Mathematik f"urs Leben am Beispiel der Computertomographie

Zusammenfassung. Computertomographie ist heutzutage ein fast ebenso bekanntes Hilfsmittel des Mediziners wie das klassische R?ntgen. Weit weniger bekannt ist jedoch, dass es insbesondere die Mathematik ist, die dieses Verfahren erst erm?glicht. Es erscheint immer wichtiger, Schülern und Studierenden neben der Mathematik selbst auch deren Bedeutung für Probleme aus dem Alltag nahe zu bringen. In dieser Arbeit vermitteln wir ein Grundverst?ndnis der Computertomographie. Hierzu geh?ren Nutzen und Einsatzm?glichkeiten in der Medizin, physikalischer Hintergrund und als zentrales Thema ein einfaches mathematisches Modell und dessen numerische L?sung. Die Arbeit kann als Grundlage für Projekte in Schule und Hochschule verwendet werden. Eingegangen am 17. September 2001 / Angenommen am 15. November 2001     

Das Image der Mathematik – und was man dagegen tun kann

Zusammenfassung. Das Image der Mathematik in der ?ffentlichkeit ist traditionell schlecht und oft von mangelnder Kenntnis und falschen Vorstellungen gepr?gt. Mit dem Bild, das Mathematiker von ihrem Fach zeichnen, hat es meistens wenig ?hnlichkeit. Zun?chst soll dieser Kontrast mit alten und neuen Zitaten belegt und pr"azisiert werden. Immerhin haben sich Mathematiker in den letzten Jahren verst?rkt darum bemüht, ihre Wissenschaft auch Laien verst?ndlicher zu machen. Auf der anderen Seite w?chst das Bewu{?}tsein für die Bedeutung von Mathematik für unser heutiges Leben – allerdings beruht es nicht selten auf vagen Ahnungen, so da?vom Schattenreich Mathematik die Rede ist. Au{?}erdem ist Mathematik durch TIMSS und PISA auch wieder ins Gespr?ch gekommen. Als Reaktion darauf gibt es zur Zeit viele Ideen und Vorschl"age, wie man den Mathematikunterricht an Schulen, aber auch die Lehre an Hochschulen ver?ndern mü{?}te. Manche sind interessant und vernünftig, oft überf?llig, manche schie{?}en aber übers Ziel hinaus und n?hren Utopien, die neue Probleme mit sich bringen werden. In dieser Situation k?nnte es nützlich, ja vielleicht notwendig sein, die ?nderungswünsche mit dem Selbstverst?ndnis von Mathematik zu konfrontieren, welches bei ihren besten Vertretern stets über das eigene Fach hinaus reicht. Eingegangen am 28 Juni 2002 / Angenommen am 8 Oktober 2002     

Autos, Ziegen und Streithähne

Zusammenfassung. Das aus den Medien bekannte umstrittene Ziegenproblem (auch Drei-Türen-Problem genannt) wird vollst?ndig analysiert und gel?st. In der Streitfrage spielen sprachliche Mehrdeutigkeiten der Problemformulierung eine wesentliche Rolle; zudem werden Zufallsereignisse mit willkürlicher Information über deren Ergebnisse verwechselt. Tats?chlich erweisen sich beide strittigen L?sungen als teilweise richtige Bestandteile der Gesamtl?sung. Die Argumentation wird in allgemeinverst?ndlicher Sprache geführt und anschlie?end durch eine formale mathematische Betrachtung erg?nzt.

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Eingegangen am 10. April 1999 / Angenommen am 26. Januar 2000     

Elementare Eigenschaften lokaler–Polynom–Schätzer: ein Streifzug durch die lineare Algebra

Zusammenfassung. Der lokale–Polynom–Sch?tzer besteht darin, an eine Sequenz von aufeinanderfolgenden Datenpunkten lokal ein Polynom anzupassen und damit zuf?llige Schwankungen in den Daten wegzugl?tten. Dieser Ansatz gewinnt in der nichtparametrischen Kurvensch?tzung st?ndig an Bedeutung. Es wird gezeigt, wie die Herleitung einiger elementarer Eigenschaften dieses Handwerkszeuges des Datenanalytikers einen Streifzug durch die lineare Algebra erforderlich macht. Eingegangen am 27.03.1998 / Angenommen am 15.06.1998     

Zur Mathematik der Optionen

Zusammenfassung. Mit der allgemein stark gewachsenen Bedeutung der Finanztermingesch?fte haben in den vergangenen Jahren insbesondere nach Gründung der DTB Deutsche Terminb?rse GmbH 1988 auch in Deutschland Optionskontrakte bei der Absicherung von Devisengesch?ften der Exportindustrie wie auch bei der Absicherung von Verm?gensanlagen institutioneller Anleger ein immer st?rkeres Gewicht erhalten. Damit einherging eine st?rkere Besch?ftigung mit den zugrundelie genden theoretischen Modellen nicht nur der davon unmittelbar betroffenen Praktiker, sondern auch eine st?rkere wissenschaftliche Beachtung der überwiegend im angels?chsischen Bereich seit Anfang der siebziger Jahre entwickelten stochastischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen. Sieht man einmal von der im Jahr 1900 ver?ffentlichten, ihrer Zeit weit vorauseilenden Dissertation “Théorie de la Speculation” von M.L. Bachelier [1] (betreut von dem ebenso vielseitigen wie genialen H. Poincaré) ab – diese Arbeit ist für mehr als fünfzig Jahre kaum beachtet worden weder von ?konomen noch von Mathematikern –, so stand am Anfang der stürmischen Entwicklung die berühmte 1973 ver?ffentlichte Arbeit “The pricing of options and corporate liabilities” von Fisher Black und Myron J. Scholes [2]. Mittlerweile existiert eine fast unübersehbare Flut von Publikationen zu eben diesem Problemkreis – wobei es sich vielfach nur um Variationen über das genannte Thema von Black-Scholes handelt –, und der Einflu? der publizierten Optionspreisformel auf die realen Optionsm?rkte kann gar nicht hoch genug eingesch?tzt werden. Schlie?lich kann an dieser Stelle nicht unerw?hnt bleiben, da? 1997 die von R. Merton (Harvard), M. Scholes (Stanford) gemeinsam mit F. Black (1938–1995) entwickelte Theorie der Optionspreise durch die Verleihung des Nobelpreises für ?konomie an die beiden zuerst genannten Wissenschaftler gewürdigt wurde (vgl. hierzu auch [7]). Ziel dieses Vortrags ist es, einen kleinen Einblick in das zu vermitteln, was Finanzmathematiker heute bearbeiten, welche Methoden sie verwenden und wie faszinierend und zugleich komplex dieser Bereich der angewandten Mathematik ist.

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Eingegangen am 01.04.1998 / Angenommen am 09.06.1998     

Die Lehre vom Flächeninhalt ebener Polygone: einige Schritte in der Mathematisierung eines anschaulichen Konzeptes

Zusammenfassung. Es werden einige Stationen in der Ausarbeitung der Begriffe Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit nachvollzogen. Diese führte zur Herausbildung eines wohlumschriebenen methodischen Ansatzes und zu einer pr?zisen Definition des Begriffes Fl?cheninhalt für ebene Polygone. Ein wichtiger Aspekt dieser Entwicklung war es, eine klare Unterscheidung herauszuarbeiten zwischen dem ma?theoretischen Zugang zum Fl?cheninhalt – im nachfolgenden Fl?chenma? genannt – und dem kongruenzgeometrischen Fl?chenvergleich, welcher über Multikongruenz (auch Zerlegungsgleicheit oder endliche Gleichheit genannt) und eventuell Erg?nzungsgleichheit erfolgt. W?hrend das Fl?chenma? (im weiteren mit bezeichnet) eine nichtnegative reelle Zahl ist, ist der Fl?cheninhalt im Sinne des Vergleichs eine ?quivalenzklasse (im weiteren mit A bezeichnet). In dem Rahmen, in dem wir uns hier bewegen werden, stützt sich der ma?theoretische Zugang in der Regel auf die bekannte Formel für das Fl?chenma? des Rechtecks. Diese wird deshalb im nachfolgenden eine wichtige Rolle spielen. Nach einem überblick zu Euklids Lehre vom Fl?chenvergleich im ersten und sechsten Buch seiner Elemente, welche den Ausgangspunkt für alle weiteren Entwicklungen darstellt, werden wir Legendre's Behandlung (1794) des Fl?chenma?es des Rechtecks betrachten sowie seine begrifflichen Pr?zisierungen. Dann studieren wir zwei Abhandlungen von P. Gerwien (1833), welche sowohl in technischer als auch in konzeptueller Hinsicht wichtige Verbesserungen brachten und die ?quivalenz von Fl?chenma? und Fl?chenvergleich für euklidische und sph?rische Polygone bewiesen. Schlie?lich gehen wir auf Duhamels Kritik (1866) und auf Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) ein. Hilbert war es, der die Lehre vom Fl?cheninhalt in den axiomatischen Rahmen einordnete und der auch die heute üblichen Bezeichnungen einführte. Die L?sung Hilberts legte den Gedanken nahe, da? man Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit auch in der hyperbolischen und in der sph?rischen Geometrie verwenden k?nnen sollte. Das letztere hatte bereits Gerwien getan, das erstere wurde von H. Liebmann (1905) im Anschlu? an die Dissertation von L. Gérard (1892) geleistet. Unsere Betrachtungen enden mit der einheitlichen Theorie des Fl?cheninhaltes, die A. Finzel (1912) ausarbeitete und die erstmals alle drei klassischen Geometrien umfa?te. Die Theorie des Fl?cheninhaltes wird systematisch vom modernen Standpunkt aus in [4] und in [44], Kap. XI, entwickelt; man vergleiche auch den Artikel von R. Kellerhals in dieser Zeitschrift ([35]) sowie den übersichtsbeitrag [25] von H. Hadwiger. Eine auf den gymnasialen Mathematikunterricht ausgelegte elementare aber sehr ausführliche Darstellung gibt Faifofer ([15]).

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Eingegangen am 26.03.1998 / Angenommen am 25.05.1998     

Mathematische Spuren in der Philosophie

Zusammenfassung. Keine andere Wissenschaft hat in der Geschichte des abendl?ndischen Denkens auf die Philosophie so herausfordernd, stimulierend und innovativ gewirkt wie die Mathematik. Seit der Antike haben die ma?gebenden Philosophen vielf?ltige mathematische Spuren in ihrem philosophischen Werk hinterlassen. Diesen Spuren soll hier in dreifacher Hinsicht nachgegangen werden: Spurensuche – Spurensicherung – Spurendeutung. Exemplarisch wird an sieben Philosophen aufgezeigt, da? und wie jeweils ein subtiler Begründungszusammenhang besteht zwischen der Art und Weise des Zugriffs auf Mathematik sowie der Konzeption und Entfaltung des eigenen philosophischen Entwurfs. Eingegangen am 21.12.1998 / Angenommen am 26.02.1999     

Die Schwerpunkte des Dreiecks

Zusammenfassung  Ausgehend von der Frage, was „der Schwerpunkt“ eines Dreiecks eigentlich ist, erschlie?en sich einige interessante, bislang wenig beachtete Anwendungen analytischer Methoden auf die Dreiecksgeometrie, insbesondere im Rahmen eines Unterrichts mit hohem Eigent?tigkeitsanteil der SchülerInnen. über eine Pr?zision von Begriffen (Dreieck, Schwerpunkt) und unter Anleihe des physikalischen Konzepts des Massenmittelpunkts führt der Weg zur Idee des Schwerpunkts der Dreieckslinie (dem so genannten Spieker-Punkt), auf dessen Lagebestimmung und – mit der Entdeckung einer zweiten „merkwürdigen Geraden“ (neben der bekannten Eulerschen) – auf einen überraschenden Zusammenhang mit der Lage des Inkreismittelpunkts. über den Begriff des gewichteten Mittels werden Bezüge zur beschreibenden Statistik ben?tigt oder entwickelt. Eine darüber hinaus führende natürliche Verallgemeinerung des Schwerpunktbegriffs führt zum Konzept der baryzentrischen Koordinaten.     

Die Schwerpunkte des Dreiecks

Ausgehend von der Frage, was „der Schwerpunkt“ eines Dreiecks eigentlich ist, erschlie?en sich einige interessante, bislang wenig beachtete Anwendungen analytischer Methoden auf die Dreiecksgeometrie, insbesondere im Rahmen eines Unterrichts mit hohem Eigent?tigkeitsanteil der SchülerInnen. über eine Pr?zision von Begriffen (Dreieck, Schwerpunkt) und unter Anleihe des physikalischen Konzepts des Massenmittelpunkts führt der Weg zur Idee des Schwerpunkts der Dreieckslinie (dem so genannten Spieker-Punkt), auf dessen Lagebestimmung und – mit der Entdeckung einer zweiten „merkwürdigen Geraden“ (neben der bekannten Eulerschen) – auf einen überraschenden Zusammenhang mit der Lage des Inkreismittelpunkts. über den Begriff des gewichteten Mittels werden Bezüge zur beschreibenden Statistik ben?tigt oder entwickelt. Eine darüber hinaus führende natürliche Verallgemeinerung des Schwerpunktbegriffs führt zum Konzept der baryzentrischen Koordinaten.     

Die (un-)berechenbare Angst des Mathematikers vor dem Fliegen

Zusammenfassung. Das Fliegen ist ein uralter Traum der Menschheit, der erst zu Anfang des 20. Jahrhunderts erfüllt werden konnte. In dieser Arbeit wird auf humorvolle Weise die Geschichte, die Physik und die Mathematik des Auftriebs, der Potentialstr?mungen und der viskosen Str?mungen beschrieben. Ausgehend von den klassischen Arbeiten von L. Euler, J. und D. Bernoulli, dem D'Alembertschen Paradoxon und den Potentialstr?mungen als Triumph der Reinen Mathematik gelangt man zu den Navier–Stokes-Gleichungen dreidimensionaler Str?mungen mit ihren offenen Problemen. Eingegangen am 28. Juli 1998 / Angenommen am 7. September 1998     

Was sollen und was sind Divisoren?

Zusammenfassung. Der von Leopold Kronecker (1823–1891) gepr?gte Begriff „Divisor” kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831–1916) und Egor Ivanovič Zolotarev (1847–1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen überblick über historiografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integrit?tsringen mit zugeordneten gr?ssten gemeinsamen Teilern („Divisoren”) ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch – abweichend von bestimmten einschl?gigen Teilen der rezenten Literatur – unter der Beschr?nkung ausgeführt, ?quivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle überlegungen so konstruktiv wie m?glich zu gestalten. Eingegangen am 6. Mai 1999 / Angenommen am 24. September 2001     

Aspekte der Stirlingschen Zahlen zweiter Art

Zusammenfassung. Die Stirlingschen Zahlen zweiter Art spielen in der Differenzenrechnung (und damit auch in der Numerischen Mathematik) sowie in der Kombinatorik eine bedeutende Rolle. Verwiesen sei hierbei auf Jordan [2], der sie in seinem Buch über Differenzenrechnung als mindestens so bedeutend wie die Bernoullischen Zahlen erachtet, sowie im zweiten Fall u.a. auf die Bücher über Kombinatorik von Aigner [1] bzw. Riordan [3]. über eine Anwendung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollen in der vorliegenden Arbeit neue Aspekte bezüglich der Darstellung gewisser Potenzsummen gewonnen werden. Ferner wollen wir herausarbeiten, da? diese Zahlen unter mehreren Gesichtspunkten als komplement?r zu den Binomialkoeffizienten betrachtet werden k?nnen. Dies wird an den entsprechenden Stellen durch „Argumente” hervorgehoben. Wie die folgenden Herleitungen zeigen werden, erweist sich die Einführung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art über die Rekursionsformel als der einfachste Weg. Eingegangen am 5.5.1995 / Angenommen am 10.1.1996     

Zur stochastischen Modellierung funktionaler Abhängigkeiten: Konzepte, Postulate, Fundamentale Ideen

Zusammenfassung. Verschiedene Methoden zur stochastischen Modellierung im Streudiagramm werden betrachtet. Zentral ist die Idee, die funktionale Abh?ngigkeit zwischen Pr?diktor und Responz zu zerlegen in eine Summe eines von abh?ngigen gleitenden Lageparameters und einen stochastischen Term ohne Trend. Zur n?herungsweisen Rekonstruktion der Funktion aus den Daten werden paradigmatisch zwei Vorgehensweisen gegenübergestellt: das Modell mit a priori Spezifikation einer parametrischen Funktionenklasse und nichtparametrische Verfahren, die auf dem Konzept des gleitenden Mittelwertes bzw. der lokalen Linearit?t von basieren. Die Resultate – Kurven – sind in beiden F?llen anschaulich, einpr?gsam und in der Regel leicht interpretierbar. Eingegangen 6.11.1996 / Angenommen 12.2.1997     

Topologie verallgemeinerter Kegelschnitte

Zusammenfassung. Wir verallgemeinern eine Definition von Kegelschnitten, indem wir mehr als zwei Brennpunkte und Gewichte zulassen, vgl. [7, 12, 6, 11], und wir betrachten Punktemengen in beliebigen Normen, vgl. [4]. Wir überprüfen verschiedene Eigenschaften klassischer Kegelschnitte auf ihre Gültigkeit für verallgemeinerte Kegelschnitte hin. Insbesondere zeigen wir z.B. für positive Gewichte, da? das Innere der verallgemeinerten Kegelschnitte konvex ist, da? diese Mengen bzgl. der Inklusion total geordnet sind und eine kleinste nichtleere Menge enthalten. Schlie?lich teilen wir die verallgemeinerten Kegelschnitte in verschiedene Klassen ein, die als Verallgemeinerungen von Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln aufgefa?t werden k?nnen und eine neue Klasse, die kein „klassisches” Analogon hat. Eingegangen am: 10.1.1996 / Angenommen am: 23.9.1996     

Das Jones-Polynom und Entwirrungs-Invarianten in der Knotentheorie

Zusammenfassung. Dieser Artikel ist eine elementare Einführung in die Knotentheorie und grundlegender Invarianten wie das Alexander-Polynom und das Jones-Polynom. Es wird der sehr einfache Zugang zum Jones-Polynom von Kauffmann dargestellt. Das Alexander-Polynom wird mittels Seifert-Fl?chen und der Seifert-Paarung eingeführt. Beide Invarianten sind sogenannte Entwirrungs-Invarianten (Englisch: skein-invariants). Die wesentlichen Eigenschaften der universellen Entwirrungs-Invarianten und ihre Konstruktion mit Hilfe von Spuren auf Hecke-Algebren und der Darstellung von Knoten durch Z?pfe werden beschrieben. Eingegangen am 6.3.1996 / Angenommen am 11.9.1996     

Aspekte eines didaktisch sensiblen Mathematikverständnisses

Zusammenfassung. „Wer die Mathematik verstanden hat, kann sie auch unterrichten.” Dieser oft ausgesprochene Satz postuliert einen Automatismus zwischen Fachkenntnis und Lehrqualit?t. Eine ebenso h?ufig anzutreffende Gegenthese dazu lautet: „Wer selbst Schwierigkeiten mit der Mathematik hatte, kann sich besser in die Probleme der Schüler/innen einfühlen.” Beide Positionen erfassen den Zusammenhang zwischen Fachwissen und Vermittlungsf?higkeit zu grob. Die vorliegenden Ausführungen m?chten sie deshalb umwandeln in eine Frage: „Wie muss man die Mathematik verstanden haben, damit man sie wirksam unterrichten kann?” Dazu sollen im folgenden einige Aspekte entfaltet werden. Eingegangen am 10.02.1998 / Angenommen am 06.07.1998     

Normen zur Charakterisierung der schwach*-Konvergenz beschränkter Folgen

Zusammenfassung. Wir zeigen, wie sich die schwach*-Konvergenz beschr?nkter Folgen eines Dualraums X' durch Normen charakterisieren l?sst, sofern der Pr?dualraum X separabel ist. Auf diese Weise lassen sich interessante Anwendungen der schwach*-Topologie bereits aus der Theorie normierter R?ume herleiten – ein Vorteil etwa für einführende Vorlesungen in die lineare Funktionalanalysis, in welcher lokalkonvexe R?ume nicht thematisiert werden k?nnen. Wir diskutieren die Anwendung des Satzes von Krein-Milman in seiner Fassung für normierte R?ume und geben elementare Beweise des Lemmas von Schur sowie einer Verallgemeinerung des Riemann-Lebesgue'schen Lemmas. Eingegangen am 16. Februar 2001 / Angenommen am 15. Mai 2001     

Ungleiche Partner in der Mathematik im „Dritten Reich” Heinrich Behnke und Wilhelm Süss

Zusammenfassung. Im Mittelpunkt des Berichts stehen die Mathematiker Heinrich Behnke und Wilhelm Süss. Zun?chst werden die Positionen von Behnke und Süss im „Dritten Reich” skizziert. Zwischen den beiden entwickelte sich im Zweiten Weltkrieg eine ungleiche Partnerschaft, die anhand von zwei Beispielen dargestellt wird: der von Süss angestrebten Reorganisation des mathematischen Zeitschriftenwesens und Behnkes Unterstützung für seinen Freund und Kollegen Henri Cartan. Eingegangen am 20. Juli 2001 / Angenommen am 13. September 2001     

Kinematisch-funktionales Denken als Ziel des höheren Mathematikunterrichts – das Scheitern der Meraner Reform

Zusammenfassung. Der Meraner Reform wird die Einführung der Funktionenlehre und der Differential- und Integralrechnung in den h?heren Mathematikunterricht zugeschrieben, und damit eine tiefgreifende Auswirkung auf die gymnasialen Curricula im 20. Jahrhundert. Von diesem Standpunkt sieht es so aus, als seien die Ideen der Reformer um Felix Klein seit Beginn des 20. Jahrhunderts inzwischen erfolgreich in die Schulpraxis eingeflossen. Der Funktionsbegriff steht im Zentrum der Sekundarstufe I, und der Analysisunterricht ist heute wesentlicher Bestandteil der Oberstufenmathematik. Mi?t man den Erfolg der Meraner Reform jedoch an deren ursprünglichem Hauptziel „Erziehung zur Gewohnheit des funktionalen Denkens”, so ergibt sich ein anderes Bild. Im folgenden soll gezeigt werden, da? vor diesem Hintergrund die Meraner Reform als gescheitert betrachtet werden kann. Um Belege und auch Ursachen für das Scheitern zu finden, ist es notwendig, zun?chst die Vielschichtigkeit des Begriffs „funktionales Denken” darzulegen. Was verstanden die Meraner Reformer unter „funktionalem Denken”? Eine Antwort soll im Rahmen didaktischer Vorbemerkungen aus dem Meraner Lehrplan und anhand zweier konkreter Beispiele aus dem damaligen Mathematikunterricht gegeben werden. Danach stellt sich aus heutiger Sicht die Frage, inwiefern die „alten” Ideen der Meraner Reformer gegenw?rtig für den schulischen Mathematikunterricht wirksam sind. Eingegangen am 07. Januar 2000 / Angenommen am 31. Januar 2000     

Herausarbeiten funktionaler und dynamischer Aspekte von Parameterdarstellungen durch die Erstellung von Computeranimationen

Zusammenfassung Die Beschr?nkung des Unterrichts in analytischer Geometrie auf die Behandlung von Geraden und Ebenen führt zu einer Formenarmut des Unterrichts. Vielfach gewinnen Schüler zudem nur „statische“ Vorstellungen von Parameterdarstellungen und erfassen insbesondere die damit verbundenen funktionalen Beziehungen zwischen Parameterwerten und Punkten nicht. Die Einbeziehung von Computervisualisierungen und einfachen Animationen kann dazu beitragen, bei der Behandlung von Parameterdarstellungen oft vernachl?ssigte Gesichtspunkte „mit Leben zu erfüllen“. Zudem lassen sich dadurch Modellbildungen anregen, die zu Parametrisierungen interessanter Kurven führen. Es werden hierfür anhand von Geraden sowie als Bahnkurven aufgefassten Kreisen, Spiralen, Schraubenlinien und Wurfparabeln Vorschl?ge unterbreitet und entsprechende Vorgehensweisen skizziert.