源于生活的一次数学建模

植树节这天,恰是我的生日,望着烛光荧荧的由半径不等的圆柱摞起的蛋糕(图1),忽然想起,这不正是一个数学模型吗!在新课程第三册P92(5)将圆锥的高n等分,作出(n-1)个内接圆柱,利用这(n-1)个圆柱的体积之和     

内接（外切）旋转体的几个结论

文 [1 ]介绍了旋转体与内切球的几个最值问题 .在平时教学中 ,本人也总结出了几个类似结论 .结论 1　在定圆锥 (底面半径为ｒ ,高为ｈ)的内接圆柱中 ,体积最大的圆柱与定圆锥的体积之比等于该圆柱与定圆锥的底面积之比 ,即Ｖ最大圆柱Ｖ锥 =Ｓ最大圆柱底Ｓ锥底 =49.当且仅当圆柱的底面半径等于 23ｒ ,高为 13ｈ时取等号 .证　设圆锥的底面半径为ｒ ,高为ｈ ,圆柱底面半径为ｘ ,体积为Ｖ ,由相似三角形可知 ,圆柱的高为ｒ -ｘｒ ｈ ,故Ｖ =πｘ2 ·ｒ -ｘｒ ｈ=πｈｒｘ2 (ｒ-ｘ)=πｈ2ｒｘ2 ( 2ｒ - 2ｘ)≤πｈ2ｒｘ +ｘ + ( 2ｒ - 2ｘ)33=42…     

祖暅原理的探索性内涵

1教材关于半球体积的求法 在使用祖暅原理推出半球的体积时，高中数学教材《立体几何》使用的方法是：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从这个圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面中心为顶点的倒立圆锥，之后把所得的几何体和底面朝下的半球放在同一个平面α上，然后证明这两个几何体合乎祖暅原理的要求，断定它们的体积相等，从而求出半球的体积。     

第八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题参考解答

1．(满分16分)三视图是从主视、左视、俯视三个方向观察物体，得到的平面图形．如图1所示的物体是由一个六棱柱和圆柱组合而成的，主视图显示出正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图显示出正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图显示出一个正六边形和一个圆(中心重合)，图1还给出了三个视图的位置关系．     

一类旋转体容球的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性，归纳如下共同性质：球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比．     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…     

用公式法求点到平面的距离

文[1]将阿基米德的“圆柱容球”定理推广到“圆台容球”和“圆锥容球”，归纳出如下共同性质： 球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比． 这一结论将圆柱容球的性质推广到了常见“旋转体容球”的情况，不仅保持了圆柱容球的优美性质，也体现了数学中由特殊到一般的思想．     

八、多面体和旋转体

知识要点］本章共有棱柱、棱锥、棱台、多面体、圆柱、圆锥、圆台、球、旋转体、体积的概念与体积公理．棱柱、圆柱的体积,棱锥、圆锥的体积,棱台、圆台的体积,球的体积共１３个高考要求掌握的知识点．其重点之一是多面体与旋转体的概念与性质,这是历年高考试题的一个...     

谁是兄，谁是弟？

圆柱：（跑到台上,挥手）哎,圆锥老弟你等等我。
　　圆锥：（站住,回头）你喊我老弟？
　　圆柱：不然呢？这还有别人吗？
　　圆锥：（手指向自己）你有什么资格喊我老弟？
　　圆柱：（手指向圆锥）我比你大。
　　圆锥：你比我大？
　　圆柱：对呀,我的体积是你的3倍。
　　圆锥：不见得。我问你,当你的半径是1厘米,高是10厘米时,你的体积是多少？
　　圆柱：（抓抓头,皱皱眉,眨眨眼）31.4立方厘米。
　　圆锥：对！我再问你,当我的半径是2厘米,高是30厘米时,我的体积又是多少？
　　圆柱：（抓抓头,皱皱眉）125.6立方厘米。
　　圆锥：你看我们谁是兄,谁是弟呀？
　　圆柱：（恍然大悟）噢,圆锥老弟请别生气,我是说我和你在等底等高的条件下,我是你的3倍,所以才喊你老弟的。
　　圆锥：可如果我们在另一个条件下,你就比不过我了。
　　圆柱：（吃惊）什么条件？     

为什么球面不能展成平面图形

现行人民教育出版社出版高中教本《主体几何》一书中提到:圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,都是利用它们的展开图求出的。由于球面不能展成平面图形,所以球的表面积公式无法用展开图求出。为什么球面不能展成平面图形呢?我们可以用以下两个方法来说明。法一:为什么圆柱、圆锥、圆台能够展成平面图形呢?因为在圆柱、圆锥、圆台的表面存在直线,或     

给定边连通度的图的最小距离谱半径(英文)

本文研究了边连通度为r的n阶连通图中距离谱半径最小的极图问题,利用组合的方法,确定了K(n-1,r)为唯一的极图,其中K(n-1,r)是由完全图K_(n-1)添加一个顶点v以及连接v与K_(n-1)中r个顶点的边所构成.上述结论推广了极图理论中的相关结果.     

有关组合问题的几个公式

我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1 C_n~2 C_n~3 … C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1) 1 证明:C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n-(C_n~1 C_n~2 C_3~n … C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n 1=(n-2)2~(n-1) 1     

探索最佳解题途径,启发创造性思维

高级中学课本《立体几何》中有一道复习参考题如下(见甲种本P129第23题)。边长为a的正六边形,以它的一边为轴旋转,求旋转体的全面积和体积。这一习题集中考虑了三种特殊旋转体的体积和侧面积的求解,堪称一道好题(见图1)。为此,我就这道习题上了一堂习题课,用讨论的方式,让学生放开思路,积极地创造性地去思考,取得比较满意的效果。笔者不惴简陋,介绍如下。首先,让学生自己分析题意,再作解答。大多数学生由于认真地分析了这一几何体的特征,作出了如下解答。解法一图2是旋转体的轴截面图,这个旋转体可以看作是由两个相同的圆台挖去两个相同的圆锥然后和一个圆柱组合而成的。由己知     

穷儿早当家,圆锥须努力

正六年级1班的数学博主信息六年级1班加为好友打个招呼发送信息博客公告写数学博客当数学大王。本博所有文字和图片,版权所有,谢绝使用非要使用,与刘老师联系。^_^最新博文穷儿早当家圆锥须努力最新评论……今天上午的课间,张知阳拉着我向高原峰请教了一个关于最近大热的圆锥问题,还吸引了好几位同学一起参与讨论。张知阳的问题是:"一个圆锥和一个圆柱底面积和体积都相等,如果圆柱高12厘米,那么圆锥的高是多少?你是怎么想的?"     

五、多面体与旋转体

A 组一、填空 1.圆柱底面面积为Q,轴截面面积为S,则圆柱的体积为___。 2.矩形边长的比为l:2,以其边为轴旋转一周,则得到的两个圆柱的体积的比为__。 3.正三棱柱的棱长均为a,过底面一边和两底中心连线的中点作截面,则截面面积为__。 4.用平行于底的平面S截圆锥V,①若S把V分为体积相等的两部分,则截得的圆台与小圆锥的高之比为__;②若S把V分为侧面积相等的两部     

巧求体积

学习了《圆柱的体积》后,李老师在数学兴趣课上,给我们出了这样一道题（如图1）：求下面零件的体积（单位：厘米）。     

圆柱、正棱柱和长方体的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性,归纳如下共同性质:球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比.文[2]讨论了“多面体容球”的一个有趣共性,即球与其外切多面体的表面积之比等于体积之比.文[3]讨论了“一类旋转体容球”的一个有趣共性,即圆柱、圆锥及圆台的组合旋转体与其内切球的表面积之比等于体积之比.文[1]、文[2]及文[3]都是讨论几何体与其内切球的性质,笔者思考,若将内切球改为内切椭球,会有怎样的性质呢?本文将讨论圆柱、正棱柱及长方体容球与容椭球的关系,现叙述如…     

变更图的直径

P(t,n)和C(t,n)分别表示在阶为n的路和圈中添加t条边后得到的图的最小直径；f(t,k)表示从直径为k的图中删去t条边后得到的连通图的最大直径．这篇文章证明了t≥4且n≥5时,P(t,n)≤(n-8)/(t 1) 3；若t为奇数,则C(t,n)≤(n-8)/(t 1) 3；若t为偶数,则C(t,n)≤(n-7)/(t 2) 3．特别地,「(n-1)/5」≤P(4,n)≤「(n 3)/5」,「n/4」-1≤C(3,n)≤「n/4」．最后,证明了：若k≥3且为奇数,则f(t,k)≥(t 1)k-2t 4．这些改进了某些已知结果．     

祖■原理辅助体新构

利用祖晅原理求球体积时,要设计辅助体。课本《立体几何》中,设计的是一个底面半径与高相等的圆柱,中间挖去一个倒置圆锥所得的几何体。除此辅助体外,还能不能设计出别的辅助体?关键是按祖晅定理的条件构成图形。下面我们来介绍两个新的比课本上更简单的辅助体。设计一:如图1,乙为一躺放着的四棱锥P-ABCD,底ABCD为矩形,BC=2π~(1/2)R,CD=R,PD底ABCD,PD=π~(1/2)R.     

相关的两个问题及引申

问题1 九年义务教育教材初中代数第一册(上)第38页习题B组第2题(详见教材),求S1=1 2 … n,根据提示可求得 由此引申可有如下两个问题. 引申1 从1起始的几个连续奇数的和为多少?即 S2=1 3 … (2n-3) (2n-1)=? 用类似求S1的方法可求得: S2=1 3 5 … (2n-3) (2n 1) =n2 ②