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对于某些不等式证明题,我们若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数:f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2,由f(x)≥0,得Δ≤0,就可以使一些用一般方法处理较繁的问题,获得简捷、明快的证明.例1 已知a,b,c∈R+,求证:a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2.(第二届“友谊杯”国际数学邀请赛题)证 构造函数f(x)=(ab+cx-b+c)2+(bc+ax-c+a)2+(ca+bx-a+b)2=(a2b+c+b2c+a+… 相似文献
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题 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当-1≤x≤1时,有-1≤f(x)≤1.求证:当-2≤x≤2时,有 -7≤f(x)≤7.这是文[1]例3,原给出的证明较繁,现简证如下.证明 ∵ f(1)=a+b+c,f(0)=c,f(-1)=a-b+c,∴ 2a=f(1)+f(-1)-2f(0),∴ |2a|≤|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|≤1+1+2=4,且 |c|=|f(0)|≤1.若x∈[-2,2],则 x′=x2∈[-1,1],于是可得 |f(x)|=|f(2x′)|=|2f(… 相似文献
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函数f(x)在区间[a,b]上单调增加(或单调减少),又c、d∈[a,b]上,若f(c)=f(a),则有c=d.1 求代数式的值例1 已知x、y∈[-π4,π4],a∈R,且 x3+sinx-2a=04y3+sinycosy+a=0则cos(x+2y)= .(1994年全国高中数学竞赛题)解 由已知条件,可得 x3+sinx=2a(-2y)3+sin(-2y)=2a故可设函数f(t)=t3+sint,则有f(x)=f(-2y)=2a.由于函数f(t)=t3+sint,在[-π2,π2]上是单… 相似文献
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形如f(x)=Aa1x+b1+Ba2x+b2(*)的函数可化为以下两类:(Ⅰ)f(x)=mx+a+nx+b;(Ⅱ)f(x)=mx+a+nb-x.本文借助解析几何的方法研究(Ⅰ)、(Ⅱ)的值域问题,从而解决了形如f(x)=Aa1x+b1+Ba2x+b2... 相似文献
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抽象函数关系给出的对称性与周期性 总被引:1,自引:0,他引:1
命题1设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2成轴对称.证明设函数y=f(x)图象上任一点为P′(x′,y′),它关于直线x=a+b2的对称点为P(x,y),则x=a+b-x′... 相似文献
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判定(一)(i)命题:若a,b,c∈R,且a≠0,b≠-1分式方程:cx-a+b=b-xx-a当b=a+c时,必有x=a为分式方程的增根。(i)例举:(1)1x-1+2=2-xx-1,(b=a+c即2=1+1),x=1是方程的增根。(2)3x+2+1... 相似文献
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由高中《代数》(上册)互为反函数的性质知:互为反函数的两个函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.那么函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象是否也关于直线y=x对称?它们之间到底有何关系?本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题:定理1 若函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),则函数y=f(x+c)(c∈R)与y=f-1(x+c)的图象关于直线y=x+c对称.证明 设P(a,b)是函数y=f(x+c)上任意一点,则 b=f(a+c)①而点P(a… 相似文献
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定理设f(x)=a1sin(x+α1)+a2sin(x+α2)+…+ansin(x+αn)(或f(x)=a1cos(x+α1)+a2cos(x+α2)+…+ancos(x+αn))(ai,αi是常量,i=1,2,…,n).如果对x1,x2(x1-x2... 相似文献
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三角方程asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.事实上,原方程可化成sinxaa2+b2+cosxba2+b2=ca2+b2,即 sin(x+θ)=ca2+b2(其中tgθ=ba).由于|sin(x+θ)|≤1 知ca2+b2≤1,即得a2+b2≥c2.显见其逆亦真.利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题.例1 若关于x的方程3+2sinx+cosx1+2sinx+3cosx=k恒有实数解,求实数k的取值范围.解 原方程可整理成(3k-1)cosx+(2k-2)sinx=3… 相似文献
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用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数 总被引:2,自引:1,他引:1
用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数龚漫奇(北方交通大学数学系100044)对于微分中值定理类问题:1设f(x)在上可导且,求证:存在使2设f(x),g(x)在[a,b]上可导且f(a)=f(b)=0;求证:存在ξ∈(a,b)使f'(ξ)+... 相似文献
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我在教学中发现:对有些不等式的证明,可根据不等式的特点,用构造二次函数的方法加以解决;本文结合具体例子,谈谈怎样构造二次函数证明不等式;1 确定主元构造例1 设a、b都是实数,求证:a2+b2≥a+b+ab-1.分析 求证结论是二元二次对称不等式,可以a(或b)为主元构造二次函数;证明 设f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1.因二次项系数大于零,且Δ=〔-(b+1)〕2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0故f(a)≥0,即a2+b2≥a+b+ab-1.2 根据判别式构造例2 设实数a… 相似文献
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构造二次方程证明不等式 总被引:3,自引:3,他引:0
利用一元二次方程根的分布的充要条件,可以证明一类不等式.例1已知a>13,b>13,ab=29.求证:a+b<1.证明设a+b=t,∵ab=29.∴a,b为一元二次方程x2-tx+29=0的二根,由于a>13,b>13,记f(x)=x2-tx+29,... 相似文献
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数与式1.计算93x-712x+26·38x=.2.-13的倒数是.3.(-6)2=.4.2000用科学记数法表示为.5.a的3倍与b的一半的和用代数式表示为.6.分解因式a2-2ab+b2-c2=.7.配上适当的数,使等式x2-x+1=(x-)2+成立.8.35的相反数是,|-6|=.9.用科学记数法表示:570000=.10.分解因式:a-ab2=.11.已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a、b的比例中项c=cm.12.化简:a(a-1)2-(a+1)(a2-a+1)=.13.计算:(a… 相似文献