分片代数超曲面的构造与参系数分片多项式系统的研究进展

多元样条是具有一定光滑度的分片多项式,具有一定光滑度的分片代数(超)曲面(即多元样条的零点集)是表示或逼近曲面的重要工具.研究一种有效方法用于构造具有一定光滑度和预先给定拓扑的实分片代数超曲面是解决如何表示或逼近具有一定拓扑结构(特别是复杂拓扑结构)的几何物体问题的重要途径之一,也是计算几何与代数几何研究中一个新的重要主题.参系数分片多项式系统不仅与曲面相交、拼接和过渡曲面生成等一系列研究密切相关,而且是参系数半代数系统的本质推广.本文介绍分片代数超曲面的构造与参系数分片多项式系统的一些最近的研究进展.     

实分片代数曲线的某些研究

分片代数曲线作为二元样条函数的零点集合是经典代数曲线的推广. 利用代数的基本知识, 本文对实分片代数曲线的基本性质进行了初步讨论, 并且将实分片代数曲线与相应的二元样条分类进行讨论. 最后, 对实分片代数曲线上的孤立点进行了研究.     

参系数零维分片代数簇的实零点

分片代数簇是一些多元样条函数的公共零点集. 文中表明: 解参系数分片代数簇问题可转化为解有限个包含严格不等式的参系数多项式系统. 利用半代数系统的正则分解和柱形代数分解方法, 提出了计算零维参系数分片代数簇无挠实零点数的上确界, 以及达到上确界时实零点在各个胞腔内的数目分布情形的算法. 该算法同时能产生达到上确界的充要条件, 以及达到上确界时实零点数在各个$n$维胞腔内 取得某种分布的充要条件. 也给出了另一算法, 用于产生零维分片代数簇在$n$维复形中的 各个$n$维胞腔内恰有指定数目的相异无挠实零点的充分必要条件.     

三角剖分上分片代数曲线的N(o)ther型定理

分片代数曲线是经典代数曲线的推广.贯穿剖分上的分片代数曲线的N(o)ther型定理对构造二元样条空间的Lagrange插值适定结点组有非常重要的作用.文中利用二元样条的性质,给出了任意三角剖分上分片代数曲线的N(o)ther型定理.     

分片代数集合的不可约性和同构

本文利用多元样条函数来定义分片代数集合,讨论了分片代数集合的不可约性和同构问题,给出了分片代数集合不可约的两个等价条件,并把分片代数集合的同构分类问题转化为交换代数的同构分类问题。     

拟贯穿剖分上分片代数曲线的Nother型定理

代数曲线的Nother定理是代数几何中经典并且十分重要的结论.作为二元样条的零点集,分片代数曲线是经典代数曲线的推广.分片代数曲线的Nother型定理对研究二元样条空间的Lagrange插值有至关重要的作用.利用拟贯穿剖分的特点、二元样条的性质与代数几何的相关知识,给出了拟贯穿剖分上分片代数曲线的Nother型定理.     

三角剖分上分片代数曲线的Nöther型定理

分片代数曲线是经典代数曲线的推广. 贯穿剖分上的分片代数曲线的Nöther型定理对构造二元样条空间的Lagrange插值适定结点组有非常重要的作用. 文中利用二元样条的性质, 给出了任意三角剖分上分片代数曲线的Nöther型定理.     

三角剖分上分片代数曲线的Nther型定理

分片代数曲线是经典代数曲线的推广．贯穿剖分上的分片代数曲线的Nther型定理对构造二元样条空间的Lagrange插值适定结点组有非常重要的作用．文中利用二元样条的性质,给出了任意三角剖分上分片代数曲线的N(?)ther型定理．     

拟贯穿剖分上的二元样条Lagrange插值

分片代数曲线足经典代数曲线的推广.利用沿分片代数曲线插值以及分片代数曲线的Nother型定理,给出了一类构造拟贯穿剖分上的二元样条Lagrange插值适定结点组的一种方法,并给出具体算法与实例.     

任意剖分下的多元样条分析

本文采用代数几何的方法,研究了在任意剖分下多元样条函数的各种性质.定理2—4给出了一个函数S(υ,ν)是多元参数型样条的充分必要条件.定理1指出了多元样条函数具有“解析延拓”的特征性质.文中得到在任意剖分下多元样条的一般表达形式(定理9和10)和多元样条插值的一般理论.文中也讨论了多元有理样条函数.     

一元B样条的B网观点

1.问题的提出 近年来,多元样条的研究进程表明,从多变量的观点重新认识一元样条的理论是很有必要的.本文运用重心坐标,以近代的B网方法为工具,重新探讨一元分片多项式的结构,进而为研究多元样条提供工具. 假设Q_n(t)是给定的分割:     

分片代数曲线Bezout数的估计

分片代数曲线定义为二元样条函数的零点集合.首先证明了关于三角剖分的一个猜想. 随后,指出了分片线性代数曲线与四色猜想之间的内在联系.通过经典的Morgan-Scott剖分,指出分片代数曲线的ezout数的不稳定性.利用组合优化方法,得到任意阶光滑分片代数曲线的Bezout数的上界.这个上界不仅适用于三角剖分,而且对任意网线为直线段的剖分均成立.     

几种基于散乱数据拟合的局部插值方法

本文首先针对散乱数据拟合的Shepard方法,结合截断多项式、B样条基函数和指数函数来构造其权函数,使新的权函数具有更高的光滑度和更好的衰减性,并且其光滑性和衰减性可以根据实际需要自由调节,从而提高了曲面的拟合质量．同时还给出一种类似的局部插值方法．另外,本文还基于多重二次插值,结合多元样条的思想,给出了两个局部插值算法．该算法较好地继承了多重二次插值曲面的性质,从而保证了拟合曲面具有好地光顺性和拟合精度．曲面整体也具有较高的光滑性．     

分片代数曲线交点的结式求法

本文对确定分片代数曲线的二元样条函数的整体表达式中的截断引入参数表示,给出了分片代数曲线交点的结式求法．理论与实例表明,这种算法是有效的．     

基于层次T网格的分片孔斯曲面重构

本文提出一种基于任意层次T网格的多项式(PHT)样条空间$S(3,3,1,1,T)$的一个新的曲面重构算法.该算法由分片插值于层次T网格上每个小矩形单元对应4个顶点的16个参数的孔斯曲面形式给出.对于一个给定的T网格和相应基点处的几何信息(函数值,两个一阶偏导数和混合导数值),可得到与$S(3,3,1,1,T)$的PHT样条曲面相同的结果,且曲面表达形式更简单,同时,在离散数据点的曲面拟合中,我们给出了自适应的曲面加细算法.数值算例显示,该自适应算法能够有效的拟合离散数据点.     

射影空间中代数曲线与超曲面的一些新的性质

发现了代数曲线的新的不变量一特征数,并得到了Pascal定理的不同于3次曲线的Cllasles定理和高次曲线中的Cayley-Bacharach定理等形式的高次推广.进一步研究了平面代数曲线的一些性质.通过定义m次Pascal超曲面,将Pascal定理推广到n维射影空间的m次超曲面中,证明了n-单纯形上的Pascal点位于一个m次Pascal超曲面的充要条件是其每个2维面上的Pascal点分别位于m次平面Pascal空间的一条代数曲线上.进一步,给出了一定条件下m次Pascal超曲面与m-1次Pascal超曲面之间的内在关系.     

一类高维沙德意义下的最佳求积公式

Schoenberg,I.J.证明了由一元自然样条插值得到的求积公式和沙德意义下最佳求积公式是一致的。后者是指在具有同样代数精度的求积公式中其余项的皮亚诺核最小者。从而样条插值型求积公式是定积分在一定意义下的最佳逼近。李岳生教授提出了一类多元     

加密网格点二元局部基插值样条函数

1.简介 由于在理论以及应用两方面的重要性,多元样条引起了许多人的注意([6],[7]),紧支撑光滑分片多项式函数对于曲面的逼近是一个十分有效的工具。由于它们的局部支撑性,它们很容易求值;由于它们的光滑性,它们能被应用到要满足一定光滑条件的情况下;由于它们是紧支撑的,它们的线性包有很大的逼近灵活性,而且用它们构造逼近方法来解决的系统是     

含退化边三角剖分下二元三次C~1样条空间的维数

<正>1二元三次一阶光滑样条函数二元样条函数空间在数值逼近、曲面拟合、有限元方法(FEM)、散乱数据插值、多元数值积分、微分和积分方程数值解、计算机辅助几何设计(CAGD)、计算机图形学、信号过程和数学模型等领域有着广泛的应用.而空间S_3~1(Δ)除了二元三次样条函数具有的计     

样条扇形单元

本文在样条分片插值及样条矩形单元的基础之上进而讨论极坐标中二次及三次样条分片插值及样条(圆环)扇形单元.以用于求解圆(环)域与(圆环)扇形域上的各类问题.圆环扇形单元(r≠0)是样条分片插值在极坐标中简单的推广应用,但扇形单元则不然.本文根据扇形单元在r=0处的特殊性对各位移插值函数作了合理的处理,使得该单元即体现了r=0处的几何特性又可以消除该处应变、应力的奇异性.文中给出了用样条(圆环)扇形单元求解平面问题及薄板弯曲问题的数值算例用以说明该单元的效能.