(一)近似公式(1+α)~n≈1+nα的条件

高中代数教材介绍了如下的近似公式: “当α的绝对值与1相比很小时,(1+a)~n的近似值可用公式(1+α)~n≈1+nα来计算。”其实,在仅有α的绝对值与1相比很小的条件下,运用(1+α)~n≈l+nα来计算,往往得到不可思议的结果。如计算(1-0.001)~2000。这里-0.001的绝对值与1相比很小,若按上述公式计算:(1-0.001)~2000=1-2000×0.001=-1。显然(1-0.001)~2000是个正值,而经过公式近似成了一个负值,荒谬。由此可见,仅有α的绝对值与1相比很小还不行,得须加上条件:nα的绝对值与1相比也很小。     

一个有趣的不等式

苏联А·Б瓦西列夫斯基著《数学解题教学法》中有一道有趣的不等式: 证明:(3+3~(1/3))~(1/3)+(3-(3~(1/3))~(1/3)<2(3~(1/3)) 对于这种类型的不等式,常用两边多次自乘的办法,将其转化为有理不等式,但计算之繁冗,是不难想像的。该书的作者利用表格求出不等式两边的近似值(左边为过剩近似值,右边为不足近似值)分别取精确到1、0.1、0.01、…直到判定原不等式成立为止来进行证明。     

培养学生复数运算技能的点滴体会

本文只想谈谈培养学生复数运算的三种技能,以便用来解决现行高中代数课本中的若干练习題。不妥之处,请大家指正。 (一)培养学生掌握几种特殊复数的运算技能 1°(1+i)~2=2i; 2°(1-i)~2=-2i; 3°(a+bi)/(b-ai)=i; 4°(a+bi)(a-bi)=a~2+b~2。以上性质1°和2°在解題中应用颇广,现举数例如下: 例1.(课本第62页第13(3)题) 计算(-1-i)~(-6)。     

整数9ab的各位数字的和

这是第36届美国中学数学竞赛的一题: 整数a由1985个数字8组成,整数b由1985个数字5组成,则整数9ab的各位数字的和是: (A)15880;(B)17856; (C)17865,(D)17874;(E)19851。原题的数目太大,退一步看看,a=8,b=5时易得9ab=360,各位数字的和是9=1×9;a=88,b=55时9ab=9·88·55=9·8·5·11~2=9·8·5·(10~2-1/9))~2=40·1/9·9801=43560。其各位数字之和是18=2×9。由此猜想原题的答案是1985·9=17865,     

初二代数第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 36分 )1.916 的算术平方根是 ,2 7的立方根是 .2 .4的平方根是 ,立方根是 .3.化简下列各式 :94 9= ;27=;2ａａ+ｂ=.4 .已知ａ =2 ,ｂ =3,ｃ=5,则 ｂ2ａｂｃ的值是 .5.若 (ｘ - 5) 2(ｘ - 6 ) 2 =ｘ - 5ｘ - 6 ,则ｘ =.6 .计算 :( 1) 1010 0 0 =;( 2 ) 0 .0 1× 6 40 .36× 5=.( 3) 12÷ 2 7× 50 =.7.合并下列各式中的同类根式 :8+ 33+ 13- 52 =.ｘ4 + 2 1ａ - 4ｘ +ａ =.8.已知 5≈ 2 .2 36 ,3≈ 1.732 ,则 45- 3的值 (精确到 0 .0 1)是 .9.若ａｂ <0 ,则ａｂ2 =.10 .计算 ( 3+ 2 ) 2 0 0 3 ·( 3- 2 ) 2 0…     

漫画趣题

选自《超时空数学之旅》漫画趣题答案第一题有三种排法 :第一节第二节第三节第四节( 1 )数学语文外语体育( 2 )数学外语语文体育( 3 )外语数学语文体育第二题甲桶有水 5升 .第 1次倒水后 ,两桶中的水一样多 ,都是1 0× 12 =5(升 ) ;第 2次 ,从乙桶倒出的水是 5×13 升 ,这时甲桶内有水 5× ( 1 +13 )升 ;第 3次 ,甲桶倒入乙桶的水是 5× ( 1 +13 )× 14=5×43 ×14=5× 13 升 ,恰好等于第 2次乙桶倒入甲桶的水 .这说明 ,经过 2、3两次 ,两只桶里的水又一样多了 .这中间的规律是 :从第 2次起 ,乙桶倒入甲桶的水 ,总是和下一次从甲桶倒回乙桶…     

证明三点共线的方法

高中数学新教材 (数学 )第一册 (下 )第111页有一例题 5 :已知A( -1,-1) ,B ( 1,3 ) ,C( 2 ,5 ) ,求证 :A ,B ,C三点共线 .这是一道证明三点共线的典型例题 ,笔者经过这一章的系统学习后发现 ,此类问题至少存在如下四种典型的证法 .证明方法 1:∵AB =( 2 ,4) ,AC =( 3 ,6) ,∴AC =3 ( 1,2 ) ,AB =2 ( 1,2 ) ,从而AB=23 AC ,故AB∥AC .而直线AB ,AC有公共点A ,∴A ,B ,C三点共线 .注　此种证法的关键是寻找实数λ ,使AB =λAC .方法 2 :∵AB =( 2 ,4) ,AC =( 3 ,6) ,而2× 6-4× 3 =0 ,∴AB∥AC ,而AB与AC有公共点 ,∴A ,…     

什么是“梅审数”?

以十七世纪法国数学家马兰·梅尔塞纳(M·Mersenne)的名字定名把形如2p-1(p为素数)的整数叫作“梅审数”。它可以是素数,也可以是合数。例如M_2=2~2-1=3,M_3=2~3-1=7,M_5=2~5-1=31,M_7=2~7-1=127均为素数,但M_(11)=2~(11)-1=2047=23·89,则是一个合数。判定一个梅审数是否为素数,或是当已知其为合数时分解其素因数,均非易事。截至1978年止共找到25个梅审数,第25个梅审数于1978年得到。它是一个6533位数:M_(21701)=2_(21701)-1 1984年2月-7日《参考消息》第3版上刊登了一篇文章《三十二小时解开三世纪之久的难题》中提到了一个梅审数2~(251)-1说它是一个69位数     

談当前高三学生的数字运算能力

一、情况严重目前我們的高三学生在数字运算方面,存在着极其严重的問題。主要表現在: (1) 运算方法不合理。例如某生在解“将三个直径分别为6cm,8cm,和10cm的三个小球熔成一个大球,試求大球直径”。一題时,他作出了如下的解答: 設三个小球体积分別为V_1,V_2,和V_3。大球为V; V_1=4/3πr_1~2=4/3×3.14×3~3=110.14, V_2=4/3πr_2~3=4/3×3.14×4~3=265.813, V_3=4/3πr_2~3=4/3×3.14×5~3=145.37, ∵ V=V_1+V_2+V_3, ∴ 4/3πr~3=110.14+265.813+145.37=     

这样还贷款是否合理

20 0 0年高考前 ,北京市的一份练习中有这样一道应用题 :某人年初向银行贷款 1 0万元用于买房 .(Ⅰ )如果他向建设银行贷款 ,年利率为 5% ,且这笔借款分 1 0次等额归还 (不计复利 ) ,每年一次 ,并从借后次年年初开始归还 ,问每年应还多少元 ?(精确到 1元 )(Ⅱ )如果他向工商银行贷款 ,年利率为 4% ,要按复利计算 (即本年的利息计入次年的本金生息 ) ,仍分 1 0次等额归还 ,每年一次 ,每年应还多少元 (精确到 1元 ) ?参考答案为 :(Ⅰ )解　若向建设银行贷款 ,设每年还款ｘ元 ,则1 0 5 × (1 1 0 × 5% ) =ｘ(1 9× 5% ) ｘ(1 8× 5% ) ｘ(…     

陕西省第五次大学生高等数学竞赛

本科组　复赛试题及答案本试卷共 1 2题 ,满分 1 50分。1 (1 5分 ) 计算 3 13×3· 913×9· 2 713×2 7· 81 13×81 ·…　　　答案 :(3 14 )2 (1 5分 ) 求 y =x3x2 -1 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。答案 :(单调增区间有 (-∞ ,-3 ) ,(3 ,+∞ ) ,单调减区间有 (-3 ,-1 ) ,(-1 ,1 ) ,(1 ,3 ) ;极大值为 y x=- 3=-3 32 ,极小值为 yx =3=3 32 ;凹区间有 (-1 ,0 ) ,(1 ,+∞ ) ,凸区间有(-∞ ,-1 ) ,(0 ,1 ) ;渐近线有 :铅直渐近线x=-1 ,x=1 ,斜渐近线有 y=x)3 (1 5分 ) 设 f(x)在[a,b]上连续 ,证明 :limh→ 0 +1h∫xa[f(t+h)…     

趣味数学几例

1.今年元旦是星期日,试问今年元旦后的第1984~(1984)天是星期几。解:∵1984~(1984)=(283×7+3)~(1984) =7m+3~(1984),m∈N。而 3~6≡1(mod7),3~(1984)=3~4×3~(6×330) 3~4≡4(mod7),∴1984~(1984)≡4 (mod7)。答:今年元旦后的第1984~(1984)天是丛期四。 2.若f(x+1)=|x-1|,求f(1984)。解:令 x+1=1984,则x-1=1982, ∴ f(1984)=1982。 3.已知 f(x)=3x+1,g(x)=2x-1,h(g〔f(x)〕)=f(x)。求h(1984)。解:∵ f(y)=3y+1, ∴ g〔f(y)〕=2(3y+1)-1=6y+1, 故h(6y+1)=3y+1。令6y+1=1984,     

虚数的历程

让我们做几道算术题 :二二得四 ,三三得九 ,四四一十六 ,五五二十五 .因此 ,2是 4的平方根 ,3是 9的平方根 ,4是 16的平方根 ,5是 2 5的平方根 .-1的平方根是什么 ?长期以来 ,人们认为负数的平方根是不存在的 .第一个把这个“显然”没有意义的符号写到公式里去的 ,是意大利数学家卡丹(Ｃａｒｄａｎ ,15 0 1-15 76) .他“大胆”地写道 :因为 ( 5 -15 ) ( 5 --15 ) =5 5 =10 ,( 5 -15 )× ( 5 --15 ) =5× 5 5-15 -5 -15 -15× -15 =2 5 -( -15 ) =2 5 15 =40 ,所以 ,可以把 10分成两部分 ,使它们的乘积等于 40 ,而两部分就是 ( 5 -15…     

例谈分配律的逆用

对于乘法分配律 ,一些同学只会顺用 ,而逆用却不习惯 .其实 ,逆用分配律 ,常可使问题化繁为简 ,收到事半功倍的效果 .现从以下三方面来说明分配律的逆用 .一、直接逆用例 1　计算3.1 41 6× 7.5 944 + 3.1 41 6× ( -5 .5 944 ) .解　原式 =3.1 41 6× ( 7.5 944 -5 .5 944 )=3.1 41 6× 2 =6 .2 832 .例 2化简 1 90 0 911 990 1 991 2 -1 990 1 989× 1 990 1 991 .解　 1 990 1 991 2 -1 990 1 989× 1 990 1 991　 =1 990 1 991× ( 1 990 1 991 -1 990 1 989)　 =1 990 1 991× 2 =3980 3982 .∴　原式 =1 90 0 913980 3982 .二、多项逆…     

简议正项级数敛散性的判别法

<正> 无穷小数0.714285714285714285……可简记作0.714285.小数点6n位数为714285×((1/(10~6))+(1/(10~6)~2)+…+(1/(10~6)~n)=714285×(1/(10~6))((1-1/10~(6n))/(1-(1/10~6)))=714285/999999=5/7因此5/7可表为无穷级数的形式     

第五届美国数学邀请赛(AIME)试题及解答

1、一个非负整数的有序对(m,n)称为“简单的”,如果在做m+n的加法时用不着进位。m+n称为有序对(m,n)的和,求和为1942的“简单的”非负整数有序对的个数。解:m+n=1942,对于m的个位可取0,1,2,而”则可取2,1,0三种;对于m的十位可取0,1,2,3 4,而n则可取4、3、2、1、0五种;对于m的百位可取0,1,2,…,9,而n则可取9、8,…,1,0+种;对于m的千位可取1或0,而n则可取0或1。因此简单的非负整数序对(m,n)的个数是 C_3~1C_5~1C_(10)~1C_2~1=3×5×10×2=300。 2、一点在半径为19,中心为(-2,-10,5)的球面上,另一点在半径为87,中心为(12,8,-16)     

2003年中考数学模拟试题(9)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 . -2与 2ｍ互为相反数 ,那么ｍ等于 (　 ) .Ａ . -1　　Ｂ .1　　Ｃ .14　　Ｄ . -142 .我国某年石油产量约为 1 70 0 0 0 0 0 0吨 ,用科学记数法表示为 (　 ) .Ａ .1 .7× 1 0 - 7吨　　　Ｂ .1 .7× 1 0 7吨Ｃ .1 .7× 1 0 8吨Ｄ .1 .7× 1 0 9吨3 .下列计算正确的是 (　 ) .Ａ .( -1 ) 0 =-1　　Ｂ .3× ( 12 ) - 2 =3× 2 2Ｃ .( 5 3) 2 × 5 4=5 0 Ｄ .( -3 5)÷ ( -3 ) 3=-3 24.下列根式中 ,与 1 2 是同类二次根式的是 (　 ) .Ａ . 2　　Ｂ . 3　　Ｃ . 5　　Ｄ . 75 .化简 ( 1ａ-1ｂ)·…     

Sin18°求值三法

我们知道:sin18°=(5~(1/2)-1)/4,通常它是通过sin(2×18°)=cos(3×18°)利用二倍角、三倍角公式展开后解方程求得的。以下我们介绍sin18°值的另外三种求法。方法一(几何法) 如图等腰三角形ABC,两底角为72°,顶角为36°,并设腰长为a,底边长为c,过C作底边AB的垂线,则∠BCB=180°在Rt△BCD中,就有     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数ｘ ,ｙ ,使得ｘ2 615=2 ｙ ( 1)解　对于非负整数ｋ ,2 2ｋ 1=4 ｋ·2≡ ( - 1) ｋ·2≡ 2或 3(ｍｏｄ 5) ,又∵ｘ2 ≡ 0或 1或 4 (ｍｏｄ 5) ,∴ ｙ必须是偶数 .令 ｙ =2ｚ ,代入 ( 1)得( 2 ｚ-ｘ) ( 2 ｚ ｘ) =615=3× 5× 4 1∴　　　 2 ｚ ｘ =6152 ｚ-ｘ =1( 2 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =2 0 52 ｚ-ｘ =3 ( 3)　　或　　　 2 ｚ ｘ =12 32 ｚ-ｘ =5( 4 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =4 12 ｚ-ｘ =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 ｚ=64,∴ｚ =6,ｘ =59,…     

用数学归纳法推广一道竞赛题的结论

1999年全国初中数学竞赛最后一道题 :有人编了一个程序 :从 1开始 ,交错地做加法或乘法 (第一次可以是加法也可以是乘法 ) .每次加法 ,将上次的运算结果加 2或加 3;每次乘法 ,将上次的运算结果乘 2或乘 3.例如 ,30可以这样得到 :1 3 4 × 2 8 2 1 0 × 3 30 .(1 )证明 :可以得到 2 2 ;(2 )证明 :可以得到 2 1 0 0 2 97- 2 ;证明　 (1 )易证 .(2 ) 1 × 2 3× 2 - 4 2 3× 2 - 2 × 2 3× 2 2- 4 2 3× 2 2 - 2 × 2 3× 2 3- 4 2 3× 2 3-2…… (不断乘以 2 ,再加 2 ) × 2 3× 2 96- 4 3 3× 2 96- 1 × 32 99 2 96- 3 2 2 99 2 9…