三角形线段比中的一个定理及其应用

本文介绍三角形线段比中一个定理,利用它可以方便地处理三角形中一类较为复杂的线段比例问题. 引理 如图1,E,D为△ABC边BC, CA上两点,BO与AE相交于O,若记BE/CE=m,CD/DA＝n,则BO/OD＝m(1十n).     

线段对三角形的射影定理及应用

吴远宏老师的这篇文章,研究一条线段对三角形三边的射影与三边的关系,有创见.     

三角形比例线段和定理及其应用

三角形比例线段和定理及其应用郭清波（黑龙江省教育学院１５００８０）本文介绍一个平面几何定理—我们称之为“三角形比例线段和定理”，它在证明与计算某类几何问题时很奏效，掌握它能给我们带来一定方便之处．由于它的叙述很简捷，掌握它是很容易的．利用它又可较简单...     

三角形面积比的两个性质及应用

三角形面积比的两个性质及应用３２５６００浙江省乐清市育英学校方亚斌４３６５００湖北省黄梅县职业高中方文如图１，设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ分别是ＡＢＣ的三条高线，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为垂足，Ｈ为垂心，因此可得如下两个关于面积比的定理．定理１，证明此处仅证前一式另外二...     

三角形中的线段比（上）

三角形中的线段比（上）殷吉古（连云港市临洪中学２２２００４）１一个竞赛题的推广，直线截三角形定理．设ＡＭ是乙ＡＢＣ边ＢＣ上的中线，任作一直线分别交于只求证：成等差数列，这是１９７８年辽宁省赛的一个试题，其证法不止一种，见科学普及出版社《全国中学数学竞...     

三角形中的线段比（下）

三角形中的线段比（下）殷吉古（连云港市临洪中学２２２００４）本文简要说明图１这个最常见的图形中的线段比的性质及其应用．众所周知，应用梅涅劳斯定理解决问题的关键是恰当地选取梅氏三角形和梅氏线，如何选取才恰当？这对于中学生尤其是初中生来说，是个难点．怎样...     

三角形面积比与线段比相互转换的应用

由“三角形的面积等于它的底与高的积的一半”定理,很易得到“等底(高)的两个三角形面积之比等于这底上的高(这高所对应的底)之比。”据此,我们可以进行三角形的面积比与相应的线段比的相互转换。这种转换似乎极为平常,但对于解决一些国内外数学竞赛题,却往往带来方便。下面从三个方面举例说明。一、求面积比或面积问题例1 在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD交于E,若△DCE的面积是△DCB正的面积的1/4,则△DCE的面积是△ABD面积的     

三角形中一类线段的比

本文首先介绍三角形中的一个线段比定理．定理如图１,设Ｏ为△ＡＢＣ内一点,ＡＯ、ＢＯ、ＣＯ的延长线分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｐ、Ｑ、Ｒ,则ＡＯＯＰ＝ＡＲＲＢ＋ＡＱＱＣ,ＢＯＯＱ＝ＢＰＰＣ＋ＢＲＲＡ,ＣＯＯＲ＝ＣＰＰＢ＋ＣＱＱＡ．证明在△ＡＢＣ中,ＡＰ、Ｂ...     

三角形中的一个定理及应用

1．定理及推论 定理 如图1，在△PAB中，M是边AB上任意一点，Q是PM上的任意一点，过点Q任作一条直线交边PA，PB于A′，B′，若PA=xPA,PB=yPB,     

精益求精——比比两个三角形的面积

很早就读过张景中先生的文章和书,尤其是他以“井中”为笔名写的文字.但第一次认识张先生是在1989年,当时应四川省数学会之邀到峨眉山为数学奥林匹克教练员培训班授课.空余时间听了张先生的一节课,他给小学教师讲“鸡兔同笼”,印象很深,确有“啊哈,灵机一动!”之感,处理方法通俗、绝妙. 张先生的经历很不简单,他曾经做过多年的中学数学教师,也许正是他深厚的数学功底加上这份经历,使他成为最了解、最关心中小学数学教育的国内知名数学家之一.张先生现在是中国科学院院士、中国科普作家协会理事长、中国数学会奥林匹克委员会委员.他在繁忙的科研工作之余写了大量的科普作品,这次我们从他的作品中选录了一些形成这样一个系列讲座.第一,感谢张先生对我们的支持;第二,希望老师们和同学们读后有所收益.     

两个三角形有相等外接圆的定理及其应用

众所周知,好些在同圆中具有的性质在等圆中也具有,由此使我们想到寻找两个三角形有相等外接圆定理。对此有: 定理:两个三角形如果有一条边对应相等,并且对应相等的边所对的角也相等(或互补),则这两个三角形的外接圆相等。其证明,显然由正弦定理立即可以得出。适然也可分两种情况(相等、互补)依平几知识证得(证明略)。应用这个定理,我们可以解决平几中某些较费解的问题。例1.已知:在ABC中AD、BE、CF是高,H是三条高的交点。求证:△ABC、△ABH、△BCH、△CAH的外接圆相等。证明:△ABC、△ABH     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

三角形的外心的两个判定定理

<正>~~     

三角形中一个优美的线段比公式

笔者在研究中发现了三角形中的一个优美的线段比公式. 定理如图1、2、3,设D、E分别是△ABC中线段AC、BC的定比分点,BD与AE交于O点,连CO交AB或其延长线于F,则 (CO)/(OF)=(CD)/(DA) (CE)/(EB).     

利用三角形三边关系定理证明线段不等

三角形任意两边的和大于第三边是三角形三边关系定理,也是三角形的一条重要性质,在证明线段不等中起着关键作用.例1如图1,已知AC,BD分别是四边形ABCD的对角线,求证:AB+BC+CD+DA>AC+BD.分析:要证结论,可以根据三角形三边关系定理,证出几个适当的线段不等的式子,然后将它们相加,整理得出所要的不等式.证明:由三角形三边关系定理,得AB+BC>AC,①AD+DC>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>BD,④①+②+③+④得2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+DA>AC+BD.例2已知:如图2,D,E是△ABC内的两点,求证:AB+AC>BD+DE+EC.分析:因为…     

用梅涅劳斯定理求线段比

《中学数学》(下半月.初中)2008年第9期《三角形线段比中的一个定理和应用》一文(以下简称原文),笔者阅后受益匪浅.笔者通过探讨,发现原文中的例题都可以利用初中数学竞赛大纲中可使用的梅涅劳斯定理予以巧妙地解决,而且不需引辅助线.梅涅劳斯定理一直线截△ABC的三边BC、CA、A     

两个定理及其应用

在高中代数课本里,等差与等比数列具有一定的篇幅,然而三角形中三边成等差或等比数列的三角题很少。今就此补充如下两个定理,为解决这类题目提供一种简便方法,供教学参考。     

三角形射影定理在解题中的应用

在△ABC中,由余弦定理有cosB=a^2＋c^2-b^2/2ac,cosC=a^2＋b^2-c^2/2ab,得bcosC＋ccosB=a,同理可得ccosA＋acosC—b,acosB＋bcosA=c,我们称以上三式为三角形射影定理,本文举例说明三角形射影定理在解题中的应用．     

三角形的一个判定定理及应用

<正>众所皆知,平面几何中的三角形的三边关系为"三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边",其等价于:命题若a、b、c是三角形的三边长,则(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0.此命题的逆命题也是一个真命题,它便可作为判定三角形的一个"判定定理",即定理若三个正数a、b、c满足(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0,则以a、b、c为边长可构成一个三角形.证明由(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)     

两个积分定理及其应用

本文建立了两个积分学定理(定题1.1与定理2.1),应用它们可简化传统的关于曲线的弧长,第一型与第二型曲线积分以及第一型与第二型曲面积分计算公式的证明。