数学问题解答

数学问题解答１９９６年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）１００１已知ΔＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ．试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１．证明容易知道在ΔＡＢＣ中成立：（其中ａ，ｂ，ｃ是ΔＡＢＣ的三边长）ａ＝ｂ...     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

一个三角恒等式的推广

一个三角恒等式的推广何新萌（泉州电力学校３６２０００）徐道在《数学通报》１９９６年第１０期的数学问题１０３７中，提出了一个三角恒等式：（ｃｏｓπ１１）３－（ｃｏｓ２π１１）３＋（ｃｏｓ３π１１）３－（ｃｏｓ４π１１）３＋（ｃｏｓ５π１１）３＝１２（１...     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年２月号问题＠答（解答由问题提供人给出）９９６解方程组０ｏ“一Ｊ“一ｓｃ一ｙ十６＝０（１）Ｌ２２ｙ－Ｉ－２－ｓｙ－２＝０（２）薛由（２）Ｘｉ＋（１）得一十２ｃ加一对２＋ｒｄ一Ｖ一５ｏ一５可言十６一Ｚｆ＝ｏ，‘＋ｚ。ｇｉ＋（加）‘十...     

用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

凸函数的一个充要条件及其应用

一、问题的提出对于函数ｙ＝（５＋ｃｏｓθ）（１－ｃｏｓθ）的极值问题，尽管有（５＋ｃｏｓθ）＋（１－ｃｏｓθ）＝６为定值，但它的最大值不等于［（５＋ｃｏｓθ）＋（１－ｃｏｓθ）２］２＝９，原因是５＋ｃｏｓθ＝１－ｃｏｓθ无实数解．另外，已有许多文章对...     

同是平移异在何处

有这样两道与复数平移有关的习题：１．设复数ｚ在复平面上对应的点为Ｐ,将点Ｐ绕坐标原点逆时针方向旋转π４后,沿实轴正向平移１个单位,再向上平移１个单位得到点Ｑ,若点Ｑ与点Ｐ重合,求复数ｚ．上题学生中有以下两种解法．解法１　由复数运算的几何意义得：ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＋（１＋ｉ）＝ｚ,∴　ｚ＝－（１＋ｉ）２２＋２２ｉ－１＝－２２＋２＋２２ｉ．解法２　向量平移后仍等于原向量,故不必考虑平移,∴　ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＝ｚ,∴　ｚ＝０．２．一个向量顺时针旋转π３后,向右平移３个单位,再…     

降次公式的探究——兼谈一个猜想的证明

易知有２°ｃｏｓｘ＝ｃｏｓｘ,２２ｃｏｓ３ｘ＝ｃｏｓ３ｘ＋３ｃｏｓｘ,２４ｃｏｓ５ｘ＝ｃｏｓ５ｘ＋５ｃｏｓ３ｘ＋１０ｃｏｓｘ,２６ｃｏｓ７ｘ＝ｃｏｓ７ｘ＋７ｃｏｓ５ｘ＋２１ｃｏｓ３ｘ＋３５ｃｏｓｘ,…,和２１ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋１,２３ｃｏｓ４ｘ...     

一道常见三角习题的推广

笔者在做一道常见习题：“在△ＡＢＣ中，已知ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝１，求证：角Ａ、Ｂ、Ｃ中必有一角为２３π”时，意外地得到了该问题的一个推广，现把它整理出来，供大家教学时参考．命题设角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，（１）若ｍ为奇数，则ｃｏ...     

一道错题与一个有意义的结论

题目：若ｔｇＡ、ｔｇ３Ａ是方程ｘ２＋６ｘ＋７＝０的根．求２ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１２ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１的值．这是某地区的一道期末统考题．命题者提供的解答是：∵２ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１２ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ－１＝－ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ４Ａ...     

利用单位圆求解三角题

利用单位圆求解三角题２２４ｚ００江苏射阳县中学生朱胜强根据｜ｓｉｎα｜≤１，｜ｃｏｓα｜≤１的特征，我们常可利用单位回来求解某些三角题．例１已知０≤α＜β＜γ＜２π，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝０．ｓｉｎａ＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝０，求β—ａ，γ－γ...     

两个三角不等式

定理１在任意△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ表示其三内角，则ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ≥３８．（等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立）证明由三角恒等式ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝（２Ｒ＋ｒ）３－３ｓ２ｒ４Ｒ３－１（Ｒ、ｒ、ｓ为△ＡＢＣ的外接圆半...     

THE VARIATION OF INVARIANT LINES AND LIMIT CYCLES FOR A QUADRATIC DIFFERENTIAL SYSTEM

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｒｅａｌｑｕａｄｒａｔｉｃｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ－４ｘ２＋３ｘｙ＋１３ｙ２ｙ＝ｘ（１－１３ｘ－ｙ）．（１）Ｆｉｒｓｔ，ｆｏｒｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ，ｗｅｄｅｎｏｔｅｔｈｅｔｗｏ...     

新题征展(1)

Ａ．题组新编１．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ａｘ２－４ｘ＋ａ－３）．（１）若ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（２）若ｆ（ｘ）的值域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（３）若ｆ（ｘ）在区间（－４,－１）上递减,则ａ的取值范围是　　．２．设０＜θ＜π．（１）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（２）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　;（３）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（４）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　．３．如图,向高为Ｈ的水瓶（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、…     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９６若ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ｃｔｇＡ，ｃｔｇＢ，ｃｔｇＣ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２成等差数列．证明由ｃｔｇＡ＝ｃｏｓＡｓｉｎＡ，Ｓ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－...     

数形结合(续完)

数形结合（续完）晨旭例２５（１９８６年理科）当ｘ∈［－１，０］时，下面关系式正确的是（）（Ａ）π－ａｒｃｃｏｓ（－ｘ）＝ａｒｃｓｉｎ１－ｘ２．（Ｂ）π－ａｒｃｓｉｎ（－ｘ）＝ａｒｃｃｏｓ１－ｘ２．（Ｃ）π－ａｒｃｏｓｘ＝ａｒｃｓｉｎ１－ｘ２．（Ｄ）π...     

解直角三角形目标检测

一、填空（每空２分，共３０分）（１）在△ＡＢＣ中：∠Ｃ＝９０°，ａ＝１２，ｂ＝９，则ｓｉｎＡ＝，ｃｔｇＡ＝．（２）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝４５，ＡＢ＝１０，那么ＢＣ＝，ｃｏｓＢ＝．（３）已知ｃｏｓ５４°３６′＝０．５７９３，查表求得同一行中它的修正值是５，则ｃｏｓ５４°３４′＝．（４）用“＜”号连结下列各数：ｓｉｎ３０°，ｔｇ４５°，ｃｔｇ９０°，ｃｏｓ４５°，ｃｔｇ６０°，ｃｏｓ３０°：．（５）化简：（ｓｉｎ６０°－１）２＋｜１＋ｃｏｓ３０°｜＝．（６）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ是锐角，…     

让学生直接参与对例习题的改造

对题目进行改造我们并不陌生，在全国高考及各级考试的试题中，我们常常会发现有些题目是由旧题改造而来的．①由课本例习题改造而成．例如：求函数ｙ＝ｓｉｎ３ｘｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ３ｘｃｏｓ３ｘｃｏｓ２２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ的最小值．（１９９４年全国高考文科试题）这是高级中学代数上册１９９５年版Ｐ２３０例５题：求证ｓｉｎ３αｓｉｎ３α＋ｃｏｓ３αｃｏｓ３α＝ｃｏｓ３２α的改造形式．由课本例习题改造的高考题还有很多，在此不一一列举．②由其它书籍上的题目改造而来的高考题．已知函数ｆ（ｘ）＝ｔｇｘ，ｘ∈（０，π２）．若…