称 ,那么函数一定是非奇非偶函数 .因此 ,定…     

一道反函数题从错解到简解

由错解、一般解到简解是一个辩明是非 ,逐步地认清概念 ,使思维不断优化的过程 .以下反函数问题便是一例 .题目　已知ｆ(ｘ) =2ｘ + 3ｘ -1,函数ｙ =ｇ(ｘ)的图像与ｙ =ｆ- 1 (ｘ + 1)的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,则ｇ(3 )等于 (　　 ) .(Ａ) 3　 (Ｂ) 72 　 (Ｃ) 92 　 (Ｄ) 113错解 1　∵　ｆ(ｘ) =2ｘ + 3ｘ -1且由已知得ｙ =ｇ(ｘ)与ｙ =ｆ- 1 (ｘ + 1)互为反函数 ,∴　ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ + 1) =2 (ｘ + 1) + 3(ｘ + 1) -1=2ｘ + 5ｘ ,故ｇ(3 ) =113 ,选 (Ｄ) .错解 2　∵　ｆ(ｘ + 1) =2 (ｘ + 1) + 3(ｘ + 1) -1,又ｙ =ｇ(ｘ)与ｙ =ｆ- 1 (…     

函数问题疑难解析

函数是高中数学中的重要内容 ,学习函数时如果概念不清 ,性质理解不深刻 ,就会造成许多后遗症 ,影响后续知识的掌握 .下面提出有关的若干疑难问题进行剖析 .1　表达式相同的两个函数是否相同很多学生容易把具有相同表达式的两个函数看作同一个函数 .其实 ,由函数的表达式相同 ,只能知道它们的对应法则相同 ,但还有定义域是否相同的问题 .例如 ｆ(ｘ) =2ｘ + 1和 ｇ(ｘ) =2ｘ + 1　 (ｘ∈Ｒ+ ) ,尽管ｆ(ｘ) 和ｇ(ｘ)的表达式相同 ,但由于它们的定义域分别为Ｒ ,Ｒ+ ,故它们是不同的两个函数 .2　定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一个…     

求函数值域时的常见错误分析

函数值域是函数的三大要素之一 (另两个为定义域和对应法则 ) ,求值域的问题 ,能综合地体现出学生运用函数性质、运用不等式等数学知识的能力 ,同时更能促进学生对函数概念的理解 ,所以它成为练习和考试的热点之一 .在求值域时 ,最容易出现下列的错误 .1　草率代入例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ + 2 ,ｘ∈ [0 ,3]的值域 .错解 :代入得 ｆ(0 ) =2 ,ｆ(3) =5 ,故值域为 [2 ,5 ].分析 :没有考虑在所给区间 [0 ,3]上函数是否单调 .事实上只有当ｆ(ｘ)在定义域 [α ,β]上单调递增时 ,才可以说值域是 [ｆ(α) ,ｆ(β) ],递减时值域为[ｆ(β) ,…