数学问题解答

数学问题解答１９９８年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１２６证明任意三角形内必存在一点，使其关于三边的对称点构成正三角形．作法作给定三角形ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，外角平分线ＡＭ，ＢＮ，ＣＬ，分别以ＤＭ，ＥＮ，ＦＬ为直径作圆，三圆交...     

正则点、等力点及其他

1　近三年来关于三角形“正则点”的研究自 1 999年文 [1 ]提出三角形“正则点”概念后 ,近三年来围绕“正则点”的文章不断涌现 (见文 [2 ]～ [9]) ,形成了一个小小的热潮 .三角形所在平面内关于其三边的对称点构成正三角形的点称为三角形的“正则点”.关于三角形的“正则点”的主要结果有 :( 1 )正则点的分布1正三角形只有一个正则点 ,即其中心 ;2最大角小于 1 2 0°的非等边三角形 ,内部外部各有一个正则点 ;3最大角等于 1 2 0°的三角形 ,在外部及最长边上各有一个正则点 ;4最大角大于 1 2 0°的三角形 ,其两个正则点都在三角形的外部 .…     

含有60°内角的三角形的性质及应用

含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1　三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明　当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性　设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH…     

关于三角形一个新点的发现及初探

三角形内是否存在一个点,它关于三边的对称点仍构成正三角形吗？文［１］、［２］分别作了考虑,但文［２］中结论不真,证明有误．本文将完全解决这一问题,并在相关方面进行初步探讨．定义△ＡＢＣ所在平面内一点关于三边所在直线的对称点构成正三角形,则称该点为△Ａ...     

“三角形正则点问题”研究集锦 关于三角形正则点研究的新进展综述

编者按　本刊 1999年第 6期发表了孙四周老师“关于三角形一个新点的发现及初探”(以下简称《初探》)一文 ,称“三角形所在平面内关于其三边的对称点构成正三角形的点”为该三角形的正则点 ,证明了 :当△ ABC最大角 A &;lt;12 0&;#176;时 ,形内有唯一正则点 ;A =12 0&;#176;时 ,BC边上有唯一正则点 ;A &;gt;12 0&;#176;时 ,正则点在形外 ,并猜想 :( 1)非等边三角形有两个正则点 ,至多一个在形内 ;( 2 )当三角形有两个正则点时 ,已知一个 Z满足ZA =bcλ,ZB =caλ,ZC =abλ,则另一个 Z′满足 :Z′A =bcλ′,Z′B =caλ′,Z′C =abλ′,其中　λ =b2 +c2 - 2 bccos( A +60&;#176;) ,λ′=a2 +b2 - 2 abcos( C - 60&;#176;) .( 3)并非所有 n ( n &;gt;3)边形都存在各自的正则点 .此后 ,本刊陆续收到有关文章数篇 ,现予摘发 (以收文时间先后为序 )1.杨学枝老师审阅文《初探》时指出 ,λ即三角形费马和 .2 .正则点的一条性质 :设△ ABC内的正则点 Z到三边 a、b、c的距离依次为 r1、r2 、r3,则r1=ab...     

两个猜想的证明——关于正则点的继续研究

本刊文 [1 ]发现了三角形的新特殊点 ,并作了初步探讨 ,文末留下了三个猜想 .本文将完成其中猜想 1和猜想 2的证明 ,从而解决任意三角形正则点个数的确定问题 .定理　除文 [1 ]所言的一个正则点 Z外 ,非等边三角形必有而且只有另一个正则点Z′.Z′在△ ABC的外部 ,且Z′A =bcλ′,　 Z′B =acλ′,　 Z′C =abλ′(λ′=a2 b2 - 2 abcos(C - 60°)等三式 )图 1证明　设△ ABC为非等边三角形 ,并设 A为其最大内角 ,B为最小内角 ,则 A >60°,B <60°.情形 　若 A - 60°>60°- B,按以下方法构图 ,使∠ B′O′C′ =A -60°,∠ C′…     

莫利定理的简洁证明

莫利定理　任意三角形每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正三角形 .证明　如图 1,在任意△ ABC内部构造△ BDC,使∠ DBC =∠ B3,∠ DCB =∠ C3,又作△ BDF,使∠ DBF =∠ B3,∠ BDF =6 0° ∠ C3,使 DF交 BF于 F,作正△ DFE,则∠ EDC =6 0° ∠ B3.又连结 EC,分别延长BD与 C     

平面点集的一种巧妙分布

边长为ａ的正三角形ＡＢＣ所在平面内一点Ｐ到正三角形ＡＢＣ三个顶点的距离为边能否构成一个三角形?就能构成三角形(按角分类)时点Ｐ集合的几何特征和不能构成三角形时点Ｐ集合的几何特征展开讨论,问题展示它构图的精美性、讨论方法的实用性.图1构图为直角三角形的点的部分分布首先对能否构成三角形进行讨论.在初中平面几何里有这样一个证明问题:Ｐ是正三角形ＡＢＣ外接圆劣弧ＢＣ上任意一点,求证:ＰＡ=ＰＢ ＰＣ.由此可见,在正三角形的外接圆上的任意一点到三个顶点的距离为边是不能构成三角形的.可以猜想不在外接圆上的任意一点均能构成…     

圆内接闭折线垂心的两个性质

三角形有下面的性质[1](如图1):图1定理0设P是△ABC外接圆上弧BC的中点,Q是P的对径点,R是P关于边BC的对称点,H是△ABC的垂心,则AHRQ是平行四边形.这个性质是夫尔曼(Fuhrmann)发现的(三角形三顶点把外接圆分成三段弧的中点关于相应边的对称点所构成的三角形,被称为夫尔曼三角形)[1].本文将推广这个性质,证明圆内接闭折线的垂心的两个性质.为此,我们约定:符号A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其垂心为H,Hjk是闭折线A(n)的2级顶点子集Vjk={A1,A2,…,Aj-1,Aj 1,…,Ak-1,Ak 1,…,An}的垂心…     

解斜三角形

选择题1 .若三角形三边之长为① 3 ,5,7;②1 0 ,2 4,2 6;③ 2 1 ,2 5,2 8,则其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的序号依次为(　　 )(Ａ)① ,② ,③ .　　　 (Ｂ)③ ,② ,① .(Ｃ)③ ,① ,② .　　　 (Ｄ)② ,③ ,① .2 .在△ＡＢＣ中 ,若ｃｏｓＢｃｏｓＡ=ａｂ,则△ＡＢＣ一定是 (　　 )(Ａ)等腰三角形 .　 (Ｂ)正三角形 .(Ｃ)直角三角形 .(Ｄ)等腰或直角三角形 .3 .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,斜边ＢＣ边长是其高ＡＤ的 4倍 ,则两锐角度数分别是 (　　 )(Ａ) 3 0°,60° .　　　 (Ｂ) 1 5° ,75°.(Ｃ) 2 0°,70°.　　　 (Ｄ) 1 0°,80° .4…     

关于正则点的几个结论

非等边三角形有两个正则点 Z和 Z′,为了论证上的方便 ,我们以后将分别称它们为第一和第二正则点 ;它们关于三边的对称点所形成的 (正 )三角形相应地称为第一和第二正则三角形 .定理 1　若不等边△ ABC的面积为△ ,则它的第一和第二正则三角形的边长分别为4△λ 和 4△λ′,面积分别为 4 3△2λ2 和4 3λ′2 △ 2 .其中λ =a2 b2 - 2 abcos( C 6 0°) ,λ′=a2 b2 - 2 abcos( C - 6 0°) .证明　设点 P关于 OA和 OB的对称点为 P1、P2 ,如果点 P在∠ AOB的内部 (图 1 ) ,则　∠ P1OP2 =2∠ AOB.如果点 P在∠ AOB的外部 (图…     

关于解斜三角形的补充说明

用正弦定理解斜三角形 ,即已知两边和其中一边的对角 ,可有两解 ,一解或无解 ,这是本节的难点 .在实际解题中 ,如何判断解的情况呢 ?现将笔者归纳的一种可行的方法介绍如下 .类型 1　根据三角形边角关系及三角形内角和定理 ,可直接判断无解或只有一解的 .1)若已知条件与三角形边角关系及三角形内角和定理有矛盾 ,可直接判断无解 .例 1　已知三角形的边ａ =18,ｂ =2 0 ,角Ａ =15 0° ,解此三角形 .解　∵Ａ为钝角 ,∴ａ应是最大边 ,但这里ｂ>ａ ,矛盾 ,故无解 .2 )若可判断另一边所对的角等于已知锐角 ,或小于已知角 ,则此角为锐角 ,且只有一…     

三角形的垂心的几个性质

文[1]介绍了三角形的垂心的如下性质:定理1三角形的垂心关于三边的对称点在这个三角形的外接圆上.本文以此为基础,提出如下性质:定理2三角形的垂心关于各边中点的对称点在三角形的外接圆上,且以这三个对称点为顶点的三角形与原三角形关于圆心中心对称.用符号语言表达即为:     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯(續)

§7 許多实际間題和理論問題的解决都需要知道三角形的內角和等于多少。 1.問学生:直觉能告訴我們三角形內角和是多少嗎?总是很快就得到回答說:“不,直覺沉默了。”应該采取什么措施呢?首先用实驗方法試試看。让学生“在练习本上画三个不在一条直綫上的点,用綫段把它們联結起来,量一量所得三角形的每一个角,并且算出所得三个数的和”。用实驗方法求三角形內角和通常得到:180°,179°.5,179°,181°.5,181°,…等不同的数值。因为测量不可能完全精确,所以得到的只是三角形內角和的近似值,它提供了一个想法,三角形的內角和精确地或近似地等于180°。实驗提供了一个近似答案。 2.运用涉及任意三角形內角和的这个性貭的判断,可以得到关于一切三角形內角和等于多少的問題     

一个数学问题的再探讨

命题若复数z_1,z_2,z_3满足z_1+z_2+z_3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。文[1]的作者给出了该命题的一种证法。并探讨了该命题的逆命题。若复平面内以模为1的复数z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是正三角形,则z_1+z_2+z_3=0。容易证明此命题也正确(略)。作者还对该命题进行了推广,笔者读后受益非浅。本文将进一步探讨以上两个命题在解题中的应用。下面以例示明。例1 (1986年苏州市数学竞赛题) 已知复数z满足|z|=1,z~(11)+z=1,求z。解∵ |z|=1, ∴|z~(11)|=|z|=|-1|=1 又z~(11)+z+(-1)=0 ∴z~(11),z,-1所对应的三点构成一个正三角形。故z=(-1)(cos120°±sin120°)=(1/2)±3~(1/2)/2i 例2 (1987年第二届全国高中数学冬令营赛题)     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

关于“任意角三角函数”教学的几点看法

三角函数的定义是三角学中最基本的概念之一。既是教材的重点,又是难点。这个概念掌握得如何,直接关系到三角的学习。下面对这个概念的教学提几点看法。一关于“角”的三角函数现行初中教材(通用教材)关于三角函数的概念是按照传统从几何方面把它作为角的函数而引进的,开始便用直角坐标给出了任意角三角函数的定义。但是,由于学生只有0°到360°角的概念,从解三角形的需要出发,实际上只是研究了0°到180°角的三角函数。再加上学生还没有     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

三角形正则点的一个性质

本文给出三角形正则点一个基本性质 :定理　设点 Z在△ ABC三边上的射影分别为D、E、F,则△ DEF为正三角形的充要条件是 Z为△ ABC的正则点 .证明　如图 6,设 Z关于 BC、CA、AB对称点分别是 Z1、Z2 、Z3,则 D、E、F分别是 ZZ1、ZZ2 、ZZ3中点 ,∴　 DE =12 Z1Z2 ,图 6EF =12 Z2     

两种方法的结果是相同的吗?

<正>问题设P是锐角△ABC的边BC上的一个定点,试分别在边AB和AC上各求一点M和N,使△PMN周长最小.作法1如图1,分别作出点P关于AC的对称点P_1和点P关于AB的对称点P_2,连结P_1P_2,P_1P_2分别与AB和AC交于点M和N,点M和N即为所求点.(证明略)由两点间线段最短,及二相交直线只有唯一交点,可得所求点M及点N都是唯一的.