On a new integration rule with the Gegenbauer polynomials for singular integral equations used in the theory of elasticity

Summary A new technique is proposed for the numerical solution of the Cauchy-type singular integral equations, by using the well known Gegenbauer polynomials. A large class of problems of mathematical physics, and especially several plane and antiplane elasticity problems, not possessing closed-form solutions, can be reduced to the solution of certain systems of such a type of singular integral equations. Also by using a certain method the new formula which is used for the numerical solution of the Cauchy-type integral equations can be extended for the general type of the finite-part singular integrals, too.

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über eine neue, in der Elastizitätstheorie anwendbare Integrationsregel mit Benutzung der Gegenbauer-Polynome zur Lösung singulärer Integralgleichungen

übersicht Es wird eine neue Technik zur numerischen Lösung von Cauchyschen singulÄren Integralgleichungen unter Benutzung der bekannten Gegenbauer-Polynome vorgeschlagen. Eine gro\e Klasse von Problemen der mathematischen Physik und besonders verschiedene ebene und antiplanare Probleme der ElastizitÄtstheorie, welche keine geschlossenen Lösungen besitzen, können zur Lösung auf solche singulÄren Integralgleichungen zurückgeführt werden. Die für die numerische Lösung von Cauchyschen Integralgleichungen hergeleitete Methode kann für den allgemeinen Fall singulÄrer Integrale mit endlichem Anteil erweitert werden.

     

Plasticity of damaged solids and shear band localization

Summary The main objective of the paper is the investigation of shear band localization conditions for finite elastic-plastic rate independent deformations of damaged solids. The first part of the paper is devoted to the formulation of the constitutive relations for elastic-plastic solids when isotropic and kinematic hardening effects and the micro-damage process are taken into consideration. The isotropic work-hardening effect is incorporated in the theory directly by defining the work-hardening-softening material function while the kinematic hardening effect and the softening effect generated by the micro-damage process are described by means of the internal state variable method. The second part of the paper aims at the investigation of the localization of plastic deformations. Different effects on the localization phenomenon are investigated. Particular attention is focused on kinematic hardening and micro-damage effects. It has been found that the influence of these two cooperative phenomena on the onset of localization within shear bands has synergetic nature. The results obtained are in good agreement with recent experimental observations.

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Plastizität von geschädigten Feststoffen und Lokalisierung in Scherzonen

Übersicht Hauptgegenstand der Arbeit ist die Untersuchung der Bedingungen, die bei großen elastischplastischen Formänderungen von geschädigten, formänderungsgeschwindigkeitunabhängigen Feststoffen zur Lokalisierung in Scherzonen führen. Der erste Teil dient der Formulierung des Stoffgesetzes für elastischplastische Werkstoffe mit isotroper und kinematischer Verfestigung sowie Mikro-Schädigung. Die isotrope Verfestigung wird unmittelbar durch eine Verfestigungs-Entfestigungsfunktion berücksichtigt, während die kinematische Verfestigung und die Entfestigung infolge Mikro-Schädigung durch innere Zustandsgrößen beschrieben werden. Der zweite Teil befaßt sich mit der Lokalisierung der plastischen Formänderung, wobei verschiedene Einflüsse untersucht werden. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die kinematische Verfestigung und Mikro-Schädigung gerichtet. Es stellt sich heraus, daß beide Erscheinungen bei der Lokalisierung in Scherzonen zusammenwirken. Die Ergebnisse stehen in guter Übereinstimmung mit neueren experimentellen Beobachtungen.

     

Die Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke mit einseitigen Bindungen

Übersicht Im vorliegenden Aufsatz werden die statisch unbestimmten linearen Tragwerke behandelt, welche eine gewisse Anzahl von einseitigen Bindungen aufweisen. Diese Bindungen können nur in einer Richtung wirken und somit nur positive Spannungen aufnehmen. Die Berechnung erfolgt auf Grund des Satzes vom Minimum der Formänderungsarbeit, dessen Gültigkeit auch für den vorliegenden Fall bewiesen wird. Im Gegensatz zum normalen Fall der zweiseitigen Bindungen, in welchem das Minimum nur in Verbindung mit den in Form von Gleichungen geltenden Gleichgewichtsbedingungen bestimmt wird, treten hier zusätzlich nicht-Negativi-tätsbedingungen auf. Somit verwandelt sich die Minimumaufgabe in ein Problem der quadratischen Programmierung. Zur Lösung dieser Aufgabe wird das Theorem von Kühn und Tucker angewendet, welches zu den Lösungsbedingungen der statischen Aufgabe führt. Im weiteren werden dieselben Bedingungen auch direkt, wie die Grundgleichungen der klassischen Baustatik, auf Grund von reinen statischen Überlegungen hergeleitet. Aus diesen Überlegungen folgt der Äquivalenzsatz, welcher erlaubt, ohne Bezugnahme auf die Theorie der Programmierung, das Aufschreiben der Lösungsbedingungen, wie im normalen Fall des Tragwerkes mit ausschließlich zweiseitigen Bindungen.

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Summary This investigation deals with statically indeterminate linear structures incorporating a number of unilateral constraints i.e. constraints reacting only in a given unilateral sense. The analysis is based on the minimum strain energy theorem, the validity of which will be proved for the present problem. It is known that the minimum strain energy for structures incorporating bilateral constraints only, is determined with reference to the equilibrium conditions expressed in the form of equations. In the case of structures with, a certain number of lion-negative constraints the problem becomes one of quadratic programming. To proceed, we use the Kuhu-Tucker theorem which gives the conditions leading to the solution of the structural analysis problem. We then derive once again these conditions from a purely statical point of view. This leads to our theorem of equivalence by which we can determine the solution conditions without the use of quadratic programming for structures with unilateral constraints in the same way as with structures involving exclusively bilateral constraints.

     

Adaptive remeshing for shear band localization problems

Summary Failure of earth structures or laboratory specimens of soils is often characterized by the existence of bands or surfaces at which strain localizes. Numerical simulation of shear band development has attracted the attention of many research groups during past years. Here it is proposed that adaptive remeshing techniques can be applied to better simulate strain localization problems in geotechnique. The algorithm has been previously applied to compressible fluid dynamics problems to capture discontinuities such as shocks. A new refinement functional has been introduced to improve quality of produced meshes. Finally, the algorithm is applied to solve inception and development of shear bands on both homogeneous stress fields and non-homogeneous stress fields.

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Adaptive Netzverfeinerung bei Problemen mit Scherfugen-Lokalisierung

Übersicht Das Versagen von Erdbauwerken oder Bodenproben im Labor ist oft durch die Existenz von Flächen mit lokalisierter Deformation gekennzeichnet. Zahlreiche Forschungsgruppen haben sich in den letzten Jahren mit der numerischen Simulation der Scherfugen-Bildung beschäftigt. Zur Verbesserung der Simulation von Scherfugen-Lokalisierung bei bodenmechanischen Problemen wird in diesem Beitrag eine adaptive Netzverfeinerung vorgeschlagen. Dieser Weg wurde schon früher in der Dynamik kompressibler Flüssigkeiten beschritten, um Unstetigkeiten wie Schockfronten zu erfassen. Als Kriterium für die Verfeinerung des Netzes wird in diesem Beitrag ein neues Funktional benutzt. Schließlich wird der Algorithmus auf den Beginn und die Weiterentwicklung von Scherfugen bei homogenen und inhomogenen Spannung zuständen angewandt.

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Presented at the workshop on Numerical Methods for Localization and Bifurcation of Granular Bodies, held at the Technical University of Gdansk (Poland), September 25–30, 1989     

Analytical methods in limit analysis

Summary The paper presents some analytical kinematic solutions of limit analysis problems in geotechnics and related fields that have been recently obtained at the University of Minnesota. Emphasis is placed on steady and pseudo-steady flow problems that may model certain processes, and on the implications of yield condition nonlinearity. The examples pertain to plane-strain, axisymmetric and general three-dimensional problems. Also, the possible extension of the kinematic method of limit analysis on hardening incompressible and contracting/dilating materials is discussed. Finally, a simple periodic shear band formation process is analyzed.

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Analytische Methoden bei Traglastverfahren

übersicht Der Beitrag stellt einige analytische kinematische Lösungen von Traglastproblemen in der Geotechnik und verwandten Gebieten vor, die jüngst an der UniversitÄt von Minnesota erarbeitet wurden. Der Akzent liegt bei Problemen mit stetigem und pseudo-stetigem plastischem Flie\en und den Folgen einer NichtlinearitÄt der Flie\bedingung. Die Beispiele betreffen ebene FormÄnderung sowie axialsymmetrische und allgemein dreidimensionale Aufgabenstellungen. Darüber hinaus wird die mögliche Erweiterung der kinematischen Methode der Traglastverfahren auf verfestigende Werkstoffe mit oder ohne VolumenÄnderung erörtert. Zum Abschlu\ wird eine einfache periodische Bildung von ScherbÄndern untersucht.

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Presented at the workshop on Limit Analysis and Bifurcation Theory, held at the University of Karlsruhe (FRG), February 22–25, 1988     

Effect of changes of surface tension and contact angle on normal force measurement with the Weissenberg rheogoniometer

Summary In experiments with water and dilute aqueous solutions of polyacrylamide spurious normal forces were observed. This phenomenon was traced to changes in contact angle between the test liquid and the plates brought about by starting and stopping shear. There are circumstances in which contact angle and surface tension changes with shear could be indistinguishable from true normal forces.

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Zusammenfassung In Versuchen mit Wasser und verdünnten wässerigen Lösungen von Polyacrylamid wurden falsche Normal-Kräfte beobachtet. Diese Erscheinung wird durch die Änderung des Kontaktwinkels zwischen der Versuchsflüssigkeit und den Platten erklärt. Diese Änderungen werden an sich durch den Anfang und die Beendigung der Bewegung erzeugt. Unter Umständen können die Änderungen des Kontaktwinkels und der Oberflächenspannung mit der Scherung nicht von den Normal-Kräften zu unterscheiden sein.

     

Computation of collapse loads in geomechanics by finite elements

Summary Recent interest in bifurcation and localisation in geomechanics has led to a re-examination of traditional collapse calculations using finite element methods. This paper reviews some of the important aspects of calculations of this type from a practical viewpoint. Examples of collapse predictions in applications of both bearing capacity and slope stability with strain softening are presented. It is shown that localised zones of shear deformation can be modelled without any artificial inducements such as weak elements or applied displacement fields.

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Berechnung von Einsturzlasten in der Bodenmechanik mit finiten Elementen

Übersicht Das neuerliche Interesse an Verzweigung und Lokalisierung in der Bodenmechanik hat zu einer Überprüfung traditioneller Kollaps-Berechnungen nach der Finite-Element-Methode geführt. Hier werden vom praktischen Standpunkt einige wichtige Aspekte dieser Berechnungsmethode besprochen. Beispiele zur Versagensvorhersage bei der Tragfähigkeit und Hangstabilität von entfestigendem Material werden vorgestellt. Es wird gezeigt, daß lokalisierte Scherverformungen ohne Kunstgriffe mit nachgiebigeren Elementen oder erzwungenen Verschiebungsfeldern modelliert werden können.

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Presented at the workshop on Limit Analysis and Bifurcation Theory, held at the University of Karlsruhe (FRG), February 22–25, 1988     

Relaxations- und Normalspannungseffekte in der Quetschströmung

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden die Effekte von Relaxation und Normalspannungsdifferenzen in der Quetschströmung zweier kreisrunder Scheiben theoretisch untersucht. Unter der Voraussetzung eines großen Verhältnisses des RadiusR zum AnfangsabstandH der Platten wird die Strömung als reine Scherströmung betrachtet. Nach der Einführung eines modellhaften Stoffgesetzes von Harnoy mit 4 Konstanten, das Relaxations- und Normalspannungseffekte getrennt beschreiben kann, wird das Problem mit Hilfe eines Störungsansatzes gelöst. Dabei werden zwei Spezialfälle behandelt: die Annäherung der Platten (a) mit konstanter Kraft und (b) mit konstanter Geschwindigkeit. Die Normalspannungsdifferenzen bewirken im Fall (a) eine schnellere Annäherung und im Fall (b) eine verringerte Tragfähigkeit der Platten gegenüber dem newtonschen Fall. Der Einfluß der Relaxation hängt von der Deformationsgeschichte der Teilchen ab. Im Fall (a) lassen sich die Platten nicht so schnell zusammenpressen, und im Fall (b) verringert sich die Tragfähigkeit der Platten. Die erzielte theoretische Lösung kann experimentelle Ergebnisse anderer Autoren unter bestimmten Voraussetzungen beschreiben.

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In the present paper the effects of stress relaxation and normal stress differences in the squeezing flow between parallel disks with radiusR and initial separationH are investigated theoretically. Provided that the ratioR/H is large, the flow can be considered to be a pure shear flow. The constitutive equation proposed by Harnoy enables a separate study of relaxation effects and normal stress effects.The problem is solved using a perturbation method. Two special cases are presented: (a) constant approach velocity of the disks and (b) constant load applied to the disks. The effect of normal stress differences is to decrease the load capacity in case (a) and to decrease the descent time in case (b). The effect of stress relaxation depends on the history of deformation, causing a reduced load capacity in case (a) and an increased descent time in case (b). The resulting theoretical solution enables the trend of experimental results obtained by other authors to be predicted.

     

Exact solutions for stress analysis of transversely isotropic elastic layers

Summary The general equations for the elastic analysis of transversely isotropic materials are written in a form which allows derivatives in the thickness direction for all orders to be conveniently calculated. The displacements and stresses are expanded in Taylor series of a form suitable for deriving exact solutions for thick elastic layers with stress-free surfaces. This extends the work of Rao and Das for isotropic materials to the transversely isotropic case. A class of exact solutions are used to obtain results for stress concentration factors due to circular holes in layers.

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Exakte Lösungen der Spannungsberechnung von transversal-isotropen elastischen Schichten

Übersicht Die Grundgleichungen der Elastizität von transversal-isotropen Stoffen werden auf eine für die Berechnung beliebig hoher Ableitungen in eine Dickenrichtung zweckmäßige Form gebracht. Die Verschiebungen und Spannungen werden in für exakte Lösungen dicker Schichten mit spannungsfreien Laibungen geeignete Taylor-Reihen entwickelt. Dies ist eine Weiterführung der Arbeiten von Rao und Das für den isotropen Fall auf den transversal-isotropen Fall. Eine Klasse exakter Lösungen wird benutzt, um die Spannungskonzentrationsfaktoren gelochter Schichten zu bestimmen.

     

Conservation laws in plate theories

Summary Three conservation laws, expressed in terms of line and surface integrals, are derived for Reissner's transverse shear theory of plates. Mindlin's and Kirchhoff's (or classical) theories are included as particular cases. A physical interpretation of three plate transformations used to obtain the conservation laws is proposed. The path-domain independence property of the integrals, their connection to energy release rates due to cavity motions and their relationships with stress intensity factors are also discussed.

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Erhaltungssätze für Plattentheorien

Übersicht Für Reissner's Theorie von Platten mit Querschub werden drei Erhaltungssätze, die durch Linien- und Flächenintegrale dargestellt werden, hergeleitet. Mindlins und Kirchhoffs Theorie sind als Sonderfälle enthalten. Vorgeschlagen wird eine physikalische Deutung von drei Variablentransformationen der Platte, die zur Herleitung der Erhaltungssätze benutzt werden. Weiterhin wird die Weg-Bereichsunabhängigkeit der Integrale, ihre Verknüpfung mit Energiefreisetzungsraten bei bewegten Löchern und der Zusammenhang mit Spannungsintensitätsfaktoren erörtert.

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on leave from Inst. of Nuclear Research, Swierk, Poland     

Reinforcement of a cracked plate by a loaded strip-inclusion

Summary In the present paper the interaction between a reinforced plate by a loaded strip inclusion and an internal crack existing in the plate was studied. It was assumed that the reinforcing strip is subjected to axial forces, thus relieving considerably the stress-concentration in the plate and especially in the singular field around the crack tip.The problem was solved by applying the singular integral equation method, which describes the stress field at any point of the plate. The variation of the stress intensity factors at the tips of the internal crack in terms of its relative position with the strip-reinforcement was studied and interesting results have been derived concerning the loading of the reinforced plate.

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VerstÄrkung einer Platte mit Ri\ durch eine streifenförmige Einlagerung

übersicht Im vorliegenden Artikel wird die Wechselwirkung zwischen einer durch eine streifenförmige Einlagerung verstÄrkten Platte und einem Ri\ in der Platte untersucht. Durch die Annahme, da\ der verstÄrkend wirkende Streifen einer axialen Kraft ausgesetzt sei, werden die Spannungen in der Platte und besonders diejenigen im SingularitÄtsfeld um die Ri\spitze weitgehend gemindert.Das Problem wurde gelöst mit Hilfe der Integralgleichungsmethode, die das Spannungsfeld an jedem Punkt der Platte beschreibt. Die Änderung der SpannungsintensitÄtsfaktoren, ausgedrückt durch ihre relative Lage, mit der Streifen-VerstÄrkung wurde untersucht und somit interessante Ergebnisse bezüglich der Belastung der verstÄrkten Platte erhalten.

     

A finite element analysis of strain localization for soft rock using a constitutive equation with strain softening

Summary It is well known that deformation and/or strain of geological materials localize when they come close to the failure state. In the present: study, we try to analyze the deformation problem using a constitutive relation with strain hardening and strain softening. The constitutive model of a soft rock and overconsolidated clay using an elasto-plastic constitutive theory with memory was originally developed by Adachi and Oka. This type of formulation is shown to be easily applied to analyze the material behavior of strain softening because there is a similarity to that in viscoplasticity. Using the proposed model, the loss of uniqueness of the solution to the initial value problem can be avoided and a special or complicated numerical technique, e.g., an arc length method, does not need to be used. When we use constitutive equations with strain softening in a finite element analysis, there is a problem of strong mesh size dependency of numerical results. To remedy the mesh size dependency, we generalize the Adachi-Oka model based on the concept of non-localization by Bazant. We apply the proposed constitutive model to the behavior of a sedimentary soft rock in the drained triaxial compression test. It is found that mesh size dependency becomes smaller using the non-localization of the constitutive model.

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Eine Finite-Element-Analyse der lokalisierten Verformung von weichem Gestein bei einem Stoffgesetz mit Entfestigung

Übersicht Bekanntlich findet bei geologischen Stoffen in der Nähe des Versagenszustandes eine Lokalisierung der Verformung statt. Die Analyse dieses Problems wird in diesem Beitrag auf der Grundlage eines Stoffansatzes mit Ver- und Entfestigung unternommen. Entwickelt wurde das zugrunde gelegte elastischplastische Stoffmodell mit Gedächtnis von Adachi und Oka für weiches Gestein und übermäßig verdichteten Ton. Wegen der Ähnlichkeit zur Viskoplastizität läßt sich diese Formulierung des Stoffgesetzes leicht auf die Analyse des Verhaltens von entfestigendem Material anwenden, da der Eindeutigkeitsverlust der Lösung des Anfangswertproblems vermieden wird und besondere Rechenverfahren wie etwa die Bogenlängenmethode nicht benötigt werden. Bei der Benutzung von Stoffgesetzen in einer Finite-Element-Rechnung hängen die Ergebnisse stark von der Netzeinteilung ab. Um dies abzustellen, wird das Modell von Adachi und Oka auf der Grundlage von Bazant's Konzept der Nichtlokalisierung verallgemeinert. Anwendungsbeispiel ist das Verhalten von weichem Gestein im drainierten Triaxial-Test. Es zeigt sich, daß mit dem Konzept der Nichtlokalisierung im Stoffmodell der Einfluß der Netzeinteilung geringer wird.

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Presented at the workshop on Numerical Methods for Localization and Bifurcation of Granular bodies, held at the Technical University of Gdask (Poland), September 25–30, 1989.     

Experimental observations of stability,instability, and shear planes in granular materials

Summary Materials exhibiting nonassociated flow should according to stability postulates by Drucker and by Hill become unstable when exposed to certain stress-paths inside the failure surface. Results of two series of triaxial compression tests designed to expose the type of behavior displayed by granular materials are presented and discussed. In one series of tests the sand dilated during shear, it exhibited nonassociated flow, and when exposed to stress paths in the region of potential instability, none was observed. In the other series of tests the sand tended to compress during shear, it exhibited nonassociated flow, and instability was observed along stress paths in the region of potential instability. The type of volume change behavior is of great importance in the question of stability of granular materials. Stability conditions for materials with non-associated flow are presented. Shear planes occur after peak failure in triaxial compression on granular materials that dilate. They do not develop inside the failure surface for triaxial compression, and they are not associated with the question of stability considered here.

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Experimentelle Beobachtungen von StabilitÄt, InstabilitÄt und ScherflÄchen in granularem Material

übersicht Nach den StabilitÄtskriterien von Drucker und Hill werden Werkstoffe mit nicht-assoziiertem Flie\gesetz instabil, wenn sie gewissen SpannungsverlÄufen innerhalb der VersagensflÄche ausgesetzt werden. Ergebnisse aus zwei Testreihen mit dreiachsigem Druck, die speziell zur Bestimmung des Stoffverhaltens von granularem Material entwickelt wurden, werden mitgeteilt und erörtert. In der einen Testreihe dehnte sich der Sand unter Scherbeanspruchung aus, zeigte nicht-assoziiertes Flie\verhalten und zeigte bei Spannungswegen im Bereich möglicher InstabilitÄt keine entsprechende Reaktion. In der anderen Testreihe tendierte der Sand unter Scherung zur Kontraktion, zeigte nicht-assoziiertes Flie\verhalten und InstabilitÄt lÄngs Spannungswegen im Bereich möglicher InstabilitÄt. Das hei\t, das Vorzeichen der VolumenÄnderung hat eine besondere Bedeutung bei der Frage der StabilitÄt granularen Materials. Für Stoffe mit nicht-assoziiertem Flie\en werden StabilitÄtsbedingungen angegeben. Bei dreiachsigem Druck auf dilatierende granulare Stoffe treten ScherflÄchen nach dem Maximallast-Versagen auf. Sie entwickeln sich allerdings nicht innerhalb der VersagensflÄche für dreiachsigen Druck und sind nicht verknüpft mit der hier erörterten Frage der StabilitÄt.

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Presented at the workshop on Limit Analysis and Bifurcation Theory, held at the University of Karlsruhe (FRG), February 22–25, 1988     

Eine Randbedingung für die Ausbreitung von Kugelwellen

Übersicht Für die Simulation der Ausbreitung von kugelförmigen Dilatationswellen im elastischen Kontinum mittels der Methode der finiten Elemente wird eine Randbedingung abgeleitet, welche das abgetrennte unbeschränkte Gebiet analytisch exakt ersetzt. Die mit dieser Randbedingung erhaltenen Ergebnisse werden mit vorhandenen Näherungen verglichen, so daß deren Einfluß auf die Güte der Ergebnisse abgeschätzt werden kann. Erweiterungen auf andere Problemstellungen werden aufgezeigt.

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Blasenbildung und PhasengrenzflÄche beim Dispergieren von Gasen in Flüssigkeiten an einzelnen Gaszulauföffnungen

Zusammenfassung Die beim Dispergieren von Gasen in Flüssigkeiten gebildete PhasengrenzflÄche ist für zahlreiche technische StoffaustauschvorgÄnge von Bedeutung, z.B. in GaswÄschern, SÄttigern und Gas-Flüssig-Reaktoren. Es wird über eine Apparatur und eine Me\technik berichtet, mit der die Einzelblasenbildung an Lochblenden und Kapillaren bei AtmosphÄrendruck und höheren Systemdrücken durch Hochgeschwindigkeits-Filmaufnahmen und zeitlich korrelierte Messung der schnellen DruckÄnderungen in Flüssigkeit und Gas nahe der Begasungsöffnung untersucht wurde. — Anhand von typischen Messungen wird eine starke Abnahme des Blasenvolumens mit wachsendem Systemdruck und eine Ähnlich starke Abnahme der maximalen DruckÄnderungen in der Flüssigkeit nahe der Blase nachgewiesen. Diese Abnahme ist bei einer Lochblende erheblich grö\er als bei einer Kapillare.

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Bubble formation and interfacial area during injection of gases into liquids through single orificesPart I: Simultaneous measurements of bubble volume and pressure fluctuations at bubble formation

The amount of interfacial area formed during injection of gas into a liquid is important in mass transfer operations e.g. in gas washers and gas-liquid reactors. This paper describes an apparatus and a measuring technique for the investigation of bubble formation at sharp-edged and capillary orifices. Within the regime of single bubbles, the bubble formation was studied at atmospheric and higher pressures by taking high-speed films and simultaneously measuring the pressure fluctuations in the liquid and in the gas near the orifice. — Typical results for the bubble formation show a strong decrease of bubble volume with increasing system pressure, and a similar decrease of the pressure fluctuations in the liquid near the bubble. For sharp-edged orifices this decrease is markedly stronger than for capillaries.

     

Numerical methods for bifurcation analysis in geomechanics

Summary A numerical approach to bifurcation problems in soil plasticity is outlined. While previously published results have been obtained using non-associated plasticity models, results are now presented for strain-softening plasticity. Attention is focused on a biaxial test, for which results have been obtained starting from a perfectly homogeneous sample and for a sample that contains imperfections. It is shown that the mere introduction of an imperfection not always transfers a bifurcation problem into a limit problem. This observation illustrates the need for an option in a finite element program that carries out a bifurcation analysis.

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Numerische Methoden zur Verzweigungsanalyse in der Bodenmechanik

übersicht Skizziert wird eine numerische Behandlung von Verzweigungsproblemen in der PlastizitÄt von Böden. WÄhrend frühere Ergebnisse für nicht-assoziiertes plastisches Verhalten gewonnen wurden, werden hier solche für entfestigendes Verhalten dargestellt. Das Hauptaugenmerk ist auf einen zweiachsigen Versuch gerichtet. Für ihn werden Ergebnisse beschrieben in den FÄllen, da\ von einer vollstÄndig homogenen Probe bzw. einer Probe mit Imperfektionen ausgegangen wird. Es wird gezeigt, da\ die alleinige Einführung von Imperfektionen nicht immer ein Verzweigungsproblem in ein Grenzlastproblem überführt. Diese Beobachtung zeigt die Notwendigkeit, da\ Finite-Element-Programme eine Option zur Durchführung von Verzweigungsanalysen enthalten sollten.

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Presented at the workshop on Limit Analysis and Bifurcation Theory, held at the University of Karlsruhe (FRG), February 22–25, 1988     

On integral-equation-methods for the evaluation of motions and loads of arbitrary bodies in waves

Summary The paper deals with the hydrodynamic interaction problem of an arbitrarily shaped body and a train of regular surface waves. The body is assumed rigid and performing small amplitude oscillations or being fixed in or below the free-surface of an ideal fluid. Applying Green's theorems of potential theory the boundary-value-problem formulated is reduced to the solution of Fredholm integral equations of the second kind. The numerical procedure employed is based on a discretization of the body surface by triangular or quadrilateral patches, an efficient evaluation of the influence matrices and the solution of a resulting set of linear algebraic equations. Sample calculations are presented and compared with those of other authors and methods.

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über Integralgleichungsmethoden zur Berechnung der Bewegungen und Belastungen beliebiger Körper im Seegang

übersicht Die vorliegende Arbeit befa\t sich mit dem hydrodynamischen Wechselwirkungsproblem eines Körpers beliebiger Form und eines regelmÄ\igen Wellenzuges von OberflÄchenwellen. Der angenommene Starrkörper soll Oszillationen kleiner Amplitude ausführen oder festgehalten werden an oder nahe unter der freien OberflÄche einer idealen Flüssigkeit. Das formulierte potentialtheoretische Randwertproblem wird mit Hilfe der Greenschen SÄtze auf die Lösung von Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt. Das eingesetzte numerische Lösungsverfahren basiert auf einer Diskretisierung der KörperoberflÄche durch ebene Viereck- oder Dreieckselemente, einer effektiven Bestimmung der Einflu\matrizen und der Lösung von sich ergebenden linearen algebraischen Gleichungssystemen. Beispielrechnungen werden dargestellt und mit Ergebnissen anderer Autoren und von Methoden verglichen.

     

Eine allgemeine Theorie der Stabilität von Gleichgewichtszuständen bei Stäben

Übersicht Unter Beachtung von drei Zuständen eines Stabes mit beliebiger Form der Zeritrallinie, nämlich des spannungslosen Ausgangszustandes, des Grundverformungszustandes unmittelbar vor der Verzweigung des Gleichgewichts und des hierzu infinitesimalen Nachbarzustandes, wird eine lineare Theorie räumlicher Verzweigungsprobleme hergeleitet. Für den Fall des ideal linear elastischen Stabes werden drei Beispiele vorgeführt. Das erste ist der ursprünglich gerade Stab unter Druck und Biegung. Hier wird der Grundzustand als infinitesimal dem Ausgangszustand benachbart angenommen. Als zweites wird der ursprünglich gerade Stab unter Druck und Torsion behandelt. Hier wird ein Grundzustand mit endlichen Verformungen betrachtet. Im dritten Beispiel wird am Fall des ebenen, gebogenen Bogens mit beliebiger Achse die Vorgehensweise bei einer Vernachlässigbarkeit der Verformungen des Grundzustandes demonstriert. Insgesamt ergeben sich durchweg Aussagen, die über die der bekannten klassischen Resultate hinausgehen.

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Summary Three states of a rod with arbitrary shape of the center line are considered: the initial stress-free state, the fundamental state before the bifurcation of equilibrium, and the state in an infinitesimal neighbourhood. This leads to a linear theory of stability for spatial bifurcation problems. In the case of the ideal elastic rod three examples are treated. The first one is the initially straight rod unter bending and pressure. In this case the fundamental state is considered to be infinitesimally close to the initial state. The second example is the straight rod under torsion and pressure. Here the fundamental state has finite deformations before the bifurcation. In the third example, the plane arch in bending, the deformation of the fundamental state is neglected. In all cases one gets results which are free of contradictions and more general than the classical ones.

     

Torsion of a sectorially composite hollow circular cylindrical beam

Summary In the first part solution of torsion problem of a sectorially composite hollow circular cylindrical beam has been obtained by a potential method involving use of a Green's identity and Green's function. At first a composition of two isotropic media is considered, then it is shown that the procedure can be successfully applied to the case of a composition of any finite number of isotropic media. A special feature of this St.- Venant-type problem is the multiplicity of the cross-sectional region. In later part the problem of torsion of a sectorially cut out beam is dealt with and solved.

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Übersicht Im ersten Teil wird eine Lösung für die Torsion eines aus Sektoren zusammengesetzten kreiszylindrischen Balkens angegeben. Dabei wird eine Potentialmethode verwendet, zu der von der Greenschen Identität und der Greenschen Funktion Gebrauch gemacht wird. Zunächst wird ein Balken untersucht, der aus zwei isotropen Materialien zusammengesetzt ist; danach wird gezeigt, daß das Verfahren auch auf den Fall einer endlichen Zahl isotroper Materialien angewendet werden kann. Als Besonderheit dieses Problems vom Saint-Venant-Type ist ein Multiplikationsgesetz für die Spannungen in den Querschnittsbereichen zu erwähnen. Im letzten Teil wird das Problem der Torsion eines sektionsweise ausgeschnittenen Balkens behandelt und gelöst.

     

Non-similar solutions of free convection flow over a vertical frustum of a cone for constant wall temperature

Summary The laminar free convection flow and heat transfer over a vertical frustum of a cone is studied. The governing boundary layer equations are solved using local non-similarity method for constant wall temperature case. Local similarity and the local non-similarity two- and three-equation models are constructed and the resulting equations are solved numerically. Results obtained from two- and three-equation models are in good agreement. The numerical values of the flow and temperature functions required to calculate the surface skin friction and heat transfer rate have been reported for various values of Prandtl numbers.

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Nichtähnlichkeits-Lösnngen für die freie Konvektionsströmung an einem vertikalen Kegelstumpf bei konstanter Wandtemperatur

Übersicht Untersucht wird die laminare freie Konvektionsströmung und der Wärmeübergang an einem vertikalen Kegelstumpf. Zur Lösung der zugehörigen Grenzschichtgleichungen im Fall konstanter Wandtemperatur werden die Modelle der lokalen Ähnlichkeit und der lokalen Nichtähnlichkeit mit zwei bzw. drei Gleichungen eingeführt und die sich ergebenden Gleichungen numerisch gelöst. Die Lösungen nach den Modellen mit zwei und drei Gleichungen passen gut zusammen. Die Zahlenwerte von Strom- und Temperaturfunktionen, die für die Berechnung der Wandschubspannung und der Wärmeübergangsrate benötigt werden, sind für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl angegeben.