中点弦方程变换公式

过二次曲线内一点P作弦AB,点A、B为弦的两位端点,若P为AB的中点,则称线段AB为此二次曲线内关于点P的中点弦．经笔者思考,得到了一个有关中点弦所在直线方程的一个性质(不妨称为中点弦方程变换公式)．     

“扫雷”一例

例题已知双曲线C:y2-4x2=1,求斜率为2的直线l与双曲线C相交的弦AB的中点轨迹．错解设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点P(x, y),     

定长弦的中点轨迹方程的探究

若弦长一定,当弦的两端点在曲线或面上运动变化时,其中点的轨迹图形是否存在?方程能否求出?这一问题很有趣,值得我们作一探究.本文将通过具体实例,对定长弦的两端点在直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及空间中的线或者面上运动时,弦的中点轨迹及其方程加以探究.一、求定长弦中点的轨迹     

有趣有用的折弦定理

折弦定理 如图1,AB和BC组成一个圆的折弦,如果BC>AB,M是ABC的中点,则从M点向BC所作垂线之垂足F为折弦ABC的中点,即 CF=FB BA。 证明 在BC上取点D,使CD=AB,连结MA,MB,MC,MD。     

透过斜率数交点

直线与圆锥曲线的位置关系这一节内容包含直线与圆锥曲线的公共点、曲线截直线所得弦长、弦中点问题,这些内容繁复但可以很好地体现数学思想方法,既是重点又是难点.现对过定点的直线与双曲线的交点情形进行分析.设直线l的方程为y=kx m过定点M(x0,y0),双曲线的方程为xa22-by22=1     

一道传统试题的研究性学习

我们大都见过这样一道习题:曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)＝1上的两点A(x1、y1),B(x2、y2),线段AB的中点为M,若AB、OM的斜率分别为kAB、kOM,则 kABkOM＝(b2)/(a2). 该题的精典解法是点差法(端点坐标相减法),本文略.现在该题的基础上作如下探究,切入点是将习题中一条弦变为(共端点的)两条弦.     

蝶心离枝亦精彩

蝴蝶定理如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M点的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.     

折弦定理——研究性学习的一个好课题

折弦定理如果AB和BC组成一条圆O的折弦(BC>AB),如图1,M为ABC的中点,则从点M向BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点. 这个定理也叫阿基米德折弦定理,大多数学生都能利用对称变换(或截取)给出如下证明.     

蝴蝶定理的几个推广

蝴蝶定理如图1所示,M是⊙O的弦AB的中点,CD、EF是过M点的两条弦,连接CF、DE分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ(1)     

折弦定理——研究性学习的一个好课题

折弦定理 如果AB和BC组成一条☉O的折弦(BC>AB),如图1,M为(ABC)的中点,则从点M向BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点. 这个定理也叫阿基米德折弦定理,大多数学生都能利用对称变换(或截取)给出如下证明.     

蝴蝶定理的推广和演变

蝴蝶定理:设M是圆的弦AB的中点,过M作圆的任意两条异于AB的弦CD、EF,线段CF、DE分别交AB于G、H两点,则MG=MH。这个优美的数学名题,曾得到众多数学爱好者的青睐.美国人坎迪     

浅议双曲线的“盲区”

在解决与圆锥曲线的弦的中点有关的问题时,常常用到结论:(1)抛物线y2=2px(p<0)的弦的中点不可能到达抛物线y2=2px(p<0)上和其左边的点;(2)椭圆的弦的中点不可能到达椭圆上和椭圆外部.上述两个区域我们暂且称之为“抛物线的盲区”和“椭圆的盲区”.那么“双曲线的盲区”是什么呢?是双曲线两支之间,还是两支之外?由“特殊化思想”发现“双曲线的盲区”既不是双曲线两支之间,也不是两支之外,那么如何找到双曲线的弦的中点的“盲区”?图1我们先来看下面的问题:已知双曲线的方程为ax22-by22=1(a>0,b>0),定点M(p,q)在双曲线与其渐近线围成的区域(…     

调和分割的性质及应用

若点M内分线段AB,点N外分线段AB;且MA/MB=NA/NB,则点M、N叫做调和分割线段AB。调和分割还具有如下性质: 若M、N调和分割AB,则A、B调和分割MN; 2°若M、N调和分割AB,且O为AB的中点,则OB~2=OM×ON;     

中点弦性质与共轭二次曲线

文 [1 ]介绍了“同轴相似二次曲线”有关中点弦的一组性质 ;文 [2 ]用“位似变换”的高观点解释“相似” ,并用射影几何配极原理再次证实了该结论 ;特别是 ,还指出命题条件应严格表述为“同轴相似有心曲线或同轴同焦参数抛物线” .为什么抛物线特殊 ?此外文 [1 ]还介绍了“同轴相似共轭双曲线”的“外分弦定理” ,它能否与上述性质统一起来 ?都值得进一步研究 .　本文引入一般“共轭二次曲线”的概念 ,不仅给出上述诸性质的统一解释 ,并且得出更一般的结论 .其方法也易为一般中学生理解 .设一般二次曲线ｓ的方程为Ｆ(ｘ ,ｙ) =ａ1 1 ｘ2 2…     

蝴蝶定理的一种面积法妙证

<正>蝴蝶定理^([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文^([1])中给我们展示了一幅脍炙人口的蝴蝶定理诞生、推证、拓广、演变……的美丽画卷,让人赏心悦目、引人入胜、叹为观止,使笔者受益匪浅.经探究,本文笔者给出如下一种自然而流畅的面积法妙证.     

有心圆锥曲线切线的一类性质

文[1]讨论了二次曲线切点弦具有的一个统一性质:给定二次曲线c:Ax2 Cy2 Dx Ey F=0及定点G(m,n),过定直线l:Amx Cny D·m x2 E·n y2 F=0上任一点M(点M在曲线c的外部,当c为双曲线时,点M不在其渐近线上)引曲线c的两条切线MA,MB,则切点弦AB所在直线恒过定点G,当n=0,E=0时,kAB·kMG     

有心二次曲线的直径式方程

我们知道：若A(x1,y1)和B(x2,y2)为圆的直径两端点,则圆c的直径式方程为(x-x1)(x-x2) (y-y1)(y-y2)=0.由此我们是否可自然地提出如下一个问题：若AB为椭圆或双曲线的直径,即线段AB为过有心二次曲线的中心的弦,那么曲线的直径式方程是否存在？又是什么形式？     

花蝴蝶定理

文[1]介绍了圆中的两个著名定理,即 蝴蝶定理设M是⊙O的弦PQ的中点,过点M另作两弦CD、EF,连结CE、DF依次交弦PQ于点A、B·则1/MA=1/AB.     

圆锥曲线的一个有趣性质

性质1 如图1，抛物线E：y^2=2px（p〉0）的焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N，     

点坐标的设而不求(连堂讲稿)

[复习说明]在解答某些解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能发挥整体思想在解题中的优势,起到以简驭繁的效果.运用这种策略能够简捷解决1988年上海高考压轴题、1992年全国高考压轴题、1995年全国高考压轴题,因而本专题的复习很有必要.本专题的复习重点是让学生能在整体审题后灵活设出点的坐标,促使解几问题能定向地简便地化归;复习难点是对点坐标所满足的关系式的挖掘寻找与等价变形.[内容提要]实施点坐标设而不求的策略的一般程序是:(1)设立直线与曲线的交点,或曲线与曲线的交点,或其它与解题目标有关的点的坐标;(2)寻找点坐标所满足的等量关系;(3)通过对等量关系整体变形、整体消元实现题设向目标转化.[范例精讲]例1　(1981年全国高考压轴题改编)已知双曲线方程为3x2-y2=3,(1)求以A(2,1)为中点的弦所在直线方程;(2)问以B(1,1)为中点的弦是否存在?分析　(1)求以A为中点的弦所在直线方程只要求出其斜率即可,设该弦与双曲线交点为M(x1,y1)、N(x2,y2).∵　点M、N在双曲线上,∴　　　3x21-y21=3,　　　图13x22-y22=3.相减得　3(x21-x22)-(y...