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在卫瑞霞、汤正谊两同志的《某些条件极值问题的初等解法》(载《中学数学研究与讨论》1979年第3期)一文中列举了某些条件极值问题的五种初等解法,读后获益非浅。本文想补充某些条件极值问题的另外两种初等解法。下面也依据吉米多维奇《数学分析习题集》的问题为例说明这两种方法及其运用。 相似文献
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一类含三角函数的初等函数取值范围问题的图象解法 总被引:2,自引:0,他引:2
一类求在给定条件下三角函数式的取值范围问题 ,已有多篇文章论及 (参见文〔1〕〔2〕〔3〕) ,但美中不足的是文中未给出如何揭示隐含条件以避免误解 .笔者发现这类问题通过构造合适的直线或圆锥曲线能充分揭示隐含条件 ,正确求解 .例 1 已知 sinα 2 cosβ=2 ,求 2 sinα cosβ的取值范围 .解 设 x=sinα,y=cosβ,t=2 sinα cosβ则有 x 2 y=2 ,2 x y=t( |x|≤ 1,|y|≤ 1) .t的取值范围即线段 x 2 y=2与平行线段 2 x y=t( 0≤ x≤ 1,12 ≤ y≤ 1)相交时 ,2 x y=t在 y轴上截距的取值范围 .由图 ( 1)易得 :当 2 x y=t通过点 B( 1,12 )时 ,t… 相似文献
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本文将利用集合的子集类的思想去解决一类较为复杂的极值问题 .为此我们引入以下的概念和定理 .设A是一个非空有限集 ,集合A的元素个数称为集合A的阶 ,记作|A| .当|A|=n ,称A是一个n阶集 .对于一个集合A的一个子集类 {A1,A2 ,… ,Ak},若对任何二个子集Ai,Aj(i≠j)都有Ai Aj,Aj Ai,则称这个类是互不包含的子集类 .对这种子集类我们有定理 有一个n(n≥ 1 )阶集合A的一切互不包含的子集类中 ,子集个数最多的类含有Cn2n个子集 ,其中 n2 表示不超过 n2 的最大整数 .证明 记 {A1,A2 ,… ,Ak}为A的… 相似文献
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几何极值是运动图形所确定的函数的特殊函数值.求几何极值问题,往往利用三角函数(包括正弦定理、余弦定理等)来反映图形的变化规律,根据三角函数的最值来求得,从而把几何极值转化为三角极值来求解。例1 在△ABC中,AB=2,BC=3,在 相似文献
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2010年全国高中数学联赛福建预赛试卷第7题涉及到三角函数、不等式、数列、解析几何等方面的知识.笔者通过研究发现,本题可以用如下的初等方法进行求解,供大家参考. 相似文献
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条件极值问题 ,在日常生活中应用极广 ,涉及到的知识面较为广阔 ,解法多样 .对于某些具有圆型或有限和型条件 ,而且目标函数是圆型或有限和型函数的条件极值问题 ,可通过构造恰当的向量 ,利用向量内积不等式获得简便的解法 ,本文将通过几个具体的例子予以介绍 .本文要用关于向量内积的基本不等式 (柯西不等式 ) :若 m =(m1,m2 ,… ,mk)、 n =(n1,n2 ,… ,nk)是k维向量 , m·n=∑ki=1mini(称为向量 m与 n的内积 ) ,| m | =∑ki=1m2 i12 (称为向量 m的模或长度 ) ,则 | m· n|≤ | m |·| n| .上式等… 相似文献
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“一人在一舟中距岸上之最近点为2哩,今欲以最短时间达到岸上离最近点6哩处,设该人每小时能划行4哩,步行5哩,则应向岸上何点划行?”——这是范氏大代数中习题43中的第10题。如图所示,设PQ代表河岸,河中一舟在A点,它距岸上最近之点为B,则AB=2哩。点C到点B处之距离为6哩,现在假定小舟向D点划行,而BD=x哩,则DC=(6-x)哩。这样该人由A点经D点而到达C点之时间t为: 相似文献
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数学老师经常教育我们 :“拿起一道题 ,先自己做 ,不要迷信别人的解法 ,相信自己能想出更好的方法 .”不久前 ,老师讲解一道三角函数题 ,很多同学没做出来 .老师马上提供了一种解法 .例题 证明函数 f(x) =x -sinx在区间(0 ,π2 )内是增函数 .分析 解这道题 ,很自然会想到用定义做 .于是设 0 相似文献
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解反三角函数不等式,其基本思路是把反三角函数不等式转化为代数不等式或最简反三角不等式。由于转化的方法不同,解法也可能不同。这里我们来介绍反三角函数不等式的几种常用解法。一、单调法此法是利用反三角函数的单调性,把反三角不等式转化为代数不等式或最简反三角不等式。故此法称作单调法。例1 解不等式 arcsin(arctg 2x)+arcsin〔arc tg(3-x~2)〕>0。解 arcsin(arc tg2x)>arcsin〔arctg(x~2-3)〕。 相似文献
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反三角函数是高中数学教材中的一个难点,与此有关问题学生经常心理恐惧。故此,系统介绍这类问题的解法很有必要。 1 设辅助角这是一种最基本的方法,它源于教材。在设辅助角时,一定要注意角度的范围。 相似文献
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二元函数的极值问题,在中学课本中出现较少,部分同学往往碰到这类问题感到束手无策,难以作出正确的解答。为此,本文试图通过一些典型的例题。来谈谈二元一次函数和二元二次函数的极值求法。一图象法图象法就是把二元函数的图象及其条件所表示的范围在平面上表现出来,然后,据图象进行分析,确定出所求函数取得极值 相似文献
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教学中,经常会遇到一些含有参数的极值问题,这类问题的知识综合性比较强,思维的灵活性比较高.因之,学生解答起来就不怎么顺利.比如87年上海市高考数学试题第六题(2)“在 xoy 平面上给定曲线 y~2=2x,设点 A 的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上点到点 A 的距离之最小值 d,并写出 d=f(a)的函数表达式。”我布置给学生去做,结果是在 相似文献
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在高中复习和国内外数学竞赛中,时常出现解函数方程的一类题,这里是指已知 y=[g(x)]或 y=[f(x)],求 f(x)。这类题在现行高中数学教科书中几乎没有,但它与课本上的函数这一内容关系密切。为了加深学生对函数概念的理解,我们对函数方程的初等解法进行了探索和研究。下面我们介绍的几 相似文献
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复数中的某些问题可转化为解析几何问题,辅以图形,数形结合,形象直观,使复数问题得到解答。显然某些解析几何问题也可转化为复数问题,不过其解答是否简便,是需认真对待的。笔者对解析几何中的某些与距离有关的极值问题的复数解法,作以探讨,力求简便,分几个类型简介如下。一、与直线有关的距离极值例1 已知直线l:x-y 9=0,椭圆C:x~2 4y~2=12,以椭圆的焦点为焦点再作椭圆,交直线l于点M,问点M在何处时,所作椭圆长轴最短,并求出具有最短长轴时的椭圆方程。解所给椭圆c:x~2/12 y~2/3=1的焦点为 相似文献
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陶惠民 《数学的实践与认识》1985,(4)
<正> 长江南水北调是经国务院批准的重点建设工程,实现此项工程,不仅可以解决北方用水问题,而且可以发展内河航运,使北煤南运,沟通水陆交通,其经济效益是很大的.而如何合理确定工程规模,无疑是个十分重要的问题.水利科学研究部门,根据1956年至1981年的水文资料,通过水量调节的初步试算,提出了第一期抽江500秒立米,过黄河50秒立米,第二期抽江700秒立米,过黄河200秒立米的工程规模方案. 相似文献
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在三角函数这部分中,公式多,解题方法较灵活,但并不是无法可寻,当然有它的规律性,近几年新课改省份的高考中总能体现出其规律性.而对三角函数的考查解法,归纳起来主要有以下几种方法.一、平方法观察问题的条件和所求结论,是同角三角函数正余弦和(差)的形式或正余弦积的形式,可考虑将和(差)的等式两边平方.这样能有机地将和差与乘积结合起来,从而顺利求解. 相似文献