逐次极值法

在中学数学及竞赛数学中，常出现多元函数极值问题．多元函数极值问题的一般解决要用到高等数学方法，但中学生由于数学知识有限而不能用高等数学方法．本文提出一种具有普遍意义和实用价值的解决多元函数极值问题的初等方法，我们把它称作“逐次极值法”．在本文中，我们...     

用降幂不等式求多元函数的极值

在数学最优化问题中,拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数极值的方法.这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束.这种方法引入了一种新的标量未知数,即拉格朗日乘数.但是不同于拉格朗日乘数法可应用于所有情况,此初等方法仅在某些特殊条件下使用.     

談談初等函数的作图

在初等微积分学里研究的函数,主要是初等函数。因此,凡是想学习微积分的数学爱好者,对于一些初等函数的性质,特别是基本初等函数(冪函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)的性貭应該比較熟悉的。然而,对于较复杂的初等函数,往往不容易掌握它們的性貭。我們认为,通过函数的图象来了解函数的一些性质是較为有效的,因为函数用图形来表示具有几何的直观性,它是研究函数时的重要輔助工具。本文将簡单地介紹一下有关初等函数作图的一些知識,同时为了便利于沒有学过微积分的广大讀者,文章并未涉及到微积分方面的知識。在按所給函数的分析式子描繪图形时,应該首先     

例谈数形结合求解二元函数的极值问题

二元函数的极值问题的初等解法很多，一般都采用降维法转化为一元函数来处理．但有些极值问题，若题中的数量关系能赋予某种几何意义，则可采用数形结合的观点，凭借图形的直观优势，结合解析几何的知识求解，解法往往显得简捷、直观、从以下数例，我们将得到数形结合求解二元函数的极值问题的常用方法，并从中体会到数形结合的独特偏力．1当目标函数形如f（x，y）＝ax＋by＋c时．可考虑利用直线的截距求解例1已知a、b∈R＋，方程x2＋ax＋2b＝0，x2＋2bx＋a＝0都有实数根，试求2a＋b的最小值．分析问题可化为，若a、b满足求2a＋b的最小值．…     

对某些方法一般化的讨论

讨论了高等数学中由曲线生成曲面问题,多元函数求导问题,和多元函数极值问题的一般化方法,这些方法简单,易于为学生所接受。     

三角函数问题解决中的整体意识

<正>单调性、奇偶性、周期性是函数的三个最基本的性质,由这三条性质又可以衍生出有界性、对称性、极值、最值等其他性质.在我们学过的基本初等函数中只有三角函数同时兼备了这三条性质.在三角函数中,这三条性质之间不是独立的,而是相互联系、相互影响.     

某些条件极值问题的两种初等解法——对《某些条件极值问题的初等解法》一文的补充

在卫瑞霞、汤正谊两同志的《某些条件极值问题的初等解法》(载《中学数学研究与讨论》1979年第3期)一文中列举了某些条件极值问题的五种初等解法,读后获益非浅。本文想补充某些条件极值问题的另外两种初等解法。下面也依据吉米多维奇《数学分析习题集》的问题为例说明这两种方法及其运用。     

三角函数问题中的易错点剖析

三角函数是高中数学四类基本初等函数之一,学生在处理三角函数问题时易出现：忽视角的范围,遗漏函数的定义域,忽视三角函数的有界性,以及忽视角与值的多对一关系等情况.明确易错类型,总结避错策略,有助于解题能力的提升.     

几何极值趣谈(一)——基本的几何极值例题

<正>几何极值问题实际上是以几何条件出现的极值问题.具体解法可以有几何不等式法,代数函数法以及三角函数法.由于某些知识所限,我们不可能系统地讲解几何极值问题,只能通过一些典型的例子作点介绍,分三期刊登.例1 (选自1956年北京、上海数学竞赛委员会提供的《问题集》)设A,B两镇分别在河R的两岸,假设河R的宽度是一定的.现     

正定矩阵在函数极值问题中的应用

通过正定矩阵来处理多元函数的极值问题,通过一个简单的方法,证明了关于多元函数极值存在的一个充分条件.     

三角函数

1．本单元知识点 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数,是属于初等函数中的超越函数的一类函数,它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射．三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义．三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具．     

一种基于多视角学习的多元函数型聚类方法

函数型数据多以多变量的形式出现,目前的多元函数型聚类方法常以数据贴合的方式进行处理,不能充分提取各变量的共同信息及不同变量间的互补信息。为了进一步提取各变量中蕴含的聚类特征信息,本文在多视角学习框架下讨论多元函数型数据的聚类方法:构建了一个能够将多元函数型数据生成过程和各视角数据聚类特征提取统一进行的目标函数;借助非负矩阵分解的聚类特性,提出了一个基于半非负矩阵分解的多元函数型聚类模型;给出了交替迭代更新的求解算法。模拟实验结果显示,与现有的多元函数型聚类方法相比较,该聚类方法的聚类性能显著提高;以北京市空气质量监测站点应用为例,其聚类结果表明,多视角方法在聚类精度和信息提取方面具有优势。     

一个三角极值的几何解法和引伸

1990年全国统一高考理工科试卷的第19题是一个三角函数的极值问题: “函数y=sinxcosx sinx cosx的最大值是__”此题绝大多数都是利用三角函数的性质去解的,现介绍一个简便而直观的几何解     

数学分析中的条件极值问题

围绕多元函数条件极值问题展开讨论,指出利用函数凸性来解决优化分析问题的思想方法,并研究了两个与凸性相关的不等式.     

谈谈初等函数的定义

在高等数学或数学分析课教材。主要参考书中都要给出初等函数的定义(中学里已讨论了基本初等函数)。就我所知,关于初等函数的定义,基本上有两种规定方法:一是把它规定为“由基本初等函数经过有限次四则运算与复合步骤所得到的函数”,另一种是把它规定为“由     

韦达定理消元法在函数与导数问题中的应用

<正>多元变量问题,是指题目中含有两个或两个以上的变量问题．消元法是解决多元变量问题一种重要的通法．在函数与导数问题中,如果涉及x₁,x₂是某个一元二次方程的两个解时,我们也可以利用韦达定理来消元,进而解决一些含有多元变量的函数与导数问题．本文希望借助2个例子,展示利用韦达定理消元法解决含有多元变量的函数与导数问题．     

利用几何特性解一类条件极值问题

对于条件极值问题,一般教科书上均介绍了Lagrange乘数法,但这种方法当所给函数结构比较复杂并且变量较多、条件也多时,其计算量很大,有时求解方程组的难度也相当大.笔者发现,对于某些条件极值问题,不必拘于Lagrange乘数法,只要充分利用题目的特殊条件,就可方便快捷的求出极值或最值.     

“谈谈初等函数的定义”一文质疑

《数学通报》90年第三期“谈谈初等函数的定义”一文中主要命题的根据及公式是错误的。该文的主要命题“命题1:一个分段初等函数,如果在它的每个分段之内点都是用一个基本初等函数式表示,称之为分段从初型初等函数,对应于每个分段基初型初等函数,都存在着一个用单一初等函数式表示的函数,除界点之外,它与原来函     

求多元函数最值的几种方法

由于中学没有学习多元函数的微分学,所以同学们碰到求多元函数的最值问题常常束手无策。本文打算介绍求多元函数最值的常见的初等方法,试图使同学们获得清晰的解题思路,做到有规可循、有法可依。一、化为一元函数法基于一元函数的最值较易解决,求多元函数的最值的基本方法之一就是设法把它化为一元函数的最值问题。通常的方法有代入法、三角换元法、判别式法。     

三角解题常用方法

三角函数由于它的函数名称多 ,函数间的基本关系多 ,所涉及到的公式多 ,因此导致三角解题方法灵活、技巧性强 ,学生不易掌握 .现将三角解题中的常用的方法归纳如下 ,以供复习之用 .1　减元减元是解三角题的最常用的方法之一 ,即减少三角函数的名称 ,减少三角函数中角的个数 ,最好化为同名 ,同角或一个角的一个三角函数的形式 ,使问题简单化 .如我们所熟悉的“切化弦”、“弦化切”都是最典型的减元法 .例 1　已知 tanα,tanβ是方程 x2 px q =0的两个根 ,求 sin2 (α β) psin(α β) cos(α β) qcos2 (α β)的值 .分析　这里三角…