外平面图的边面 List 染色

设Ｇ是无割点平面图，ｘｅｆｌ（Ｇ）为Ｇ的边面Ｌｉｓｔ选择数。本文证明了若Ｇ为最大度Δ（Ｇ）≥６的无割点外平面图，则ｘｅｆｌ（Ｇ）＝Δ（Ｇ）。     

开外平面图的边面全色数

一个无割点的外平面图称为开外平面图，如果它的每一个内面的边界至少含有一条外边。本文证明了：若Ｇ为开外平面图，则（ｉ）当△（Ｇ）＝３时，ｘ２３（Ｇ）＝４，当△（Ｇ）≥５时，ｘ２３（Ｇ）＝△（Ｇ）；（ｉｉ）当△（Ｇ）＝２，４时，４≤ｘ２３（Ｇ）≤５，其中ｘ２３（Ｇ）为平面图Ｇ的边面全色数，△（Ｇ）是Ｇ的点最大度。     

关于高度极大外平面图的4染色

从最大度的角度讨论两大极大外平面图的公共４染色，证明了当Ｇ是以ｒ个顶点的圈Ｑｒ为标定界环的极大外平面图且△（Ｇ）≥ｒ－２，Ｇ′是以Ｑｒ为标定界环的任一极大外平面图时，Ｇ和Ｇ′有公共４染色，从而证明了四色定理的等价例题在给定条件下成立。     

最大度是5的可平面图的边染色

对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ′(G)=Δ,称G为第一类图;如果χ′(G)=Δ+1,称G为第二类图.χ′(G)表示G的边染色数.1965年,Vizing举例说明Δ=5的可平面图中既有第一类图,也有第二类图.作者运用Discharge方法证明最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.     

最大度是5的可平面图的边染色

运用Discharge方法及临界图的一些重要性质证明了:最大度是5且任意一个3-圈与任意一个4-圈不相邻接,或任意一个3-圈与任意一个5-圈不相邻接的可平面图是第一类图.从而给出了最大度是5的可平面图是第一类图的2个充分条件.     

最大度是6不含相邻k-圈的可平面图的边染色

运用Discharge方法和临界图性质证明了,最大度是6且任意两个长度至多是6的k-圈不相邻的可平面图是第一类图.     

关于平面图的边面全着色

定义了平面图的边面全色数，提出了相应的猜想，证明了无割点外平面图的最大度不少于７时，其边面全色数等于其最大度。     

关于最大度为 7 的平面图全染色的一个注记

给最大度为Δ的图进行全染色至少要用Δ+1种颜色.全染色猜想断言每个图都是(Δ+2)-全可染的.但即使对于平面图,全染色猜想依然未得到证实.在该研究方向已证明满足下述条件之一的最大度为Δ的平面图是(Δ+1)-全可染的:1)Δ≥9;2)Δ=8且不含相邻三角形.证明了最大度为7且不含带弦4-圈和带弦5-圈的平面图是8-全可染的.该结果进一步拓展了(Δ+1)-全可染平面图类.     

最大度是4的可平面图的边染色

对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ′（G）=Δ称G为第一类图,如果χ′（G）=Δ＋1称G为第二类图,χ′（G）表示G的边染色数.1965年,Vizing举例说明,最大度是4的平面图中不仅有第一类图,也有第二类图.论文运用Discharge方法及临界图的重要性质证明：最大度是4,不含5圈和6圈,且任意两个相交面的度不相同的可平面图是第一类图.     

外平面图的完备染色

设Ｖ（Ｇ）、Ｅ（Ｇ）和Ｆ（Ｇ）分别为平面图Ｇ的点集、边集和面集。Ｇ的完备色数Ｘｃ（Ｇ）是使得Ｖ（Ｇ）∪Ｅ（Ｇ）∪Ｆ（Ｇ）中相邻或相关联的元素间均染不同色的最少颜色数。本文证明了：对无割点的外平面图Ｇ，有Ｘｃ（Ｇ）≤ｍａｘ｛７，△（Ｇ）＋１｝，其中△（Ｇ）为Ｇ的最大度数。     

高度正则图的强边色数

设f是图G的一个正常边着色，若对G中任意不同的两点u,v，着在与u关联的边上的色集和着在与v关联的边上的色集不同，则称f为强边着色。满足此条件的最小色数称为G的强边色数，记为X^-′（G）。本文确定了对n阶（n-2）-度正则图G，X^-′（G）=n，当n≥6时，对其补图为Hamilton圈的n阶（n-3)-正则图G，X^-′（G）=n-1，还给出了对任意的一条边e，X^-′（G-e)≤X^-′（G） 1的一个充分条件和X^-′（G-e）=X^-′（G） 2的必要条件。     

扇与Halin图的一致膨胀图的关联色数

设图G的点集V（G）={v1,v2,…vn},G的膨胀图R的点集V（FG）=V1UV2U…UVn,且对X∈K,y∈Vj,有xy∈E（FG）,当且仅当i=j或ViVj∈E（G）。若对所有的i,满足｜Vi｜=t,则称其为G的一致膨胀图。给出了扇与△≥6的Hahn图的一致膨胀图的关联色数,它们均为该膨胀图的最大度加1。     

图的色数与着色数的上界

证明了对于围长不少于2k1的图G,其色数X(G)≤c((bk,2k+1+2)n)1/k+1+2,其中c=c(k)且limk→∞ c(k)=1,bt,k是G的booksize.另外还证明了对于围长不少于2k+1的图G,其着色数σ(G)≤[bk,2k+1+1)n/2]1/k+2.     

两类图的点可区别边染色数

证明了,任意正整数k≥2,存在点可区别边色数为2k+1的k+1-正则图;任意正整数m≥4,存在点可区别边色数为m的偶图.     

几类冠图的邻强边色数

图的强染色来自计算机科学,有着很强的实际背景,但确定图的强色数是非常困难的。张忠辅,刘林忠,王建方等研究了图的邻强边染色,并提出了邻强边染色猜想：对任意连通图GG,{y}≥3且G≠C5有△≤X’ax（G）≤△＋2。研究了树、圈、扇、轮、完全二部图及完全图的冠图的邻强边色数;证明了：△≤X’as（G）≤△＋1,且X’as（G）≤△＋1当且仅当G[V△]≠Ф。     

两类几乎外平面图的双约束边色数

阐述了几乎外平面图的概念与特点,证明两类特殊的几乎外平面图的双约束边色数恒满足max{Δ(G),FM(G)}≤χe/vf(G)≤max{Δ(G)+1,FM(G)+1},其中Δ(G)、FM(G)分别为图G的最大度和最大面度.     

几种图的对策着色和对策色数

介绍了一种新的色对策和对策色数,比较了2种色对策的差异.对几种特殊的图形的色对策数进行了讨论,运用顶点标号方法,给出获胜策略.     

Catalan Number and Enumeration of Maximal Outerplanar Graphs

ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣａｔａｌａｎｎｕｍｂｅｒｓｉｎＣｏｍｂｉｎａｔｏｒｉｃｓ[1]ｈａｖｅａｂｕｎｄａｎｔｐｒａｃｔｉｃａｌｍｅａｎｉｎｇｓ.ＬｅｔＣｎｂｅａＣａｔａｌａｎｎｕｍｂｅｒｏｆｏｒｄｅｒｎ.Ｓｏｍｅｃｏｍｍｏｎｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓａｒｅａｓｆｏｌｌｏｗｓ:(1)Ｃｎｉｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｏｆａｎｎｐｏｌｙｇｏｎｗｉｔｈｏｒｄｅｒｉｎｇｌａｂｅｌｓ1,2,…,ｎ.(2)Ｃｎ 2ｉｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｐａｔｈｓｗｈｉｃｈａｒｅｆｒｏｍｐｏｉｎｔ(0,0)…