构造复数巧解一道三角题

题目已知α,β,θ,γ均为锐角,tgα=1/2, ,求α β γ θ的值. 王德发老师在2001年7月(上)期的《中学生数学》中给出了一个几何法的巧解,下面构造复数的解法也很简捷: 解由α,β,γ,θ是锐角,知它们分别是2 i,7 i,8 i,18 i的幅角主值,进而知(α β γ θ)是(2 i)(7 i)(8 i)(18 i)=1625(1 i)的幅角主值.故α β γ θ=π/4.     

简解一道联赛题

最近遇见一道“陈题”,笔者发现此题蕴含的数学思想不一般,是一道可圈可点的好题,现整理如下,供大家参考．     

简解一道预赛题

<正>题目已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面积为1,求此三棱锥体积的最大值.分析这是2012年全国高中数学联赛新疆预选赛的压轴题,本题如果对已知条件三棱锥的三条侧棱两两垂直分析到位的话,就可以利用坐标法进行解答,就会比命题组提供的解答方法(见文[1])简单易行.解在三棱锥O-ABC中,因为OA、OB、OC两两垂直,以O为坐标原点,OA、OB、OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角     

一道三角例题的简解

原解分a为一、二象限、三,四象限按同角三角函数关系求得。现利用三角函数的定义给出如下简解。由于ctga的值为m,且m≠0所以角a的终边不在两个坐标轴上。设角a的终边上任一点p的坐标为(mk,k)(m是单位长),则并且得到满足。高级中学课本《代数》第一册(甲种本)p10的例3是;已知ctga=m(m≠0),求C0sa。     

一道预赛题的简解

<正>2013年湖北省高中数学联赛高一、高二预赛题中均有以下一道试题:求函数y=x2+x(x2-1)~(1/2)的值域.命题组提供的参考解法如下:易求得函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1}.(1)易知函数y=x2+x(x2-1)~(1/2)是[1,+∞)上的增函数,所以,当x≥1时,y≥1.(2)当x≤-1时,     

一道赛题的简解

2008年伞斟高中数学联赛吉林省预赛第17题是一道求最小值问题,本文给出此题一个简解．     

一道预赛题的简解

2013年湖北省高中数学联赛高一、高二预赛题中均有以下一道试题：求函数y=x2＋x（x2-1）1/2的值域.命题组提供的参考解法如下：易求得函数的定义域为{x｜x≤-1或x≥1}.（1）易知函数y=x2＋x（x2-1）1/2是[1,＋∞）上的增函数,所以,当x≥1时,y≥1.（2）当x≤-1时,     

一道赛题的简解

题　△ ABC的面积是 1 cm2 ,如图 1 ,AD= DE =EC,BG=GF =FC,求阴影四边形的面积 .这是刚刚结束的第十三届“希望杯”决赛的一道试题 .今给出比标答更简洁的两种解法 .解法 1　如图 1 ,依题设易知 S△ BCE =S△ ACF =13,连 EF,则 S△ EFC =13S△ BCE =19.设 S△ PEF =t,则 S△ AFES△ AFB=S△ PFES△ PFB(共底三角形面积比等于高之比 )即　 29∶ 23=t:( 29- t) ,解得 t=11 8( cm2 ) .连 EG,设 S△ BGN =y,则 S△ AGES△ AGB=S△ NGES△ NGB,即　 ( 23- 29)∶ 13=( 19- y)∶ y,解得 y =12 1 ( cm) .∴　 S阴 =…     

设参转化简解三角题

设置参数(即参变量),将问题转化,是解决数学问题的一个重要策略。许多较难的数学问题,若能选择恰当的中间参变量,将问题转化,从而创造条件,以便使用熟悉的定理或公式,降低解题难度,摆脱冗繁的运算,对启迪思维,开发智力,提高能力,培养对数学的兴趣,都能起到良好的作用。现以三角题为例,说明设参转化,简捷求解的方法与技巧,供同学们参考。一、整体设参例1 化简(?),其中α为第二象限角。简析设原式=t, 则(?) α为第二象限角,∴t=-2tanα。     

一道奥林匹克训练题的简解

《中等数学》2008年第6期“数学奥林匹克训练题（13）”第三大题： 求函数f（x）=√x/x^2＋1的最大值． 原解答用待定参数法求得了结果,篇幅较长,十分繁难．下面给出三种简单易想的解法．     

一道高中联赛题的简解

1993年度全国高中数学竞赛有一这样一个题目:实数x、y满足4x~2-5xy 4y~2=5,设s=x~2 y~2,则1/S_(max) 1/S_(min)的值为______.本文给出它的两个仅用到初中知识的解法。     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

运用拉格朗日恒等式简解三角题

本文就三角中的一些问题 ,介绍运用拉格朗日恒等式来求解 ,可以化难为易 ,简捷明快 .1　拉格朗日恒等式设α1,α2 ,β1,β2 ∈Ｒ ,则　 (α21+α22 ) (β21+ β22 ) - (α1β1+α2 β2 ) 2=(α1β2 -α2 β1) 2 .证　∵左边 =α21β21+α21β22 +α22 β21+α22 β22 - (α21β21+2α1β1α2 β2 +α22 β22 )=α21β22 - 2α1β2 α2 β1+α22 β21=(α1β2 -α2 β1) 2 ,∴左边 =右边 .这个恒等式还可以推广 ,如(α21+α22 +α23) (β21+ β22 + β23) - (α1β1+α2 β2 +α3β3) 2 =(α1β2 -α2 β1) 2 + (α1β3-α3β1) 2 + (α2 β3…     

一道联赛题的推广与简解

一道联赛题的推广与简解２２２２００江苏省灌云县中学李平龙１９９４年全国高中数学联赛第一试填空题的第６小题可推广为：已知ｎ个数ａ；，ａ。，…，ａ／ｎ＞４），每个都只能取十１或一１两个值之一，那么它们的两两之积的和／一ａ；ａ。＋ａ；ａ。＋…＋ａ。－；ａ。...     

一道预赛题的简解及推广

若不等式x^1/2+y^1/2≤k2^1/2x+y对于任意正实数x,y都成立,求实数k的取值范围.文1、文2、文3的三位作者从不同的角度对此题进行了正确解答,解题过程有繁有简,各有千秋.在数学简洁美、和谐美和统一美的启迪下,笔者给出再下面新的、简朴的解答,并给出该命题的推广,供同学们参考.     

一道赛题变式的简解

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0． 在《数学通讯》网站论坛上，一位网友提出了该题的如下变式，并发贴向各位求教：     

一道新题的简解与推广

文[1]第3题(4):已知正数a,b,c满足a+b+c=1.求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1/c(1+a)的最小值是27/4. 求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1c(1+a的最小值是27/4.鉴于文[1]所给答案较为繁琐,笔者在此给出此题一种简洁证法,并将该结论做更一般性的推广.     

用复数的三角式解三角题

用复数的三角式解三角题苏万春（吉林省永吉三中１３２２２７）由棣莫佛定理，设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），当ｒ＝１时，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ且由此二式，可得由上面的公式．将三角问题化为复数问题解决，对沟通学科分支之间的联系．拓宽解题思路是大有...     

一类三角题的复数解法

在中学数学里,我们研究了复数的代数式a+bi和三角式γ(cosθ+isinθ),复数的灵活性大,技巧性强,所以复数的应用很广泛,它除了是研究代数、几何的一个有效工具,利用复数的三角式研究三角,作用更是显著,特别是对于某些按常规很难处理甚至是无法处理的三角题,只要通过观摩和联想,运用复数的三角式常常可以简捷地合理地出奇制胜地解决。下面略举几例说明。