两个函数之比单调性判别法注记

利用左、右导数,研究弱化条件下两个函数之比的单调性判别法。给出两个函数之比的单调性判别法的一种推广形式。     

关于高等数学中几个易错命题的举例说明

本文通过构造具体的典型例子对高等数学中的几个易错命题进行了阐述和说明.对无限多个无穷小量的和与积的性质进行了探讨,举例说明了无限多个无穷大量的乘积不一定是无穷大量.给出了无限乘积运算时仍然是无穷大量或无穷小量的充分条件.这有助于更好地理解无穷大量和无穷小量两个概念的本质内涵,也有助于认识无限运算和有限运算的根本差异.     

○/○和∞/∞的几何解释

<正> 两个无穷小量之比或两个无穷大量之比,在给定的过程中,随着这些无穷小量或无穷大量类型的不同,可以有很不一样的变化状态。比如,在x—→0时,虽然x~2,5x~2,x~3,x~5等都是无穷小量,但是x~3/x~2—→0,x~2/5x~2—→1/5,x~3/x~5—→∞,因此,不能对于这种比的极限状态作出一般性的结论。初学     

一个有关函数单调性的命题

给出了一个关于函数单调性的判别命题     

关于无穷小量乘积的讨论

本文由有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量的证明入手 ,给出无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量的例子 ,并根据这种方法得到无穷多个无穷大量的和也不一定是无穷大量的结论     

一类幂指函数求极限的新认识

通过无穷小量的比较的三种不同的形式,从一个新的视角讨论了一种幂指函数求极限的不定型,得出了简单有用的结论.根据两个变量趋于零的快慢,即等价无穷小量、同阶无穷小量、高阶无穷小量,来分析极限的结果,当趋于零较慢时,可视为是有限数.并给出几个计算实例说明这个新方法.     

无限个无穷小量的乘积是无穷小量吗?

<正> 在高等数学“无穷小量”的教学中,讲了有限个无穷小量的乘积为无穷小量的定理。很自然会提出这样的问题:无限个无穷小量的乘积是否为无穷小量?初看起来,似乎应该是无穷小量。但是,实际上并非如此。本文谈一个对此问题的看法。     

再论无穷多个无穷小量的乘积

对文[6]提出的质疑给出回答,表明由于不同的无穷小量趋近于0的速度有快有慢,因此无穷多个无穷小量的乘积∏∞k=1{x_n~(k)}∞n=1,有可能不是无穷小量(其中对每个正整数k,{x_n~(k)}_(n=1)~∞表示极限为0的数列),而验证∏∞k=1{x_n~(k)}∞n=1是否是无穷多个无穷小量的乘积,只需验证对每个正整数k,当n→+∞时,{x_n~(k))_(n=1)~∞是否趋近于0,而无需考虑函数列{{x_n~(k)}_(n=1)~∞}_(k=1)~∞的极限limk→∞x_n~(k)是不是无穷小量.进而,对无穷多个无穷小量的乘积是无穷小量或不是无穷小量给出了一些充分条件,     

关于无穷大和无穷小的几个问题

讨论了无穷大量、无穷小量和无界量之间的关系,以及无穷多个无穷小量的和与积问题     

正项级数审敛法的一个补充说明

笔者在无穷级数的实际教学中,发现对于一些具有单调性质的正项级数(如sum 1/n~p、1/nlogn),用下述定理提供的判别方法来判别敛散性很有效.下述定理可在较详尽的数学分析教材中查到,今介绍于下:     

用等价无穷小代换求极限的两个误区

普遍认为利用等价无穷小代换求代数和及复合函数的极限时常常隐藏着两个误区,通过对其进行探讨可以发现．只要加以适当的条件,代数和各部分为无穷小量以及复合函数的中间变量为无穷小量时．对这些部分是可以进行等价无穷小代换的．     

在教学中有关无穷小量的几个常见问题

本文针对在无穷小量教学中学生容易混淆的几个问题,通过几个特例加以说明,希望能帮助学生对无穷小量有一个更好的认识.     

关于无穷小量的一个命题及其应用

引入同类无穷小量的概念，并证明其一个命题，可应用于求某些数列的极限与某些数项级数的和及某些幂级数的和函数。     

无穷小量等价类集的代数结构

实现了无穷小量集合的分类,建立了两种无穷小等价类的分划,指出了无穷小等价类的存在性与元素结构,为寻求无穷小等价类的元素特征提供了理论基础.并在此基础之上,分析了无穷小等价类的代数结构,为进一步运用无穷小量进行各种运算提供了系统的理论基础.     

交错级数收敛性判别法

研究交错级数收敛性判别法.通过计算级数通项的极限和单调性得到三个判据,并对其中两个结论给出形式简化的推论,最后举例说明所提判别法的应用.     

谈《无穷多个无穷小量之积》

在各教程中,关于无穷小量的基本性质中都提到“有限个无穷小量之积仍然是无穷小量”,但对“有限”这个条件,均未加讨论。在教学中,不少青年教师和学生都曾提出这样的问题:“有限”这个条件可以去掉,理由是:如果α,α_1,α_2,…,α_m都是无穷小量,于是乘积α·α_1为较α的高阶的无穷小量。以此类推,α·α_1…α_n     

泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用

本文主要探索利用Ｔａｙｌｏｒ公式对无穷小量或无穷大量的阶进行估计，从而有效地判断正项级数及广义积分的鼓散性．     

无穷小量在1~∞型极限中的应用

通过无穷小量讨论1∞型极限是否存在,并且介绍一种用无穷小量的等价代换快速求解1∞型极限的方法     

无限个无穷小量的和与积仍是无穷小量吗?

无限个无穷小量的和与积是否仍为无穷小量?一般工科高数教材中都未介绍.本文介绍几例说明其结果.例1 设f_k(n)=1 n 【DOI】 CNKI:ISSN:1008-1399.0.1996-03-005     

使无穷小等价成为一个等价关系

修订等价无穷小的定义,可使无穷小量的等价真正成为一种等价关系,即满足自反性,对称性和传递性。