两个有趣的几何发现

本文介绍笔者最近发现的两个有趣的几何结论. 定理1 若凸m边形内有互不相同且任意三点都不共线的n(n∈N*)个点,把这n个点再加上m边形的m个顶点共m+n个点作为顶点,连线组成互不重叠的小三角形,则一共可以组成的小三角形的个数为f(m,n)＝m+2n-2.     

对"两个有趣的几何发现"一文的修正及改进

文[1]给出了两个几何结论及一个猜想,具体如下: 定理1:若凸m边形内有互不相同且任意三点都不共线的n(n∈N*)个点,把这n个点再加上m边形的m个顶点共有m+n个点作为顶点,连线组成互不重叠的小三角形,则一共可以组成的小三角形的个数为f(m,n)=m+2n-2.     

欧拉凸多面形定理和欧拉示性数

Ⅰ.凸多面形的欧拉定理 1.定理的敍述和来源象中学立体几何教科书中所說的,由若干个平面多边形所围成的封閉的立体叫作多面体。这些多边形的每一个叫作多面体的面,这些多边形的边和頂点分別叫作多面体的棱和頂点。当多面体在它的每一个面的平面的同一側,它就叫作凸多面体。凸多面体的表面叫作凸多面形,它的面、棱和頂点也就是凸多面形的面、棱和頂点。例如图1中的(一)到(四)都是凸多面形,图1中的(五)不是凸多面形。     

多面角的面角性質

在“三面角的面角性貭”一文里(見本通报1958年8月号),証明了三个面角构成一个三面角的充要条件是:三个面角和小于360°,且任一面角小于其他两个而角之和。最近有讀者提問:对于任意多面角是否也有类似的命題成立?在現行立体几何課本里已証明构成多面角的必要条件是“各面角和小于:360°,且任一面角小于其他各面角和”。这一条件是否也是充分的呢?回答是肯定的,即要証明定理符合下列两条件的n个(n≥3)面角可以构成一个凸n面角: 各面角和小于360°; (A) 任一面角小于其他各面角和。 (B) 让我們用数学归納法进行証明。 設此命題对于n=k(k≥3)时成立,即符合条件     

“勾股容圓”問題的解法

“設直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,使切圓的直徑为d,求証:d=(2ab)/(a+b+c)是我国有名的勾股容圓問题,記載在“九章算术”内。这个問題的解法很多,一般用延長斜边c或一条直角边(a或b),使之等于此直角三角形三边之和;然后用相似三角形來解。現在我提出另一种解法:因为od为此直角形的內切圓,所以斜边c和內切圓直徑d之和一定等于二直角边a与b之和;用代数的恒等变形和勾股定理即可解出如下:     

关于可三角剖分的紧致流形的模2示嵌类

<正> 引言 关于复合形或更一般的空間在欧氏空間中的实現問題,Whitney和Thom分別有下面的結果: 定理.(Whitney)n維紧致微分流形M~n可微分实現于R~N中的必要条件为 W~k(M~n)=0,k≥N-n.(1) 定理.(Thom)一个有可数基而局部可縮的紧致Hausdorff空間X可以拓扑实現     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

巴普定理的推广及其它

文［１］介绍了巴普定理：圆内接凸四边形所在圆周上任一点到一双对边的距离之积等于该点到另一双对边的距离之积． 本文将此定理推广到圆内接凸２ｎ边形,并自然得到西姆松定理在凸ｎ边形的推广． 为了表述方便,我们不妨作如下定义： 隔边２ｎ条线段首尾相连,任取定一条线段,标号为１,将其余线段按逆时针方向依次标号为２、３、…、２ｎ,则由标号为奇数（或偶数）的线段组成的一组线段叫这２ｎ条线段的一组隔边,且标号为奇数的一组隔边与标号为偶数的另一组隔边互称互补隔边组． 定理１ 圆内接凸２ｎ边形所在圆周上任一点到一组隔边…     

排列、組合的教学

1.前言排列、组合是高中代数教学中比較难讲的一个課題,“怎样分辨排列問題和組合問題?”,“怎样正确地审查題意并列出簡捷的算式?”,“在一个問題里所获得的若干个数字,应当相乘,还是应当相加?”这一連串的問題都是不易使学生搞清的。但是,这一单元不仅和下一单元二項式定理密切相关,还是将来学习具有广泛应用的概率論的重要工具,因此还是必須教好学好的。現仅提出我在教学中的一些体会,供大家研究。 2.概念从m个元素里,每次取出n个元素,按照一定的順序摆在一排,叫做从m个元素里每次取出n个元素的排列;从m个元素里,每次取出n个元素,不管怎样的顺序并成一組,叫做从m个元素里每次取出n个元素的組合。     

凸n边形内Fermat点问题的初等证明

本文中,凸n边形内Fermat点是指形内到此n边形各顶点距离之和为最小的点。之所以这样相称的原因是因为法国数学家Fermat最先研究了这个问题,不过他只研究了三角形的情形。即指出了:在各顶角均小于120°的三角形中存在着唯一的到各顶点距离之和为最小的点,这一点就是形内对此三角形各边张角均为120°的点。对一般的凸n边形,有相应的命题: 如果一凸n边形内存在一点满足性质:此点至这n边形的各顶点所引的单位矢量之和为0,则这一点是此n边形内唯一的Fermat点。上述结论可以用数学分析的方法加以证明,即借助多元函数的极值理论。但是,似乎还一直未出现过这个一般性问题的初等证明,本文则将对此给出一个简明的初等几何证明。为了利于叙述和证明,这里用另一方式叙述上命题的条件,这要用到关于复数的一些简单知识。先给     

結合平面几何教学談談課堂練习問题

数学教學中的“练习”,是使学生掌握知識的必經之路,这已是尽人皆知的了。这是因为,通过练习,不仅可以培养学生的应用技能和技巧,而且还能帮助他們深入地掌握理論知識。因此,課堂练习是教学过程中下可缺少的組成部分,必須使讲和练有机地結合起来。下面就如何根据教学的需要来設計与妥善安排练习,談談值得注意的几个問題。 (一)目的明确练习的目的不是只让学生多見几种类型的題目,而是要根据教学的需要,通过练习,使学生更好地掌握知識并获得解題的技能和技巧。因此在选題时,即使是使用课本上的习題,也要根据具体的目的进行选配,以使学生作一个題就有一个題的收获。根据不同的需要,大致可把练习分为下列几种: 1.理解概念的练习。为了使学生理解概念,往往选择一些比較簡单的題目进行口头练习。例如在讲圓周角的定义“頂点在圓上并且两边都和圓相交的角叫做圓周角”时,为了使学生理解这个定义,使学生就图1中几个图形,判断哪     

四点迴路問题的几何解法

某人乘飞机从北京出发,打算到武汉、上海、重庆、广州等地旅行,每个地方都必須到一次,再回到北京,他应該怎样选择一条路线,才能使总的路程最短呢? 这就是巡迴路线問題。用几何上的提法,就是在平面上有n个不同的点,以这些点为頂点,作一条封閉折线,使折线长为最短。     

初中平面几何头十六課的教学(續)

第13課 这节課教学垂線和斜線(§26)。为了巩固上节課所講的教材,这节課在开始的时候,可以多花費一些时間进行复習,例如提問学生:怎样的角叫做鄰补角、对頂角?同角的鄰补角的性質怎样?为什么?对顶角的性質怎样?为什么?另外可以从上节課的复習巩固材料中选取几題进行提問。最后提問:“兩条直     

圆锥曲线的一个优美性质

本文约定:若凸n边形的n边(或延长线)均与圆锥曲线相切,则称此凸n边形为圆锥曲线的外切凸n边形.笔者最近探究发现圆锥曲线外切凸n边形的一个优美性质,现将结果陈述如下,供大家参考.命题1若三角形△A1A2A3的三边A1A2、A2A3、A3A1(或其延长线),与圆锥曲线Γ分别相切于点T1、     

一道IMO试题的拓广

一九九一年举行的第32届国际数学奥林匹克竞赛的第五题为: 设P为△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。下面将它拓广为: 定理设P为凸n边形A_1A_2…A_n(n≥3)     

探求“m阶n角星”的角度和

<正>从n边形(n≥5的整数)的某一个顶点起,顺时针方向每隔m个点顺次连接,所形成的图形称为"m阶n角星"(0≤m≤(n-3)/2的整数).当m=0时,0阶n角星即为n边形.这里规定0≤m≤(n-3)/2的整数是为了"去重".例如,n=5时,由于从某点起顺时针方向每隔2个点顺次连接,所成的图形和从这点起逆时针方向每隔1个点顺次连接所成的图形一样,即2阶五角星与1阶五角星一样.下面我们探求n为奇数的情况.     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯(續)

§7 許多实际間題和理論問題的解决都需要知道三角形的內角和等于多少。 1.問学生:直觉能告訴我們三角形內角和是多少嗎?总是很快就得到回答說:“不,直覺沉默了。”应該采取什么措施呢?首先用实驗方法試試看。让学生“在练习本上画三个不在一条直綫上的点,用綫段把它們联結起来,量一量所得三角形的每一个角,并且算出所得三个数的和”。用实驗方法求三角形內角和通常得到:180°,179°.5,179°,181°.5,181°,…等不同的数值。因为测量不可能完全精确,所以得到的只是三角形內角和的近似值,它提供了一个想法,三角形的內角和精确地或近似地等于180°。实驗提供了一个近似答案。 2.运用涉及任意三角形內角和的这个性貭的判断,可以得到关于一切三角形內角和等于多少的問題     

空间n边形中的射影定理和余弦定理

三角形中的射影定理、余弦定理和正弦定理,文[1]已(于1954年)推证到凸n边形。文[2]则应用不同的方法(复数方法)对文[1]的结论进行了再论证。文[3]将前两个定理推证到n面体。本文拟应用向量代数中的一个最基本的等式推证,较易得到空间n边形中的射影定理和余弦定理。     

对初二代数和教学的几点意見

現行初中代数課本上冊(1956年6月出版,余元庆等編)§22是討論“代数和”的概念。我个人认为教学这一章教材,首先必須注意三个問題,即:什么是“代数和”,引进“代数和”的基础;为什么要引进“代数和”的概念;关于“代数和”的式子的語言表达問題。下面拟就这三个問題进行討論,希望同志們批評指正。 1.什么是“代数和”,引进“代数和”概念的基础是什么?这个問題在課本中已讲得很清楚了。由有理数減法法則知道,因为減去一个数就等于加上和这个数相反的数,所以任意两个数的差都可以写成和的形式,例如:7-3可以写成7 (-3);8-(-5)可以写成 8 ( 5)。同样,含有加法和減法的一切式子,也都可以用和的形式表示出来。     

四边形又一角性质及应用

四边形四个内角的和为360°,这是四边形的一个基本性质,这个性质揭示了四边形四个内角之间的关系.(如图1)在凸四边形和凹四边形中,因为周角等于360°,若∠A的外周角(有一个公共顶点和两条公共边并且不重合的两个角,则称其中一个角是另一个角的外周角)为a,则有∠a=∠B+∠C+∠D.